想象这样的场景：你置身于一个色彩艳丽、灯光明亮的游戏节目现场。在你面前是三扇完全相同的门。一位游戏节目主持人告诉你，在其中一扇门后面是一辆崭新的跑车。在另外两个的后面，是一些相当讨厌的家畜。游戏节目主持人让你选择一扇门……
情况听起来相当简单，直到游戏节目主持人打开其中一扇门，露出一只山羊。然后他问你要不要换门……
虽然这个选择看起来似乎可以用一个简单的50/50选择来描述，但事实却远不是那么直观，它是数学中最邪恶、最具分裂性的难题之一的基础。
- 电视节目《让我们做笔交易》(Let ' s make a Deal)中那个花哨的场景让人难以相信，数学中“最棘手的问题”之一就来自这个演播室。
2017年9月30日，美国传奇电视主持人蒙蒂·霍尔在比弗利山庄的家中去世，享年96岁。虽然他主持过几部颇受欢迎的游戏节目，包括《让我们做个交易》、《一刹那》和《连锁信》等，还制作过很多其他节目，但霍尔的遗产最终可能还是在数学领域，而不是娱乐领域。这是由于他与“蒙蒂霍尔问题”或“留或换的困境”的联系，这是一个基于他的节目“让我们做个交易”的概率难题，它在整个90年代在数学家和统计学家中引起了很大的争议，因为它的本质是反直觉的。
1975年，在一项统计研究中首次提出了蒙蒂霍尔问题。后来，玛丽莲·沃斯·莎凡特在她的报纸专栏“询问玛丽莲”中，使蒙蒂霍尔问题流行起来。这个问题让你站在“让我们做个交易”的假想参赛者的立场上，挑战你使用数学来确保你拿了一个明星奖，同时避免了两个傻瓜奖。
让我们做个交易：蒙蒂·霍尔问题
你面对三个门，让我们标记它们A, B和C。其中两个门后面是一只山羊，另一个门后面是一辆顶级跑车。很明显，除非你很古怪，否则你想赢车。让我们给每扇门分配概率，很容易看出，每扇门成功的机会是1/3。你可以选择哪扇门，你选择A门。不管你选择哪扇门，在这个阶段，每扇门都有可能隐藏汽车。
到目前为止很简单。
这时，我们的主人蒙蒂打开了另一扇门，比如说C，露出了一只山羊。从这件事中我们可以了解到，在这个阶段，主人总是打开一扇没有选择的门，而这扇门总是会露出一只山羊。
现在，它变得有趣了；蒙蒂给了你一个选择。你可以坚持你最初的选择(A)，也可以选择剩下的未打开的门(B)。
坚持还是换一个呢？
大多数人在此阶段得出的结论是，他们面临与最初提供的选择类似的选择，只是这次，正确选择汽车的几率平均分布在其余两个门上。如果你选择换，您将有50%的成功机会，如果您坚持选A，也有50%的成功机会，这只是常识，对吧？
玛丽莲·沃斯·莎凡特不同意这个看似常识的答案，她指出，如果参赛者把他们的选择换到另一扇门（在我们的场景中是B），他们更有可能赢得比赛。事实上，如果他们改变选择，他们开超级跑车离开的可能性会增加一倍。这在她的读者中引起了愤怒。成千上万的读者写信来批评或纠正沃斯·莎凡特，其中许多回复来自数学和科学博士。在后一篇专栏文章中，沃斯·桑特指出，在这件事上，92%的信件反对她。
一些选择的回应如下：
“你错了，但阿尔伯特·爱因斯坦在承认自己的错误后，在人们心中赢得了更宝贵的地位。”——弗兰克·罗斯博士。密歇根大学
“我一直是您专栏的忠实读者，直到现在，我还没有任何理由怀疑您。然而，在这件事上(我确实是这方面的专家)，你的回答显然与事实不符。”——詹姆斯Rauff博士。密歇根大学
“我相信你会收到许多关于这个话题的信件，从高中和大学的学生。也许你应该保留一些地址来帮助将来的专栏。罗伯特·史密斯博士。乔治亚州立大学
“你对游戏节目问题的回答是完全错误的，我希望这场争论能引起公众对数学教育中严重的国家危机的关注。如果你能承认你的错误，你将为解决一个可悲的局面作出建设性的贡献。需要多少愤怒的数学家才能让你改变主意？雷波波，博士学位。乔治敦大学
“你犯了一个错误，但要看到积极的一面。如果所有这些博士都错了，这个国家就会陷入严重的麻烦。”埃弗雷特哈曼博士。美国陆军研究所
但是他们错了，玛丽莲是对的。这是为什么？
蒙蒂·霍尔解决方案
解决蒙蒂霍尔问题有多种方法，最简单的方法是首先确定为什么在两扇门后找到汽车的机会不是直接对半分。为了做到这一点，让我们回到C门打开之前，里面是一只非常有趣的小山羊。这次我们不仅要给出汽车在门后的概率(用黑色标记)，还要给出汽车没有在门后的概率(用红色标记)。
在这一点上，转换似乎不应该有吸引力。当蒙蒂打开门C时，一切都会改变。此动作意味着汽车仍然有2/3不在门A后面。这意味着汽车有2/3机会在B或C后面。门C的打开并没有影响与门A相关的概率，但是影响了与门B相关的概率。这几乎就像门B必须承载先前由B和C持有的全部“概率负载”一样。这是因为C不是随机选择的。汽车有2/3的机会位于B和C配对之后，这由B承担。让我们来看一下以图解方式将B和C表示为具有联合概率的一对。
- 现在让蒙蒂再次打开C门，看看这对概率有什么影响。
留给你的选择如下。A门有1/3的成功几率和2/3的失败几率。B门有2/3的成功几率和1/3的失败几率。因此，如果参赛者将车门从A换成B，那么他有两倍的机会选中汽车。
还是不服气？让我们考虑一个更极端的情况，游戏节目《让我们交易》来自另一个世界，根本的区别门更多了！
蒙蒂·霍尔问题的百门解决方案
在这个问题的假设版本中，参赛者不是从3个门中选择，而是从100个门中选择，为了方便起见，我们将把这些门标记为1 - 100，并说我们的参赛者选择了1号门。她有1/100的机会选择隐藏汽车的门，有99/100的机会不选择汽车。我们用一个简化的图来表示它。同样，黑色表示选择汽车的机会。红色的机会，不选择的车。
现在，蒙蒂在第2-100号门之间选择一个门打开，并露出长胡子的山羊，直到只剩下两扇门。1号门是她最初选择的，2号门是最后一个没有选择的。这是目前的赔率。
正如你所看到的，在这种情况下，几乎可以肯定的是，当蒙蒂要求这名选手“坚持或转换”时，他们坚持是愚蠢的。最初选择成功的几率是1/100，而转换选择成功的几率是99/100。
但我们能证明这一点吗？让我们离开这个电视演播室，回到我们最初的例子去寻找答案。
证明蒙蒂霍尔问题的解决方案
验证参赛者能否成功开门的最简单方法之一是使用称为贝叶斯定理的数学公式，该数学公式用于分析条件概率，即在发生另一事件的情况下事件发生的概率为已发生。
贝叶斯定理允许我们定义概率事件(A)在第二个事件(B)发生的情况下发生，等于事件B发生的概率前提是事件A已经发生了。乘以事件A发生的概率除以事件B发生的概率。
根据这个公式，B门的成功率为2/3，正如上文和·沃斯·莎凡特预测的那样。同时，最初的实验结果也证实了沃斯·莎凡特所预测的模式，这将使你们当中的实验主义者感到高兴。如果你喜欢更正式的测试，麻省理工学院在2005年进行的一项研究发现，转换门的受试者成功的几率为66.6%，而坚持原来选择的受试者成功的几率只有33.3%。
自己试试
幸运的是，你可以很容易地自己运行蒙蒂霍尔问题的模拟，尽管如果您在客厅中进行模拟，我建议您不要使用山羊。以三个碗和一个玩具车为例，当然还有一个实验对象。不要让测试对象知道测试的的目的。可以在评论区留言测试结果哦！
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