- 圖注：這個簡單的乘法表顯示了沿表對角線的前20個完美正方形。奇怪的是，不僅3²+4²=5²，而且10²+11²+12²=13²+14²。 這種關係不僅僅是巧合。
畢達哥拉斯定理（勾股定理）是人們在數學上學到的第一個定理：如果有一個直角三角形，則最長邊（斜邊）的平方將始終等於其他兩個邊的平方和。它適用的第一個整數組合是邊3、4和5的三角形：3²+4²=5²。 這也適用於其他數字組合，包括：
5、12和13
6、8和10
7、24和25
還有更多。但是3、4和5是特殊的：它們是遵循勾股定理的唯一連續整數。事實上，它們是唯一 一個連續的整數，能讓你解出方程a²+b²=c²。 但是，如果在等式兩側允許包含更多的數，例如a²+b²+c²=d²+e²。值得注意的是，有一個且只有一個解決辦法：10²+11²+12²=13²+14²。 為什麼呢？
- 圖注：如果採用任何直角三角形任何兩直角邊的平方和，它總是等於斜邊的平方。但是，這種關係遠不止一個簡單的方程。
查看畢達哥拉斯定理（勾股定理）最深入的方法之一就是考慮一個在所有邊上都有一定長度的正方形：我們稱該長度為b。 該正方形的面積為b²，因為該正方形的長度和寬度彼此相乘。如果我們要使a²+b²=c²，並且我們希望a，b和c均為連續數字，那麼這對a和c施加了巨大的限制。
這意味著c必須等於（b + 1），而a必須等於（b-1），這是一個方程，我們只需一點代數就可以解決。
（b-1）²+（b）²=（b + 1）²，
b²-2b +1 +b²=b²+ 2b +1
b²-4b = 0。
因此，b必須等於0（這並不有趣）或4，其中4使我們返回我們原來的畢達哥拉斯解決方案3²+4²=5²。
- 圖注：在頂部，邊“ b”的正方形（藍色）可以分為四個部分。如果沿邊長為“ b-1”（黃色）的正方形的邊正確堆疊，則可以繞邊長為“ b + 1”（綠色）的正方形，這是說明勾股定理的另一種方法。
但是您也可以以圖形方式解決此問題。 如果從四邊都是b的正方形開始，則可以將其分解為每條1單位粗的線。 因為一個正方形有4個邊，所以您唯一的方法是將這些線添加到一個較小的正方形[在所有邊上都是（b-1）]，並以一個更大的正方形結束[在所有邊上都是（b + 1） 邊]是指如果您有4個邊：每邊加一條。
上圖清楚地顯示瞭如何執行此操作：
- 您將中間方塊分成b塊，每個塊1個單位，
- 您將塊堆疊在較小的正方形[大小為a，即（b-1）]周圍，
- 然後以更大的正方形結束[大小c，即（c + 1）]。
- 圖注：3、4、5個直角三角形是滿足畢達哥拉斯定理（勾股定理）的第一組整數，也是唯一滿足該方程的連續整數組。
這是唯一可用於方程a²+b²=c²的連續整數的解決方案。如果您將中型正方形放大或縮小，則將錯誤的線數放置在較小的正方形周圍以使其成長為較大的正方形。它根本無法完成，對於a²+b²=c²，連續的整數3、4和5是唯一起作用的整數。
但是，為什麼要限制自己只有三個數字呢？ 對於任何奇數個連續整數，您可能會找到滿足這種關係的連續整數，例如：
- a²+b²=c²，
- a²+b²+c²=d²+e²，
- a²+b²+c²+d²=e²+f²+g²，
等等。
- 圖注：方程10²+11²+12²=13²+14²的答案是，其答案是兩邊等於365，在這幅1895年的畫作中以另一種形式被永生化：”心算術“。
實際上，如果您看一下第二種可能性，其中a²+b²+c²=d²+e²，您會發現只有一個和唯一 一個有效的數字組合：10²+11²+12²=13²+14²。 左邊為100 + 121 + 144，總計為365，右邊為169 + 196，總計為365。
如果您打算用代數解決這類方程，您仍然可以做到，但是可能要花一些時間。您最終會發現中間數字c必須為12（或0，這又是沒有意思的），因此有效的完整方程式為10²+11²+12²=13²+14²。
但是，如果我們從較早以前回到相同的圖形方法，則可以以非常直觀的方式找到解決方案。
- 圖注：同樣，如果我們想解構一個正方形，然後使用它將兩個較小的正方形變成兩個較大的正方形，則需要4個單位將正方形大小調整2，將8個單位將正方形大小調整4。這意味著a 大小為12的正方形可以分別將11和10單位的正方形變成13和14單位的正方形。
像以前一樣，我們將採用中間的“正方形”（其所有邊的長度均為c）並將其分解為1單位粗的線。 與第一次使用此技巧不同，這次，我們需要使用以下兩條線將兩個正方形變成更大的正方形：
- 將較小的正方形[其邊為（c-1）]變為較大的正方形[其邊均為（c +1）]，
- 並將甚至更小的正方形[其邊全為（c-2）]變成更大的正方形[其邊全為（c + 2）]。
與上次一樣，要為第一個正方形完成此操作，我們總共需要四條線，每條線的厚度為1單位。但是要在第二個正方形上完成此操作，我們需要4條線，每條線的寬度為2個單位。
- 圖注：如果我們想用一個“c”大小的正方形把兩個較小的正方形（c-1）和（c-2）變成兩個較大的正方形（c+1）和（c+2），我們需要12個單位在這個中等大小的正方形中才能實現。
總而言之，這僅在中間“正方形”的厚度為12個單位的厚度時才有效，這就是為什麼我們得到等式10²+11²+12²=13²+14²。 如果您的直線是12單位乘1單位，那麼您可以採用其中的4個（4×12 = 48）並將11²轉換為13²，因為121 + 48 =169。類似地，您可以採用8條這樣的線（8× 12 = 96），然後將10²轉換為14²，因為100 + 96 =196。這是方程a²+b²+c²=d²+e²的連續整數的唯一解。
此時，您可能會開始看到一種模式，從數學的角度來看，這總是很有趣的。 如果我們採取下一步並詢問繼續擴展此方程式以包含更多數字的解決方案，我們將更清楚地看到它。
換句話說，我們如何找到方程式的解，a² + b² + c² + d² = e² + f² + g²？
- 圖注：取四個連續的完美平方和，要求它們等於下三個完美平方和，我們可以寫下來代表畢達哥拉斯定理（勾股定理）的第三個可能方程。
如果採用類似的方法，那麼現在需要將三個較小的正方形變成較大的正方形：
- 邊長為（d-1）的正方形需要變成邊長為（d + 1）的正方形，需要四個長度為d的單位，
- 邊長為（d-2）的正方形需要變成邊的正方形（d + 2），需要八個單位的長度d，
- 並且邊長為（d-3）的需要變成邊的正方形（d + 3），需要十二個長度為d的單位。
假設現在，我們需要中間的“正方形”的長度為4 + 8 + 12 = 24，這給我們帶來了我們懷疑應該作為該方程式的解決方案的東西。 如果正確，則21²+22²+23²+24²=25²+26²+27²。 當我們進行數學運算時，我們看到這給了我們441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729，這將進行檢出。 雙方都等於2030，這意味著它們彼此相等。
- 圖注：第三次勾股運算的圖形說明是方程a²+b²+c²+d²=e²+f²+g²的解，它說明了為什麼24是中間正方形的關鍵數字。
這些類型的序列在數學中都有一個特殊的名稱，可以一直追溯到畢達哥拉斯定理和3²+4²=5²的原始解：畢達哥拉斯（勾股）運算。 序列中的中間數出現的模式一直保持到無窮大，直到它變為4、12、24、40、60、84、112等。因此，如果您想知道下一個序列 滿足這些類型的方程式的數字是：
- 36²+37²+38²+39²+40²=41²+42²+43²+44²
- 55²+56²+57²+58²+59²+60²=61²+62²+63²+64²+65²，
- 78²+79²+ ... +83²+84²=85²+86²+ ... +89²+90²，
等等。 看起來像是瘋狂的數學巧合實際上具有深刻而直接的解釋。
- 圖注：有許多方法可以解決和可視化簡單的畢達哥拉斯方程，例如a²+b²=c²，但是在以各種數學方式擴展該方程時，並非所有可視化都同樣有用。
一年有365天（非閏年），而10²+11²+12²=13²+14²=365。然而，這一數學事實與我們的歷法完全沒有關係，也與我們的行星繞太陽的旋轉和公轉沒有關係。相反，一年中的天數在這裡純粹是巧合，但數學關係是畢達哥拉斯幾何的直接結果，這比代數更容易可視化。
畢達哥拉斯剛開始是a²+b²=c²，它具有3、4和5作為唯一求解它的連續數字。 但是，只要我們願意，我們就可以擴展它，而且對於每個方程式，我們可以寫下奇數個數，只有一個唯一的連續整數解。 這些畢達哥拉斯（勾股）運算有一個聰明的數學結構來控制它們，並且通過了解正方形的工作原理，我們可以瞭解為什麼它們無法以其他任何方式表現。
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