所謂幻方,也叫縱橫圖,就是在n×n的方陣中放入從1開始的n×n個連續自然數,在一定的佈局下,使其各行、各列及兩條對角線上的數字之和正好相等。這個和數就叫“幻方常數”或“幻和”。
在小學數學中,最常見的幻方是三階幻方,也就是傳說中大禹治水的時候洛水神龜獻給大的“洛書”。下面就從三階幻方的結構特徵出發,展開進一步的學習。
在下面圖中幻方中所填的數將不侷限於若干個連續自然數,但滿足“行和=列和=對角線和”
三階幻方的結構特徵:
(1)三階幻方的幻和=3×中心數 (公式1)
(2)如圖所示,在三階幻方中a=(h+f)÷2 (公式2)
思維分析:
(1)如圖所示
在圖中的三階幻方中,設幻和為s,根據構成幻方的條件可以得到下列等式:
a+e+i=s;b+e+h=s;c+e+g=s;d+e+f=s
觀察上面4個等式,中心數e重複計算了4次,而其他數則計算1次,我們把4個等式對應相加可得:
a+e+i+b+e+h+c+e+g+d+e+f=4×s
把上面等式的左邊計算次序作如下調整:
(a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)+3×e=4×s
上面的等式實際上可以寫成:
3×s+3×e=4×s
顯然有:s=3×e,也就是幻和=3×中心數
(2)如圖所示:
在圖中的三階幻方中,設幻和為s,根據構成幻方的條件,可以得到下列等式:
a+b+c=s;a+d+g=s
所以2×a+b+c+d+g=2×s (等式1)
一方面,三階幻方中的9個數,從三個行的方向計算可以得到三個幻和,也就是說這9個數之和等於幻和的3倍。
另一方面,觀察上圖中對角線上的3個空格,這三個方格中所填數之和等於幻和。
所以上圖中的b、c、f、d、g、h6個方格所填的數字之和等於幻和的2倍,即:
b+c+d+f+g+h=2×s (等式2)
比較等式1和等式2
2×a+b+c+d+g=2×s
b+c+d+g+f+h=2×s
顯然有2×a=f+h,即a=(f+h)÷2
舉一反三:在下面的方格中填上適當的數,使每行、每列和每條對角線上的三個數的和都等於24(已有三個數填出)。
你能完成上面這個幻方嗎?
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