正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。而雙正方形常常跟其他知識點結合在一起成為中考的熱點題目，比如與相似三角形、相似三角形、圖形的旋轉變換相結合，很多壓軸題也經常以雙正方形為載體。本文主要講解與雙正方形有關的綜合題所涉及幾何模型，給解決相關問題提供一些思路。
涉及幾何模型及解題思路
1、與模型相關：
（1）手拉手模型：△ABG≌△CBE．
（2）三垂直模型：△FGM≌△MCD．
（3）"8"字型相似：△AMD∽△EMF．
2、與對角線相關：
（1）連接BF、BD，則BF⊥BD．
（2）連接DF，取DF中點M．
連接MA、ME，則MA=ME，MA⊥ME．
連接MG、MC，則MG=MC，MG⊥MC．
（3）連接EG、BD，則EG∥BD，且△EDG面積等於△EBG面積．
最新考題精析
1．（2019•廣東中考題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至E使EB＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長FG交DC於M，連接AM，AF，H為AD的中點，連接FH分別與AB，AM交於點N、K：則下列結論：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，矩形的判定和性質，直角三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
由正方形的性質得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根據全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正確；
根據全等三角形的性質得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②錯誤；
根據全等三角形的性質得到AN＝1/2AG＝1，根據相似三角形的性質得到∠AHN＝∠AMG，根據平行線的性質得到∠HAK＝∠AMG，根據直角三角形的性質得到FN＝2NK；故③正確；
根據矩形的性質得到DM＝AG＝2，根據三角形的面積公式即可得到結論．故④正確，故選：C．
2．（2019•鞍山中考題）如圖，正方形ABCD和正方形CGFE的頂點C，D，E在同一條直線上，頂點B，C，G在同一條直線上．O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE於點H，連接FH交EG於點M，連接OH．以下四個結論：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解析】本題考查了正方形的性質，以及全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，正確求得兩個三角形的邊長的比是解決本題的關鍵．
由四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE＝90°，從而得GH⊥B，故①正確；
由GH是∠EGC的平分線，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中點，利用中位線定理，得HO∥BG且HO＝1/2BG；由△EHG是直角三角形，因為O為EG的中點，所以OH＝OG＝OE，得出點H在正方形CGFE的外接圓上，根據圓周角定理得出∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，從而證得△EHM∽△FHG，故②正確；
設HN＝a，則BC＝2a，設正方形ECGF的邊長是2b，則NC＝b，CD＝2a，
3．（2019•揚州中考題）如圖，已知點E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG，連接DF，M、N分別是DC、DF的中點，連接MN．若AB＝7，BE＝5，則MN＝______．
【解析】本題考查了正方形的性質及中位線定理、勾股定理的運用．構造基本圖形是解題的關鍵．
連接CF，則MN為△DCF的中位線，根據勾股定理求出CF長即可求出MN的長．
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
4．（2019•濰坊中考題）如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過點A作AH∥DG，交BG於點H．連接HF，AF，其中AF交EC於點M．
（1）求證：△AHF為等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的長．
【解析】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例等知識點，靈活運用這些知識進行推理是本題的關鍵．
（1）通過證明四邊形AHGD是平行四邊形，可得AH＝DG，AD＝HG＝CD，由"SAS"可證△DCG≌△HGF，可得DG＝HF，∠HFG＝∠HGD，可證AH⊥HF，AH＝HF，即可得結論；
（2）由題意可得DE＝2，由平行線分線段成比例可得EM/DM=EF/AD=5/3，即可求EM＝5/4.
5．（2020•龍崗區校級模擬）如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．
（1）探究PG與PC的位置關係及PG/PC的值（寫出結論，不需要證明）；
（2）如圖2，將原問題中的正方形ABCD和正方形BEFG換成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG與PC的位置關係及PG/PC的值，寫出你的猜想並加以證明；
（3）如圖3，將圖2中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，問題（2）中的其他條件不變．你在（2）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想並加以證明．
【解析】本題主要考查了正方形，菱形的性質，以及全等三角形的判定等知識點，根據已知和所求的條件正確的構建出相關的全等三角形是解題的關鍵．
（1）可通過構建全等三角形求解．延長GP交DC於H，可證三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根據平行線間的內錯角相等可得出兩三角形中兩組對應的角相等，又有DP＝PF，因此構成了全等三角形判定條件中的（AAS），於是兩三角形全等，那麼HP＝PG，DH＝GF＝BG，那麼可得出CH＝CG，於是三角形CHG就是等腰三角形且CP是底邊上的中線，根據等腰三角形三線合一的特點，即可得出CP＝PG＝PH，CP⊥PG；
（2）方法同（1），只不過三角形CHG是個等腰三角形，且頂角為120°，可根據三角函數來得出PG、CP的比例關係；
（3）經過（1）（2）的解題過程，我們要構建出以CP為底邊中線的等腰三角形，那麼可延長GP到H，使PH＝PG，連接CH、DH，那麼根據前兩問的解題過程，我們要求的是三角形CHG是個等腰三角形，關鍵是證三角形CDH和CBG全等，已知的只有CD＝CB，我們可通過其他的全等三角形來得出三角形CDH和CBG全等的條件．三角形DHP和FGP中，有一組對頂角，DP＝PF，HP＝PG，那麼這兩個三角形就全等，可得出DH＝GF＝BG，∠HDP＝∠GFP，根據平行線間的內錯角相等可得出∠CDP＝∠EFD，那麼∠CDH＝∠EFG＝∠CBG，由此可得出三角形CDH和CBG全等，然後證法同（2）．
6．（2019秋•蕪湖期末）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG＝DE；
（2）如圖2，如果正方形CEFG繞點C旋轉到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．
①求∠BDE的度數；
②若正方形ABCD的邊長是√2，請求出△BCG的面積．
【解析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識；熟練掌握正方形的性質、證明三角形全等是解題的關鍵．
（1）根據正方形的性質可以得出BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，再由SAS證明△BCG≌△DCE就可以得出結論；
（2）①連接BE，根據平行線的性質可以得出∠DCG＝∠BDC＝45°，可以得出∠BCG＝∠BCE，由SAS證得△BCG≌△BCE，得出BG＝BE，證得△BDE為正三角形即可以得出∠BDE＝60°；
②延長EC交BD於點H，過點G作GN⊥BC於N，由SSS證明△BCE≌△BCG，得出∠BEC＝∠DEC，得出EH⊥BD，BH═1/2BD，由勾股定理求出EH的值，得出CE的值，證出△GCN是等腰直角三角形，得出GN＝√2/2CG，由三角形面積公式即可得
7．（2019秋•孟村縣期末）如圖1．正方形AEFG的邊長為2√2，點B在AE上，且AB＝2．
（1）如圖2．將線段AB繞點A逆時針旋轉，設旋轉角為a（0°＜a＜360°），並以AB為邊作正方形ABCD，連接DG，EB，試問隨著線段AB的旋轉，BE與DG有怎樣的數量關係？說明理由；
（2）如圖3，在（1）的條件下，若點B恰好落在線段DG上，求點B走過的路徑長（保留π）．
【解析】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、線段垂直平分線的性質、等邊三角形的判定與性質、弧長公式等知識；本題綜合性強，證明三角形全等和證明等邊三角形是解題的關鍵．
（1）BE＝DG， 證明△ABE≌△ADG（SAS）．即可得出結論；
（2）連接AC，交BD於M，連接CG，證出DG垂直平分AC．得出CG＝AG．由題意，知AD＝CD＝2，得出AC=2√2．證出AC＝AG．得出AC＝AG＝CG，即△ACG是等邊三角形．得出∠CAG＝60°．求出∠BAG＝∠CAG﹣∠BAC＝60°﹣45°＝15°．得出∠EAB＝∠BAG+∠GAE＝15°+90°＝105°．則點B走過的路徑長就是以A為圓心，AB長為半徑，且圓心角為105°的一段弧的弧長，由弧長公式進行計算即可．所以點B走過的路徑長是7π/6．
解題總結
從歷年中考來看，這類經常作為壓軸題目出現，得分率也是最低的。往往涉及是幾何綜合題，在平行四邊形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能力進行考察。所以說全面掌握相關知識，才有機會拼高分。
