8數培優：新題新體驗，話說四邊形中的動點問題的解題新策略

動點問題是近幾年中考的熱點，解此類題型的關鍵是"化動為靜"——尋找運動中的不變量，根據不變量與變量的關係，列出關係式。在解決動點問題時，經常需要多畫一些圖形，通常一種情況畫一個圖形，方便把動點轉化成一般的幾何問題來解決。點的運動問題通常是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上設計一個或兩個動點，並對這些動點在運動變化過程中隨之產生的等量關係、變量關係，圖形的特殊狀態、圖形間的特殊關係等進行研究。

下面主要講述的內容主要分為兩個類型題目，類型1為由動點產生的函數關係，重點是線段的含參表示，以及自變量的取值範圍；類型2為由動點產生的特殊圖形，例題主要是從單動點問題過渡到雙動點問題，解決問題的主要策略為以靜制動，分類討論，尋找臨界點；

類型1：由動點產生的函數關係

1．在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，動點P從點B出發，沿路線B→C→D做勻速運動，那麼△ABP的面積S與點P運動的路程x之間的函數圖象大致為（ ）

【分析】運用動點函數進行分段分析，當P在BC上與CD上時，分別求出函數解析式，再結合圖象得出符合要求的解析式．

【解答】：∵AB＝2，BC＝1，動點P從點B出發，P點在BC上時，BP＝x，AB＝2，

∴△ABP的面積S＝1/2×AB×BP＝1/2×2x＝x；

動點P從點B出發，P點在CD上時，△ABP的高是1，底邊是2，

所以面積是1，即s＝1；∴S＝x時是正比例函數，且S隨x的增大而增大，

S＝1時，是一個常數函數，是一條平行於x軸的直線．所以只有C符合要求．故選：C．

【點評】此題主要考查了動點函數的應用，注意將函數分段分析得出解析式是解決問題的關鍵．

2．如圖1，在矩形

【分析】根據點R的移動規律，點R的運動路程為0--4，4--9，9--13，所在線段為PN，QP，QM，那麼當x＝9時，點R應運動到高不變的結束，即點Q處．

【解答】當R在PN上運動時，△MNR的面積不斷增大；

當R在QP上運動時，MN一定，高為PN不變，此時面積不變；

當R在

∴當x＝9時，點R應運動到高不變的結束，即點Q處．

【點評】關鍵是根據所給函數圖象和點的運動軌跡判斷出x＝4到9時點所在的位置．

變式．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，動點P從點B出發，沿路線B→C→D作勻速運動，圖2是此運動過程中，△PAB的面積S與點P運動的路程x之間的函數圖象的一部分，則BC

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】由圖象2看出當點P到達點C時，即x＝4時，△ABP的面積最大，根據面積公式求出

∵AB＝2，∴BC＝4，∴BC+CD＝BC+AB＝4+2＝6故選：D．

3．如圖①，在正方形ABCD中，點P沿邊DA從點D開始向點A以1cm/s的速度移動；同時，點Q沿邊AB、BC從點A開始向點C以2cm/s的速度移動．當點P移動到點A時，P、Q同時停止移動．設點P出發xs時，△PAQ

【解析】∵點P沿邊DA從點

∴當Q到達B點，P在AD的中點時，△PAQ的面積最大是9cm²，設正方形的邊長為acm，

∴1/2×1/2a×a＝9，解得a

當Q點在BC上時，AP＝6﹣x，△APQ的高為AB，∴y＝1/2（6﹣x）×6，即y＝﹣3x+18．

故答案為：y＝﹣3x+18（3≤x≤6）．

4．一矩形紙片OABC放在平面直角座標系中，O為頂點，點A在x軸上，點C在y軸上，

（1）如右上圖，在OC邊上取一點D，將△BCD沿BD摺疊，使點C恰好落在OA邊上，記作點E．

①求點E的座標及摺痕BD的長；

②在x軸上取兩點M，N（點M在點N的左側），且MN＝4.5，求使四邊形BDMN的周長最短的點M

（2）如右下圖，在OC，BC邊上分別取點F，G，將△GCF沿GF摺疊，使點C恰好落在OA邊上，記作點H．設OH＝x，四邊形OHGC的面積為S，求S與x之間的函數關係式，並寫出自變量x的取值範圍．

【解答】（1）①∵四邊形OABC為矩形，∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝8，

∵△BCD沿BD摺疊，使點C恰好落在OA邊E點上，∴BC＝BE＝10，DC＝DE，

在Rt△ABE中，BE＝10，AB＝8，

∴AE＝6，∴OE＝10﹣6＝4，∴

在Rt△ODE中，設DE＝x，則OD＝OC﹣DC＝OC﹣DE＝8﹣x，

②以D、M、N為頂點作平行四邊形DMND′，作出點B關於x軸對稱點B′，如圖：

∴B′的座標為（10，﹣8），DD′＝MN＝4.5，∴D′的座標為（4.5，3），

設直線D′B′的解析式為y＝kx+b，

把B′（10，﹣8），D′（4.5，3）代入得10

解得k＝﹣2，b＝12，∴直線D′B′的解析式為y＝﹣2x+12，

令y＝0，得﹣2x+12＝0，解得x＝6，∴M（1.5，0）；N（6，0）．

【點評】本題考查了摺疊的性質、矩形的性質及最短路徑的知識，綜合性較強，難度較大，注意掌握摺疊前後兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等，在（2）求自變量範圍的時候，要注意尋找極限點，不要想當然的判斷．

類型2：由動點產生的特殊圖形

我們常見的四邊形中的動點問題可以總結為單動點問題與雙動點問題．解決問題的主要策略為以靜制動，分類討論，尋找臨界點．

5．如圖，在平面直角座標系中，O為座標原點，四邊形OABC是長方形，點A、C的座標分別為A（10，0）、C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ADP為等腰三角形時，點P的座標為_______ ．

【分析】分PD＝DA，AD＝PA，DP＝PA三種情況討論，再根據勾股定理求P點座標

【解答】當PD＝DA,如圖：以D為圓心AD長為半徑作圓，與BD交P點，P'點∵四邊形OABC是長方形，點A、C的座標分別為A（10，0）、C（0，4），

∴AD＝PD＝5，PE＝P'F＝4, ∴根據勾股定理得：DE＝DF＝3,

∴P（2，4），P'（8，4）.

若AD＝AP＝5，同理可得P（7，4）;

若PD＝PA，則P在AD的垂直平分線上，∴P（7.5，4）

故答案為（2，4），（8，4），（7，4），（7.5，4）

6.如圖，在平行四邊形

【解答】連接GH，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝

∵點G，H分別是AB，CD的中點，∴BG＝CH，BG∥CH，

∴四邊形BCHG是平行四邊形，∴GH＝BC＝18，

當EF＝GH＝18時，平行四邊形GFHE是矩形，

分兩種情況：

①AE＝CF＝t，

②AE＝CF＝t，EF＝24﹣2（24﹣t）＝18，解得：t＝21；

綜上所述：當t為3s或21s時，四邊形EGFH為矩形；

故答案為：3或21．

7.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE是BC邊上的高，AB

（1）當x的值為_____ 時，四邊形APCD為平行四邊形；

（2）當x的值為 _____時，四邊形APED為矩形；

（3）當△ABP是以AB邊為腰的等腰三角形時，求x的值．

【分析】（1）首先作出AF⊥BC於點F，利用勾股定理求出BF的長，進而利用平行四邊形的判定得出答案；

（2）利用矩形的判定得出即可；

（3）利用等腰三角形的判定利用AB＝AP或AB＝BP得出即可．

【解答】（1）過點A作AF⊥BC於點F，

∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE

當AD∥ PE，AD=PE,時，四邊形APCD為平行四邊形，

即PC＝AD＝5時，x＝BP＝12﹣5＝7，四邊形APCD為平行四邊形；

（2）當BF＝BP＝3時，當BF＝BP＝3時，AD∥ PE，AD=PE,∠APE＝90°時，四邊形APED為矩形，∠APE＝90°時，四邊形APED為矩形；

（3）當AB＝AP＝5時，

BF＝3，則BP＝6，即x＝6時，△ABP是等腰三角形，

當AB＝BP＝5時，即x＝5時，△ABP是等腰三角形；

綜上所述：x＝6或5時，△ABP是以AB邊為腰的等腰三角形．

故答案為：7；3．

8.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知對角線AC、BD相交於點O，若E、F是AC上兩動點，分別從A、C兩點以相同的速度1cm/s向點O運動．

（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是否是平行四邊形？請說明理由；

（2）若AC＝16cm，BD＝12

【分析】（1）判斷四邊形DEBF是否為平行四邊形，需證明其對角線是否互相平分；已知了四邊形

（2）若以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形，則必有BD＝EF，可據此求出時間t的值．注意有兩解；

【解答】（1）當E與F不重合時，四邊形

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD；

∵E、F兩動點，分別從A、C兩點以相同的速度向C、A運動，

∴AE＝CF；∴OE＝OF；∴BD、EF互相平分；∴四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）∵四邊形DEBF是平行四邊形，

∴當BD＝EF時，四邊形DEBF是矩形；

∵BD＝12cm，∴EF＝12cm；∴OE＝OF＝6cm；

∵AC＝16cm；∴OA＝OC＝8cm；∴AE＝2cm或14cm，

由於動點的速度都是1

故當運動時間t＝2s或14s時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形．

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