独狼
这个问题比较抽象，提得不那么具体，我也就随便谈谈吧。
量子力学的数学图像基本就是希尔伯特空间——其实就是一个线性空间，所以线性代数是肯定可以用的。当然希尔伯特空间上还有一些很深的数学结构，也可以与范函分析挂钩，这里面涉及到物理上的厄米算子与数学上的自伴算子的微妙差别。当然物理学家是不管那么多的，太精密的数学不是物理学家关心的。而且，在量子力学中存在所谓的dirac的delta函数，这个函数在数学上的本质也是一个线性泛函，这是可以相互对应的。因此如果你想搞清楚这部分对应，我建议你读读梁灿彬教授写的《微分几何入门与广义相对论》的书的附录，其中有一个附录讲的就是量子力学的数学基础。当然了，你也可以参考其他的书，有一些书是给数学家写的量子力学。
量子力学的数学图像还包括偏微分方程——因为薛定谔的波动方程是一个复的偏微分方程，所以这里面还涉及到求解的问题。在求解的过程中，我们需要分离变量，这也是一个很值得深思的事情：那就是，什么样的波函数是可以分离变量的？什么情况下是不可以分离变量的？这部分知识讲的很少，在数学物理上有一些模糊性。
量子力学的数学图像还包括路径积分的数学严格性的证明。现在我们都在用路径积分，但数学家不认为这个路径积分在数学上是严格的。这部分也是值得仔细讨论的。
潇轩
理解量子力学至少要用线性代数，更好的图像是几何，建议找一下geometry structure of quantum mechanics类的东西看一下。几何图像下正交态理解为态间距pi/2，概率性也是距离造成的。
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