考拉
茲猜想
選取任意一個正整數。如果這個數字是偶數，除以2；如果它是奇數，乘以3再加1。現在，用你得到的新數字繼續按上述規則處理。如此循環下去，你的數字最終都會變為1。
如選取的是6，根據上述規則，得出序列為6,3,10,5,16,8,4,2,1。如選取的是11，根據上述規則，得出序列為11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1。
這就是考拉茲猜想，是德國漢堡大學的學生洛塔爾·考拉茲在20世紀30年代提出的。數學家們用了很多數字進行測試，發現沒有哪個數字最終不會變為1的。但問題是，到現在還沒人能證明考拉茲猜想。也許，有一些非常大的數字經過處理後，最終會逐漸趨向於無窮大，或者一些數字會被困在某個循環中，從而無法變為1。但是，從來沒有人能夠找出這樣的反例。
移動
沙發問題
假設你在搬家，想把你的沙發搬到新的公寓裡。問題是，走廊有個拐角，你必須想辦法把你的沙發弄過去。如果沙發很小，那麼就不是問題了。如果沙發很大的話，那麼它可能會卡在拐角處。如果你是一個數學家，你可能就會提出這個問題：可通過走廊拐角的最大的沙發是什麼樣的？它不必是一個矩形的沙發，它可以是任意形狀。
上面就是移動沙發問題的基本內容。為了方便回答，這個問題還做了這些精簡：整個問題只發生在二維空間中，拐角是90度，走廊的寬度為1。那麼，可以通過走廊拐角的最大的二維圖形是什麼樣子的？
可以通過走廊拐角的最大的二維圖形的面積，還被稱為“沙發常數”。然而，沒人知道確切地知道這個二維沙發能有多大，數學家們只是知道一些相當大的沙發可以通過去，另一些更大的沙發卻通不過去。當前的研究表明，沙發常數的數值應該在2.2195和2.8284之間。
完美
的立方體問題
記得勾股定理不？直角三角形的兩條直角邊長為a和b，斜邊為c，那麼a2+b²=c²。如果三條邊長度都是正整數，那麼這三個數被稱為一組勾股數。例如，(3,4,5)就是一組勾股數。
現在，讓我們把這個想法擴展到三維空間中。在上面的立方體圖示中， a、b、c代表著這個立方體的三條邊，g代表著體對角線。那麼，根據勾股定理，你會得到a²+b²+c²=g²。
我們的目標，就是找到a、b、c和g都是整數的立方體。也就是說，找到三維空間下的勾股數。數學家們進行了很多次嘗試，但是到現在也沒有找到一個立方體，其三條邊和體對角線都是整數的。但是，他們也沒能力證明這樣的立方體是不存在的。所以，尋找這種完美的立方體的任務仍在繼續。
內接
正方形問題
在紙上畫出一條閉合的線。這個線圈不一定是個圓圈，可以是任何形狀，但線的起點和終點必須重合，而且線與線之間不能有交叉。在這個線圈裡，你可以畫出一個正方形，其四個頂點都處在線圈上。1911年，一位德國數學家提出了內接正方形問題：任何一個二維的閉合線圈，是否都至少有一個內接的正方形，其四個頂點都處在線圈上？
數學家們已經證明，在任何一個二維的閉合線圈，你都可以畫出內接的三角形或矩形。但是，要想證明能畫出正方形，就變得困難起來。到目前為止，還沒有人能解決此問題。
幸福
結局問題
這個問題之所以叫做“幸福結局問題”，是因為它導致了匈牙利數學家喬治·塞凱賴什和他的美女同學愛絲特·克萊因共諧連理。這個問題是從這個規律開始的：
在一張紙上隨機地畫出5個點，但要求其中任意3點不共線，那麼不管你怎麼畫，你就總能找到其中的4個點，連接起來能構成一個凸四邊形——4個內角都不大於180度的四邊形。
這個是關於凸四邊形的規律。後來，數學家們發現，要想畫出一個凸五邊形，你至少得需要9個點。而凸六邊形，得需要17個點。至於凸七邊形以及其他的凸多邊形，數學家們就搞不清楚究竟至少需要多少個點了。
是否存在一個公式，可以告訴我們至少需要多少個點就能畫出任意一種凸多邊形呢？數學家猜測，公式可能是M=1+2N-2，其中M是點的個數，N是凸多邊形的邊數。但到目前為止，數學家們只是證明了M是不小於1+2N-2的，還無法證明它們是相等的。所以，幸福結局問題仍懸而未決。
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