田長松
題主把物理學和數學拿來一起說了。
物理學，從某種意義上講，是一種“測量”的科學，物理量的數據是通過反覆測量得來，為了使數據更精確，物理學家們可以絞盡腦汁設計出更精密的測量方法、儘可能去除更多的干擾因素，以減少誤差，得出更精密的數據。而他們能做到的僅此而已。
而數學是邏輯推理逐步深化演進的科學，數學常數並非通過實驗得出。他有著嚴密細緻的邏輯推理演算，數學體系是一環扣一環而形成的，其數據在本體系內是準確無誤的。數學沒有“假說”，他不必經過大量實驗數據來驗證，他之理論是要“真實無誤”、“確定無疑”的“定理”來確立。比如，哥德巴赫猜想和費馬大定理，我們可以用大量“實驗數據”來說明他是正確的，如果放到物理學家那裡就會通過了，但是在數學家那裡，這絕對不行！數學家要的是確定無疑的證明！因而數學的體系一經建立，不會被更高深更先進的理論“推翻”。
圓周率若是用物理測量的方法也可以得出數據，但僅是粗略的，人們可以不斷改進測量方法，提高測量精度來得出“更精確”的數值。但是這是很侷限的，很快就走不通了。
這種物理方法會被數學家們嗤之以鼻。數學家們從古至今對這個常數作了不懈的探索。在理論上，數學家已經知道這個數是“無理數”（是無限不循環的），這意味著，人們得不出一個“完整數據”，只能無限逼近。在計算方法上，從最初的割圓術，到後來的無窮級數，到現在電腦程序演算，圓周率位數已經達到了“想要多少位就有多少位”的地步。
bratskid
因為精確到幾億位的π，可不是量出來的。
在祖沖之之前的年代，π的數值還能量出來。但自割圓術始，就再沒有“量”的說法了。（注意，割圓術也不需要“測量”，只是計算）藉助割圓術，祖沖之父子成功的把π值計算到了7位小數，即3.1415926. 但這樣搞顯然還是沒前途的，祖沖之父子計算了24000邊形，也就是搞出來7位小數。即使這個多邊形的邊數再翻倍，再翻倍，也到不了10位。
割圓術不行，那什麼辦法可以呢？
看來只有拋開“圓的周長”，藉助更高深的數學理論了。一位名叫韋達的數學家，做出了第一次嘗試：
這麼一個式子，一直加下去，就無限接近於2/π。然而問題還在：這個數很難算啊，有沒有簡單的式子？
還真有。
萊布尼茨藉助他（和牛頓同時）發明的微積分，根據泰勒展開，做了一個級數：
萊布尼茨級數：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……
雖然好算，但是收斂太慢了。所以他自己也沒有繼續算下去。
後來則出現了一些稍稍靠譜的，比如：
馬青公式：π/4=4（1/5-（1/5）³/3+（1/5）^5/5-(1/5)^7/7+……）+（1/239-（1/239）³/3+(1/239)^5/5-(1/239)^7/7+……）
這個曾經算到137位
現代計算機，則常用高斯法：
收斂超級快，算個十幾圈就能精確到上千萬位。
所以說，現代的π值計算裡面，根本沒有“測量”這麼個過程。所以，測量的誤差，也就不存在了~
IvanZhu
答：兩者之間並無矛盾，理論是理想化條件下的模型，實際測量卻受精度的限制。
在數學中，我們有很多公式來計算圓周率，利用計算機，有的公式可以輕鬆把圓周率計算到數千萬位，甚至數億位。
對於圓周率的計算歷史，最早人們認為“徑一週三”，這是基於實際測量的；我們簡單地畫一個圓，然後採用測量直徑和周長的辦法來計算圓周率，其精度到小數點後面第二位已經是極限了。
要想得到圓周率更高的精度，只有通過理論數學的辦法求得。
比如我國古代著名科學家祖沖之，就利用割圓術計算到2萬多正多邊形，才推算到圓周率的小數點第七位，成為我國古代數學的一大成就。
其中，祖沖之使用的割圓術，就完全不依賴於實際測量，割圓術的關鍵在於計算，大量的開方運算和迭代運算，可不是一般人能完成的，這其中一定耗費了祖沖之的大量心血。
倘若用測量的辦法計算圓周率，然後想把圓周率精確到祖沖之的精度，我們可以估計出，需要畫出直徑10公里的圓才行，這就是實際測量的侷限性。
理論數學的好處在於，我們總會有更好的辦法來計算圓周率，自從有了微積分、三角函數和虛數後，大量的圓周率公式出現，對於其中一些公式，我們只需要幾分鐘的手工計算，就可以得到和祖沖之同樣的精度。
在實際當中，我們只要把圓周率精確到小數點後面第34位，然後去計算可觀測宇宙的周長，就可以精確到一個氫原子直徑的精度。
但是這和理論上精確到數億位並沒有矛盾，理論可以指導實際操作，實際也可以反饋去修正理論，兩者相輔相成。
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艾伯史密斯
圓周率可不是測出來的
圓周率自古到今一直是數學家們探索的重要方向之一，在以前數學沒有發展這麼強大的時候，人們認識圓周率確實是通過測量得到它的數據，只是這個數據比較粗糙，只是一個大概的數據。
比較有名的有中國的劉徽，他通過計算192邊形的面積，157/50這個近似值，後來又計算出3072邊形的面積，得出更加精確的圓周率3927/1250。雖然這些數據都非常接近圓周率，但是相比於現在，它的精確度是不夠的。也是無法由簡單的物理測量得到的，況且測量有巨大的誤差，因為將圓細分得越多，測量難度越大，誤差也就越大。
現代數學的計算方法
雖然上述算法比較粗糙，但不得不說，無限細分的思想方法使用對後面數學的發展非常重要。微積分的發明和使用，圓周率的計算精度也達到了相當的高的地步。通過計算，可以計算小數點後面808位，這已經算是人工計算的最高精度了。
當然，後面計算機的發明和使用，使得圓周率的計算精度又上了一個臺階，2011年，日本通過計算機計算到了小數點後面10萬億位，而不是簡單的幾億位了，相信這個紀錄會不斷的刷新的。
學霸數學
正方形周長和邊長的比值是多少？如果考慮測量誤差肯定不是4。
世人皆知位數多之精確，不知位數少之精確，幾億位的圓周率還不如4精確。這就是數學和應用的差別。
4就是4，誤差為零，把圓周率寫到幾萬億位也有誤差。既然測量有誤差，如何能把4之後的無數位小數都精確到零(4.00……)？
世界上沒有完美的正方形，測量得不到精確的4，我們用邏輯推測完美的正方形，正方率是4。世界上也沒有完美的圓，我們用邏輯推測完美的圓，圓周率是π。
數學來源於現實，但它不等於現實，是邏輯上的想象。永遠也畫不出長度為1的精確線段，只能把它想象成精確的1。圓周率也是想象，不是現實中的測量，只不過測量的越精確，越接近這個想象。
飛魚科普
本題的說法，不那麼科學。測量誤差與測量精度，雖有關係，但不可相提並論。
誤差，是一種統計差距或技術缺陷，有可能進一步調整與改進。隨機誤差，可通過增加樣本數量與調整樣本分佈來改進。系統誤差，可通過優化儀器設備與操作技能來改進。
精度，反映在特定參照系下的測量任務，不同的測量對象，需要恰當的測量精度，換句話說，要選擇合適的測量單位。
例如：測量類星體距離只能精確到光年(1.5e15m)，測量海岸線長度只能精確到千米(1000m)。測量氣缸間隙至少精確到絲米(0.0001m)。
就純數學而言，有理數與無理數皆可精確到幾億位。圓周率π的精度，有必要到小數點後幾億位麼？因π無量綱，到3.1416了不得啦。
有量綱的測量，就值得計較，主要看數量級關係。例如，核外電子的動能Ek=½mv²，勢能Ep=mc²，由於v< 又如，測量地球與太陽的距離，不必考慮地球與太陽的半徑r與R，直接令r=0，R=0。 綜上，誤差不要過分大，精度不要過分精。具體問題具體分析，因地制宜才是科學方法。 測量是外業操作，測量的誤差受測量方法，測量設備，測量環境，觀測人員等多種因素影響，而上面每一項因素又受多種子因素影響，測量的過程就是誤差產生的過程，誤差只能減少，但不能消除，而圓周率是建造的理論模型計算的，兩者沒有可比性的。物理新視野
