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数学的发展史，其实就是一部悖论史。人们不断的按照自己的认识编制自己的数学逻辑，然后在现实中发现无法解释的悖论，导致逻辑崩塌，然后再重新组织逻辑，然后再遇到新的悖论。

在这中间，有人为信仰先出生命，有人中途陷入迷茫，甚至有人彻底癫狂。数学史可能有没战争史的波澜壮阔，也没有自然科学史的荡气回肠，可是数学史于无声处听惊雷的精彩却也同样不熟前者分毫。

数学史上的著名悖论，芝诺的乌龟,产生了很多关于“运动不可分性”的哲学悖论.

芝诺是一位古希腊数学家，其人的具体生平年代已不可考，据说他著作有一本《论自然》，但是也已经失传。

据公元4世纪的希腊哲学家普罗克洛（Proclus）记述，芝诺的著作包含了40个悖论。可惜其著作早已不存，后世依据的只是柏拉图、亚里士多德（Aristotle）等人的转述。

在芝诺的悖论中，有些已失传，有些早已无悖可论，却也有少数几个时至今日仍引起很多人的兴趣，甚至仍是哲学家的研究课题，二分悖论和飞矢悖论就是著名的例子——并且都是意在支持巴门尼德关于运动不存在的论断。

其中二分悖论是这样的：如果你想从一个点A运动到另一个点B，就必须首先经过运动路径的中点C1，然而想运动到C1，又必须首先经过从A到C1的运动路径的中点C2……如此以至无穷。由于中点的数目不可穷尽，因而无论给你多少时间，也不可能走完这些中点，由此可见，运动是不可能的。

二分悖论有一个著名的变种叫做阿基里斯与乌龟悖论。该悖论中的阿基里斯（Achilles）是希腊神话中的勇士，体力过人、长于奔跑，乌龟则是被广泛视为移动缓慢的动物。阿基里斯与乌龟悖论宣称，如果阿基里斯与乌龟赛跑，只要让乌龟先爬一段路，阿基里斯就不可能追上。理由是：每当阿基里斯追到乌龟先前所在的位置时，乌龟总是又往前爬了一段……这个过程无法穷尽，故而阿基里斯不可能追上乌龟。

其实，这个悖论在偷换概念。有限的距离和有限的时间都是无限可分的，但总长仍是有限的；无限可分的有限距离和有限时间并不意味着它们变成无限本身，所以在有限时间内是可以通过有限长度的。

今天所有学过高等数学的读者也许都能看出二分悖论的误区，那就是将一个无穷级数的项数无穷与结果无穷混为一谈了。在适当的单位下，二分悖论所涉及的无穷级数是1/2＋1/4＋…，项数是无穷的，结果却并不因项数无穷就成为无穷，而仅仅是1，是有限的。因此无论是那无穷多个中点，还是两两之间那无穷多段路径，都能在有限时间内走完。

破解芝诺悖论的案例

芝诺约生于公元前490年,卒于公元前425年,是古希腊著名的哲学家和数学家.芝诺悖论至今已经2400多年了,在这两千多年中,人们无数次地对这些悖论进行了破解,人们也曾经无数次地以为这些悖论已经被破解了,但过后却发现,根本就不是那么回事.所谓的已经破解,反而成了这些悖论成立的最有力的证据.

1.亚里士多德几何图形法

在历史上，亚里士多德在《物理学》一书中就给出了一个很漂亮的反驳，要点是指出芝诺只对空间进行了无穷分割，却忘记了同样的手法也可用于时间。只要对时间和空间作同样的无穷分割，走完芝诺分割出的无穷多个中点（或两两之间的无穷多段路径）就只需有限的时间，因为那实际上是从用有限时间中分割出的无穷多个时间点（或两两之间的无穷多段时间）来完成的。

亚里士多德还指出，无论对空间、时间还是其他连续之物，我们谈论它们的“无穷”时必须区分两种含义：一种是分割意义上的无穷，一种是延伸意义上的无穷，芝诺混淆了两者故而得出了错误结论。亚里士多德的这一表述跟我们通过无穷级数表述的看法有异曲同工之处，“分割意义上的无穷”相当于项数无穷，“延伸意义上的无穷”相当于结果无穷，将两者混为一谈正是二分悖论的误区。只不过亚里士多德用的是芝诺自己的手法，可谓“以子之矛，攻子之盾”或曰“以毒攻毒”，是论辩的高招。

柏拉图也曾经如此评价芝诺悖论：“由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。这显然是错误的，但你又觉得它很有道理而无法推翻。”

2.无限抛球机器问题　　

　　最有名的无限机器是抛球机器，它是这样设计的：一小球从ａ处开始向ｂ处抛动，令小球从ａ处抛到ｂ处时花二分之一分钟，从ｂ处抛回ａ处花四分之一分钟，依此类推，来回抛球时间依次是：1/2^1 , 1/2^2 , 1/2^3 , ........... , 1/2^n,................

　　抛球的次数依次为：1，2，3，....................n,.........................

　　很显然的，这个抛球的次数所组成的集合是一个无限集合，实际上是一个自然数集合，这个集合具有可数性，排序性,无限性，没有最后一项。

　　如果时间能够达到一分钟，则球肯定会停下来的，但球将停在a点还是b点，却是不可以预先确定的。有些人据此即认为无限抛球机器无解，则是错误的。这种见解其实是形而上学的，这里预先假设了，球如果会停下来的话，那么，它必须是停在这个点上，而不能停在那个点上。这种观点不知道世界上还有不确定性这回子事。

　　如果球最后停了下来，那么，就必然地会有最后一次抛球。这就意味着，抛球的次数所组成的集合是一个有限集合（这个集合具有可数性，排序性,有第一项，也有最后一项）。如果球不能停下来，这个集合才是一个无限集合。但如果球不能停下来,则意味着时间不能到达一分钟.这样,也就产生了逻辑矛盾.

　　无限抛球机器问题让矛盾更尖锐地显现出来,它让实无穷思想在最后的终点问题上无所循形,无限抛球机器问题的无解,反证了二分法问题的无解.

3.构造思想求解

我们把物所走过的所有空间点构成一个无穷集合,我们再把物所走过的所有的时间点构成一个无穷集合,这每一个时间点与每一个空间点可以构成一一对应的关系,这样,我们就可以清楚地看到,物的确是按照时间先后次序一一地走过所有的空间点的.

　　这种观点似是而非,它其实是首先假设,时间一定能够从时间起点到达时间终点,建立在这个假设之上,然后得到物体能够从空间起点走到空间终点.但其实按照二分法悖论,物能否从时间起点到达时间终点,这是需要证明的.我们不能把一个需要证明的东西当成我们的逻辑前提.

　　物要从时间A点到达时间B点，它必须首先到A、B这段距离的中点C，而它要从C点到达B点，必须先到C、B的中点D，如此可以无限地推算下去，那么,物是如何最后到达终点的呢？物无法到达时间终点。这样，物在空间中的位移与在时间中的位移就完全地一样了。而很大一部分的人在反驳这个悖论的时候，想当然地认为时间一定是流逝的，从而得到悖论已经破解的错误结论。　

时空的本质是运动,没有运动就没有时间.如果运动根本就不存在,那么,时间也就不存在,也就决不存在着所谓从时间起点到达时间终点.在相对论出现之后,在牛顿的绝对时间观念被终结之后,要人们理解没有运动就没有时间的观点应该不那么难了.

　 物体运动到第一个中点的时候,进行了一次位移,我们把这个位移次数用自然数标志为１,然后物体运行到第二个中点的时候,进行了二次位移,我们把这个位移的次数用自然数标志为２,运动到每一个中点,都有着一个唯一的与之对应的位移次数,我们把这些位移次数组成一个无穷集合:　{１,２,３,...................}，　很显然的是,这是一个自然数集合,在这个集合中,没有最大的数.

　　然后,我们看物体按照上述的记数方式,它位移到终点需要多少次位移,我们可以说,它是无限次.但是,对于这样的说法,我们是不能满意的.但是,我们可以与物体运动到任意中点的位移次数进行比较,我们就会发现,物体运动到终点所需要的位移次数,一定大于运动到任意中点所需要的位移次数,因而可以得到,物体运动到终点所需要的位移次数,大于任意给定的自然数,于是我们得到了一个最大的自然数,因为它大于任意给定的自然数.但是,最大的自然数是不存在的.因而这样就形成了逻辑矛盾,据此可以断定,物体不能到达终点.

我们假设,无穷个中点可以走完,物体走过了无穷个中点,但是,终点还没有走到,也就是说,走到终点是在走过无穷个中点之外,但是,如果终点还没有走到,则意味着,在物与终点之间一定还存在着一个中点,因而无穷个中点还没有走完.据此我们所能得到的结论是,如果物能够走到终点,那么,走到终点一定是在走完无穷个中点之内,而不是在之外.

在物体走到每一个中点中,都不包含走到终点,因而物体在走过所有的中点中,也不包含走到终点,这就意味着,走到终点只能在走完无穷个中点之外.然则这两个方面形成了逻辑矛盾,因而终点不能走到.

芝诺悖论带给我们惊喜，为极限的诞生莫定了基础

1.数是不是可以无限分割。

现在我们当然知道，一个数无论多小，只要确定，我们就一个可以找到比它更小的数。

但是，在当年，这个概念是没有的。很多人可能听说过“以太”这个词，古代西方学者认为，宇宙间存在一种基本粒子，叫做“以太”，万事万物都是由基础粒子“以太”构成的，而“以太”本身是不可分割的。与“以太”概念对应的，在数学上就存在一个所谓的最小单位数，是不能再除的，因为它就是最小单位。

亚里士多德认为芝诺的乌龟是一种诡辩，就是因为他认为最小单位数是不可分割的，所以芝诺的无限分割时间和距离的做法是一种诡辩。十七世纪，牛顿和莱布兹尼共同奠定了微积分理论之后，直到十九世纪，数学界关于极限的研究越来越多，芝诺的乌龟才开始重新引起人们的重视。

虽然芝诺悖论在第二次数学危机期间被广泛讨论，但第二次数学危机的原因是无穷小存在的合理性问题。后来经过波里扎诺、阿贝尔、柯西和戴德金等数学家的努力，逐步建立起实数体系，完善了极限理论，第二次数学危机得以解决。

根据积分，我们很容易得出结论，无论怎样无限分割，乌龟在被追上之前，它所使用的时间总和和距离总和是有极限的，这个极限并不是无穷大，所以，乌龟是一定会被神明在有限的时间和距离内追上的。具体的公式就不罗列了，有兴趣的看官可以差一下，或者自己推演一下，还是挺有趣的。

2.量子跃迁解开芝诺悖论

芝诺悖论的核心观点就是运动不可分，实质上是说：空间、时间和物质都是连续的，你可以无限分割下去，却永远都分不完。不可分，就是分不完的意思。

阿基里斯之所以一直追不上乌龟，是因为他一直在纠结时间和空间是否无限可分的问题！

芝诺悖论的逻辑并没有错，错就错在认为微观世界的时空，依然像宏观世界的时空那样，是连续的，无限可分的。时空如果无限可分，则“芝诺悖论”成立，且毫无逻辑破绽。

时空是连续的，还是离散的？ 中国古代哲人庄子曾断言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”物质无限可分的观念根深蒂固。

量子物理学认为时空是离散的。最小极限的时空，处于极不稳定的量子真空涨落状态，再也无法分割。时空到达最小极限，再锋利的刀刃，永远都切不破，就像孙悟空的头颅，切一个，变两个，刀刃越锋利，变得越多。

极限时空，恰似珍珠断线，各不相连，从A点到达C点，只需“量子跃迁”，瞬时即达，不经过中间任何一点，不需要一丁点儿时间。

量子跃迁，就是微观状态发生跳跃式变化的过程。微观粒子的状态是分立的，从一个状态到另一个状态的变化，通常采取跳跃的方式。例如，电子在光的照射下从高能态释放一个光子而跃迁到低能态就是一种量子跃迁过程。

量子跃迁是微观粒子的运动方式。量子跃迁现象在微观世界普遍存在，如原子核和基本粒子的衰变过程、聚变过程和裂变过程等。

时空流逝，如同电影播放，一帧一帧图片叠加，呈现连续不断的假象。既然时空不能无限分割，阿基里斯追赶乌龟的“步骤”，也不是无限多。到达最小时空极限，阿基里斯就会“量子跃迁”。“量子跃迁”，维护了阿基里斯“善跑健将”的尊严。

芝诺悖论引发了人们对“动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系”的深思。黑格尔指出：“芝诺主要是客观地、辨证地考察了运动。”

一点想法

2500多年的科学史告诉我们，人们在解决芝诺悖论上的工作思路是错误的：没有深入研究造成悖论的传统无穷观及相关数量体系的缺陷，没有从构造新的无穷观及相对应的数量体系下手。所以，不管如何努力，只能是徒劳。

挣脱现有的传统有穷--无穷理论体系缺陷的束缚，构造科学的、新的有穷--无穷理论体系及与之相对应的数量体系，才是彻底解决芝诺悖论、彻底解决所有芝诺悖论翻版，彻底解决第二、第三次数学危机的唯一途径

对于芝诺悖论,如果我们假设在它的逻辑体系里面是无矛盾的,但是,它与现实不相符合,结论就只能是它的逻辑前提有问题.也就是说,它的错,或者是逻辑前提有问题,或者是逻辑过程有问题.

　我们就要找出这种问题所在.如果我们假设时空是有限可分的,我原来以为,在逻辑层面,无法解决飞矢不动悖论,但在前面与网友的讨论中,似乎也是可以解决的.如此,在逻辑层面,在时空有限可分的范围内,可以解决掉这个悖论.

　　但是,在时空无限可分的范围内,两分法至今依然无解.我们能不能建立在这个逻辑前提下,也得到一个无矛盾性的逻辑结构?

　　辩证法主张时空无限可分,而形而上学主张时空有限可分,如果在时空有限可分的范围内,这个问题得到解决,那么,形而上学在这个问题上面就占到了上峰,辩证法因而就面临难局.如果辩证法不能解决这个问题,辩证法就很难说能站得住脚.

　　但是,我以为,必然可以找到一种逻辑结构,使得时空无限可分的逻辑前提下也能解决掉芝诺悖论.

参考文献：卢昌海，芝诺的悖论：你永远追不上乌龟？

中学数学深度研究

其实我们用最简单的数学方法就能推翻阿基里斯“追不上乌龟”这个悖论了

阿基里斯永远也追不上乌龟是古希腊哲学家芝诺四大著名悖论之一，影响还特别深远，叫做“阿基里斯悖论”。

话说阿基里斯号称希腊第一勇士，而且非常能跑。芝诺悖论就说，阿基里斯再能跑，也永远追不上一只乌龟！

所以我们先来看看它是怎样追不上乌龟的：

这个悖论就是这样的，阿基里斯让乌龟先跑一百米。阿基里斯再追这只乌龟，当阿基里斯追上乌龟原来的位置的时候，乌龟又已经跑出一段距离了。然后阿基里斯又开始追，他又追到乌龟原来的距离的时候，乌龟又向前跑了一小段距离。阿基里斯再去追乌龟········就这样，以此类推，阿基里斯永远也追不上乌龟。

因为阿基里斯每一次追上乌龟原来的位置的时候，乌龟就已经又往前面，跑了一段位置了。

当然了，按照我们常识来说，小孩子都知道，阿基里斯一定能追上乌龟，因为小孩子都能追上乌龟，是吗？

如果我们根据之诺的逻辑，又好像没有什么地方是错的，那你知道问题出在哪里吗？

我们先假设，人的速度是十米每秒，乌龟的速度是一米每秒。

第一次能追到乌龟的位置的时候，他就花了十秒钟。

十秒钟之内乌龟又跑出了十米，阿基里斯又追上这十米，又会花掉一秒中。

乌龟在这一秒钟之内又前进了一米，然后又花了0.1秒钟，再追到乌龟现在的位置，乌龟又向前跑了0.1米，以此类推。。。。

如果要解释阿基里斯悖论的话，根本连微积分都不用。因为之诺给出的结论是：“阿基里斯永远也追不上乌龟”。

这句话意思就是，永远追不上，实际上就隐含着追的时间“t”趋近于无穷大。

所以我们计算一下就好了，阿基里斯第一段追上的时间是10秒钟

第二段最长的时间是1秒钟

第三段剩0.1秒

四段是0.01秒

以此类推

所以我们把所有的数字加起来。也就是t=10+1+0.1+0.01+0.001+············=11.11111·········

无穷多的1，所以这样看来，12秒钟就够用了，所以，当分12秒的时候，就已经追上了乌龟。根本就用不上永远

量子猫

这不算真正悖论，而是一种诡辩。

题解如下：

乌龟速度为1米/秒，阿基里斯速度为10米/秒，乌龟先行100米，二者同时同向出发，问阿基里斯多久追上乌龟？

设：阿基里斯x秒追上乌龟，列方程如下

100+x=10x

x=100/9

可见，阿基里斯将在100/9秒后追上乌龟。

这个悖论要害在于，将100/9秒的有限时间，无限分割出无限多的1/10n次方——

1/9+1/10+1/100+1/100+……

也就是说只要阿基里斯用时达到100/9秒，自然追上乌龟了。

中国古代也有类似命题：

就是利用物质无限可分的道理，与阿基里斯悖论相去不远。就好比阿基里斯悖论只能在100/9秒内做文章，“一尺之棰”无论怎么分法，并不会加长一星半点。

事实上庄子是将此作为一个诡辩恶例记录下来的。

能解开的悖论就不是真正悖论。真正悖论应该是形式没有问题，但逻辑上就是无法解释。比如：

我的话都是谎言。

你觉得我在说谎吗？

真正鳄鱼不哭

追不上和追得上都能自圆其说。

追不上是说阿基里斯用了无穷步数都追不上乌龟，因为他每走了一步，乌龟也往前走了一步。但是芝诺偷换了概念，无穷步数追不上不等于无穷时间追不上。无穷步数一直下去，我们随便说个数，1000步以后，每一次走的距离都逼近0了，也就是虽然说追了无穷步，但走过的距离之和极小，基本约等于0，还不如普通蚂蚁爬一步远呢，那怎么追得上，追得上才怪了。

普通人你能走出个0.00000001纳米的距离吗？没人走得出来的，但阿基里斯就能走出来，所以他追不上乌龟就很正常了。阿基里斯也被芝诺偷换了概念，他已经不是正常人了。错误的人，竟然能走出极微小的距离，所以得出了追不上乌龟的结果。总而言之，芝诺的证明无效。

梦棋998

我觉得是，因为有个普朗克时间，这就是时间的最小刻度，如果将人速度看做常量，那么人和龟在追上和刚未追上这个临界点处，给一个时间，这个时间是普朗克时间的整数倍，要么就是超过了，要么就是还没有，这个是不连续的，离散！跳跃式！这个和纯数学逻辑还是有出入的！

特雷西800

在无限分割可以成立的条件下，龟什么确定时刻被追上是无解的。有理数系统下龟超越时刻无法精确。

作为数学问题其实可以看做被解决了

吴琬君JessieWu

可以无限分割的，不代表是无限大的，就这么简单

marstonding

人正常走路是以正整数步数为基本单位，乌龟走路也是以龟步的正整数步数为基本单位的。所以按人龟时间比例细化走路长度的说法是不成立的。

直指见性

在中文里有个词叫做宇宙“宇”无限的空间，“宙”无限的时间，在空间上你追上了乌龟但是在时间上你永远追不上乌龟。这不是悖论也是悖论。

三山TALSOAB

阿基里斯悖论与应用数学的关系：

一分钟看懂古希腊悖论，专家为你解释为什么人永远跑不过乌龟

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關鍵字: 数学 乌龟 有人