小學數學中三角形三邊關係學習的四次思維轉折
2018年8月25日星期六
這部分內容來源於人教2011版小學四年級《數學》下冊第五單元“三角形”，該單元帶領小朋友們學習了三角形的特性、三角形的分類、三角形的內角和。其中三角形的特性一節的內容具體又有：三角形的概念、表示、底和高、穩定性、三邊關係。在這些“特性”中：“概念和表示”是最基礎的，也是學習起來最自然的，三角形有3個頂點、3條邊、3個角，命名抓住了“3個頂點”，比如：三角形ABC（大寫字母表示點的名稱，小寫字母表示線的名稱，這是一種數學字母符號表示的約定俗成），概念則抓住了“3條線段”圍成的圖形，可見，最基本的性質都和數字“3”相關；“底和高”的學習除了理解概念，還要重視操作，二者不可偏頗，相互促進；“穩定性”的理解可簡單可深入，簡單來說：三角形木框區別於長方形木框“拉不動”三字，即可構成對“三角形具有穩定性”最直觀的理解，深入地談則有：形狀的唯一性、形狀的不變性以及邊數大於3的多邊形“容易變形”的特點，是一塊在理解上“彈性”很大的內容；考慮到小學生學習、計算、應試的實際，綜合對比：“三邊關係”的學習難度最大，理解層次多，解答題型豐富，考試比重大，故而本文擇其談之。對於“穩定性”，似乎也有談談的必要，後續再看情況。
教材關於三角形“三邊關係”的學習只提供了1頁內容2個例子，見下圖：
人教版四年級數學下冊63頁
從這些內容來看，三角形三邊關係的學習根本不需要“四次”思維轉折，只需“兩次”就夠了。但從學生面對的試題、配練實際出發，要求被“拔高”了。因此，本文的視角基於教材，統籌練習，面向小朋友們的學習實際。
第一次思維轉折：理解公理，應用公理。
此處所說的“公理”，即例3所要表達的內容，如下圖：
這條“公理”概括起來叫做“兩點之間線段最短”。何謂“公理”？即公認的道理。即是公認，便是勿需證明的基本的正確事實，這些“公理”往往構成了一門學科的出發點。值得一提的是，我們初中所學的《幾何》其實完整點應當叫做《歐幾里得幾何》：“歐幾里得幾何指按照古希臘數學家歐幾里得（公元前330年～公元前275年）的《幾何原本》構造的幾何學。歐幾里得幾何有時單指平面上的幾何，即平面幾何。三維空間的歐幾里得幾何通常叫做立體幾何。高維的情形請參看歐幾里得空間。”這是“百度百科”關於“歐氏幾何”的簡介，我借用一下。歐幾里得幾何有個主要的特點是：基於5條公理和定義，演繹出了諸多的定理和推論，構成了一套嚴密的“演繹系統”。這5條公理是：
“
1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）；
2.線段（有限直線）可以任意地延長；
3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓（圓公理）；
4.凡是直角都相等（角公理）；
5.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小於兩個直角，則兩直線作延長時在此側會相交。
上述前三條公理是尺規作圖公理，用來定直線與圓。第四條公理比較不一樣，它好像是一個未證明的定理。事實上，它宣稱著：直角的不變性或空間的齊性。它規範了直角，為第五公理鋪路。第五公理又叫做平行公理，因為它等價於：
在一平面內，過直線外一點，可作且只可作一直線跟此直線平行。
”
歐幾里得和《幾何原本》
您也許會奇怪，這5條公理並不包含“兩點之間線段最短”，這也是我的疑惑。我想要表達的是：
①我偶然間發現的問題“兩點之間線段最短是公理嗎”，並不是一個輕鬆的問題。從我的學習經歷來看，我的幾何老師確定無疑地講給我們它是公理，網搜也可以得到大量“是公理”的答案。但是，也有不認為其是公理的，理由是“兩點之間線段最短”是可以用“變分法”證明的。對此，我只能說：“水平有限，難以理解”。
②公理作為一門學科的基本出發點，往往決定了學科的發展方向。事實上，後來的數學家，比如高斯等人，改變了第5公理，發展起了全新的、高深莫測的“非歐幾何”。這五大公理，原來是叫做5大公設的。即是假設，自然是可以改變的。但關於“公理”與“公設”的差別，細究起來，又是長篇累牘，只好作罷。
③對於解決問題的依據，尋根溯源，找出最初始的依據，是一種科學的態度。從小學數學教材的編排來看，自然也是以“兩點之間線段最短”作為公理的。
……
就讓我們逃開這些理論上的難題，轉而關注於“兩點之間線段最短”的本身意義，這才是小朋友們最應該直接面對的。
我想這句話可以囉嗦一點去理解：“兩點之間，非線段比線段長”。有哪些“非線段”？譬如：折線、弧線、任意曲線。如下圖：
折線
半圓弧
任意曲線
直觀來看，確實“線段最短”。“直來直去，省時省力”，呵呵。
我們拿出“折了1次”的折線來對比：
1次折線
顯然：紅色的“一次折線”比黑色的線段長。由於整個圖形構成了一個三角形，因而這個結論可以換個等價的說法：三角形兩邊之和大於第三邊。於是，我們得出了三角形三邊關係的最初的結論。
第二次思維轉折：理解“任意”，拓展結論。
我們可以這樣約定俗成地表示一個三角形：
即三角形ABC，或△ABC，三個頂點為：A、B、C；三條邊為：線段AB或c、線段BC或a、線段AC或b；三個角為：角A或∠A、角B或∠B、角C或∠C。以小寫字母命名邊時，遵循了：∠A的對邊為a、∠B的對邊為b、∠C的對邊為c。
上述“思維轉折一”事實上是以邊AB為出發點觀測，可得結論： BC＋AC＞AB，即：a＋b＞c。
“任意”的意思是可遍歷或隨意選取三角形的任一邊為觀測出發點：
以邊BC為出發點觀測，可得結論：AC＋AB＞BC，即：b＋c＞a；
以邊AC為出發點觀測，可得結論：BC＋AB＞AC，即：a＋c＞b。
於是，綜合得出結論：
三角形任意兩邊的和大於第三邊。
或表達為：第三邊＜兩邊和
（重要程度★★★★）
此時，教材上的內容似乎完成了，只需再學習一些解題的技巧，比如下面的題：
人教版四年級數學下冊練習十五第7題
以長3cm、4cm、5cm的小棒是否能拼成三角形為例說明：
完整的判斷如下：
由於：
3＋4＞5成立
3＋5＞4成立
4＋5＞3成立
所以：長3cm、4cm、5cm的小棒能拼成三角形。
但事實上可以簡化判斷過程如下：
設任意給定三條線段為：a、b、c，且滿足：a≤b≤c（實為對三條線段從短到長排序），如果有：a＋b＞c成立，則線段a、b、c一定能圍成三角形。
用“不太準確的人話”描述就是：
只需檢驗：
小邊＋中邊＞長邊，是否成立？
即可。
（重要程度★★★★）
這使得驗證工作量“由3次降為1次”，對於解題，還是很實用的。比如：（5，6，11）不能圍成三角形，原因只是：5＋6＞11不成立。
第三次思維轉折：變“和”為“差”，轉換角度。
已知三角形ABC，三條邊為：a、b、c，我們已知的三邊關係有：
a＋b＞c、a＋c＞b、b＋c＞a。
如果我們學習了“不等式的性質”，比如：
a＋b＞c
兩邊同時減去b，不等號的方向不變。
a＋b－b＞c－b
得：a＞c－b
也即：c－b＜a
同理有：c－a＜b 、b－c＜a、b－a＜c、a－b＜c、a－c＜b。
可得結論：
三角形任意兩邊的差小於第三邊。
或表達為：兩邊差＜第三邊
（重要程度★★★★）
但是，可惜的是，小學生並沒有學習這些，我們需要轉換思路：
如上圖，已知兩條線段a、c，且a＜c，c－a＝d，此時如果要選擇第三條線段b與線段a、c圍成三角形，則線段b至少要比d長，否則根本“夠不到”，因此有：
b＞d
即：b＞c－a
或許，這是唯一可以讓小學生理解這個結論的辦法。
第四次思維轉折：“和”“差”對照，完善結論。
任意給定兩條線段：a、b。請注意，此時我們是“完全任性”的，這兩條線段的長度隨意。
如果我們要接著給出第三條線段c，且a、b、c要能夠圍成三角形，則這個“第三邊”便不能再“完全任性”了，在一定範圍內，它才是自由的。即：第三邊不能太長，要小於已知兩邊之和；第三邊不能太短，要大於已知兩邊之差（自然選正值之差，或曰：絕對值大的差，小朋友對此忽略）。描述為：
兩邊差＜第三邊＜兩邊和
（重要程度★★★★★）
例 已知一個三角形的兩條邊長為5cm、9cm，請問第三條邊的長度可能是哪些？（僅羅列整釐米結果）
解：兩邊差＜第三邊＜兩邊和
9－5＜第三邊＜9＋5
4＜第三邊＜14
答：第三邊的整釐米長度可能是：5、6、7、8、9、10、11、12、13cm。
如果考慮小數結果，則會發現，可能的三角形會有無窮多種。
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