本期文章要点如下：

函数极值的求法

函数最值求法：（1）函数值比较法；（2）单侧极限比较法；（3）连续函数的唯一的极值点就是它的最值点。

函数极值的求法

求法一、用一阶导数求之（第一充分条件）

设函数f(x)在点x0处的一个邻域内可导，且f'(x0)=0，或f'(x0)不存在，但f(x)在x=x0处连续。若f(x)在点x0的两侧邻近导数异号，则f(x0)是函数f(x)的极值。当导数符号由正变负时，f(x0)是极大值；由负变正时，f(x0)是极小值.若f(x)在点x0的两侧邻近导数不变号，则f(x0)不是极值。

注意：f(x)不存在的点，也可能是极值点如上例，可用该点左右两侧一阶导数是否变号判别之。

因判断一点处的f"(x)的符号比判断一个区间上的f''(x)的符号要方便一些，所以对可导函数常用二阶导数求其极值(见求法二)。

求法二、用二阶导数求之(第二充分条件)

设函数f(x)在点x0处二阶可导，且f'(x0)=0,但f"(x )≠0,则当f"(x0)>0时，f(x)在x0处取极小值f(x0)；当f"(x0)<0时，f(x)在x0处取极大值f(x0)。

求法三、根据定义求之

下面介绍如何根据定义讨论函数的极值。题中没有给出函数f(x)的具体表示式，又没有假定f(x)可导，不能用前面与导数有关的判别法则，只能按定义判定某点是否为极值点。

这类命题有两类常见题型：

一类是给出抽象函数f(x)所满足的极限式的题型。【如例5例6】

对这类命题常用有极限的函数的保号性，找出极限点的去心邻域，根据定义判别；或根据函数与其极限之间关系，列出等式推证；或用极值存在的充分条件与极值定义判别之，并求出极值.

另一类题型是抽象函数所满足的条件不是极限式的命题。【如例7】对这类命题需利用所给条件及极限定义判断之。

求法四、利用泰勒公式结合前述各法判别之，并求出极值。

在求极值或论证极值的问题中，如果涉及的既有函数值又有其高阶导数时，可用泰勒公式将它们联系起来，进行计算或论证。

注意：对于一个可导函数在点x=x0处具有极值的必要条件是f'(x0)=0.当f"(x0)≠0时，则可利用其符号确定其达到极大值或极小值，但如f"(x0)=0，就不能利用前述法则来确定了。这时可以利用上述定理判别。

求法五、利用上述定理4.7.1判别之

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函数最值得求法

求法一、函数值比较法

该法的方法与步骤如下：

求法二、单侧极限比较法

若函数f(x)在开区间、半开区间或无穷区间内连续，为求函数在该区间上的最值。需求出区间内函数的全部极值和区间端点处函数的单侧极限，如果单侧极限最大，则函数在该区间内无最大值;如果单侧极限最小，则函数在该区间内无最小值。

求法三、连续函数的唯一的极值点就是它的最值点。

据此若函数f(x)在区间I上连续，且在I上只有一个极值(极大值或极小值)，则此极值(极大值或极小值)就是f(x)在I上的最值(最大值或最小值)。

具有上述特性的函数在I内的图形只有一个“峰”或"谷”，自然这个“峰”或“谷”为其最大值或最小值。

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關鍵字: 极值 函数 数学