問題：10X10的正方形內，可以畫多少個直徑為1且不重疊的圓？
100個，這是多數人的答案，但這是錯誤的，且聽下文慢慢分析．
再來一個問題，相信沒有一個人會錯誤：1X1的正方形內可以畫多少個直徑為1且不重疊的圓？
答：有且只能畫1個．
換一個問題：1X3的長方形可以畫多少個直徑為1且不重疊的圓？
答：3個．如下圖所示：
再來一個問題：1.5X5的長方形可以畫多少個直徑為1且不重疊的圓？
答：多數人會說是5個，此時，同學們按照上述相同的方法作圖的話的確只能畫5個，但明顯是錯誤的．畫圖決定了你能否得到正確的數量．正確如下圖：
當然，上述準確數量到底是不是6還有待驗證，但此方法卻給了我們一個巨大的啟發，在邊長增加的情況下，我們不能按照原來的方式進行畫圖．一個圓可以不止與兩個圓相鄰，可以是三個，甚至更多．
我們再將問題推進：６X６的正方形可以畫多少個直徑為1且不重疊的圓？
很明顯，若一個一個的排列圓，那就會剩下很多空餘的浪費掉．若考慮增加一個圓相鄰的圓的數量，那剩餘浪費的空白部分將會充分利用起來．於是數量明顯不是原來的6X6，而是現在的39．當然39這個數據還比較粗糙，還需要通過相應的方法進行準確計算．通過上述方法，那10X10的正方形，到底可以畫多少個直徑為1且不重疊的圓就可以非常明確的回答不止100個．如下圖：
105個版
106個版
那能否裝下107個呢？其實上述例子也說了，39並非精確數字，106也並非精確數字.精確數字也不能直接用手操作去畫圖，畢竟誤差也會影響最終的結果．
這就需要靠數學建模了的巨大能量了，將此問題進行程序化，那更大的正方形能裝下多少個不重疊的圓也能夠得到精確的數字．
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