很多人认为中国的古代数学其实不是数学，最多被称为算术或者算学，不同于西方以古希腊为代表的基于逻辑推理下的数学。事实上，中国的数学并不是不堪一击，我们今天讲的球的体积公式，确实是由中国人一板一眼的推出来的！并且推导过程均是胜在取巧，并且没有利用微积分。下面让我们一起来领略古代数学的魅力！
一、《九章算术》
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程"六艺"中有一门是"九数"。刘徽《九章算术注》"序"中就称《九章算术》是由"九数"发展而来，并经过西汉张苍、耿寿昌等人删补。在唐宋两代，它是朝廷明令要求的官方数学教科书，也就是说虽然高考不考，但是也算是必修课程。
《九章算术》的"少广"章的廿三及廿四两问中有所谓"开立圆术"，"立圆"的意思是"球体"，古称"丸"，而"开立圆术"即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为："又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。"
从中可知，在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方根求出，换言之：球体体积=(9 x 直径^3)/16 ；
以现代的理解，这公式当然是错的，但以古时而言也不失为一个简单的公式来求出近似值。
更直白的说，《九章》认为正方体的体积和它的内切球的体积之比是：16：9。用现代数学的观点来看，显然不精确，但是在当时已经是非常了不得了。那么，这个16:9是如何来的呢？这里要引入古代数学中常见的两个名词："方"和"圆"，一个正方形和一个圆形。现在我们知道正方形和它的内切圆的面积之比是4：π，由于古代《周髀算经》对圆周率有"径一周三"的记载，故圆周率取3，就得到了"方"和"圆"的面积之比是4:3。
最后，把圆柱体视为"方"，把球体视为"圆"，由于"方"："圆"=4:3，所以得到这个两个公式：正方体：圆柱=4:3；圆柱：球=4:3。所以正方体：球=16:9。
虽然不是很精确，但也不得不佩服古人的智慧，古人用圆柱作为过渡量，而不是粗暴的将"方""圆"做比例。
《九章算术》的一个特色是，把几何问题算术化或代数化，正如《几何原本》把代数问题几何化。遗憾的是，书中几何问题的算法一律没有推导过程，因此只是一种实用几何。
二、中国的几何之父，刘徽
刘徽，魏晋时期伟大数学家。著有《九章算术注》和《海岛算经》。
就在他为《九章》做注的时候，发现上述推理过程中的错误，即"圆柱：球=4:3"是错误的。我们可以把原公式中的3还原成π，那么得到"圆柱：球=4:π"。现在不妨用现在数学知识进行推导，设球半径是r，圆柱的高是2r，则圆柱体积=2πr³，而球体积=4/3πr³，二者之比=3:2。确实是问题比较大。
发现问题，就要解决问题。如何能正确得到球的体积公式呢？正所谓"从哪里跌倒，就从哪里爬起来"，我们的刘徽还是从正方体出发。他构思了一个看似奇葩，却有确实有效的物体，它叫做"牟合方盖"。
这里的"牟"意思是相同。"盖"意思是伞。"牟合方盖"就是指两个面合在一起的两个相同的方伞。它是由一个正方体出发，先用竖直方向的内切圆柱截正方体，得到一个圆柱体，再用水平方向的圆柱再截一次，两个圆柱的共同部分所形成的几何体，就叫做"牟合方盖"。
看似容易的一个方盖，这一创举足以让刘徽名垂青史， "牟合方盖"恰好把正方体的内切求包含在内，并且二者是相切的关系。如果用一个水平面去截方盖，会得到一个正方形和一个内切圆，二者的面积比例是4：π。从而得到"方盖"和"球"的体积之比是4：π。现在所有的工作重心落在了如何求出"牟合方盖"的体积，一旦求出该体积，球的体积瞬间即可攻破！
即刘徽在他的注中对"牟合方盖"有以下的描述:"取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。"所谓" 牟合方盖" , 是以棱长为一寸的立方体八枚,合之则棱长为二寸的立方体。
此时，剧情出现了转折，刘徽说："敢不阙言，以侯能言者。"翻译过来就是："我弄不了了，谁行谁上吧！"显然，就当时的社会情况，你刘徽大神都搞不定，谁能接住这个活啊？至此，球的体积告一段落。让我们一起等待另一个巨匠的出现！
三、祖暅定理
祖暅（祖冲之是他爹）原理也称祖氏原理，一个涉及几何求体积的著名命题。祖暅在求球体积时，使用一个原理："幂势既同，则积不容异"。"幂"是截面积，"势"是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。
祖暅认为，要想成就一番事业，巨人的肩膀还是要踩的，自己的爸比用了刘徽的"割圆术"，成功的精确的计算了圆周率，荣登数学大神之列，而他将用刘徽大神的"牟合方盖"，继续为祖氏家族添光加彩。
牟合方盖这一几何体的体积怎么求呢？刘徽等了200多年，终于等到了"能言者"，祖冲之和他儿子祖暅终于解决了牟合方盖的体积。显然硬算肯定是不灵的，必须要取巧。
也许在某一年的某一天，祖暅在家里闲着无事，看着一些铜钱发呆。他发现：这两摞铜钱，每摞十个，无论怎么样摆放，这两摞铜钱的体积一定是相等的。这么弱智的结论激起了祖暅的好奇心，为什么会这样呢？
原因是它们在任意截面处有相同的面积，所以它们的体积是相等的。在此基础上，诞生了著名的"祖暅原理"：幂势既同，则积不容。就是说：如果两个几何体在任意截面处的面积都相等，那么这两个几何体的体积是相等的！要知道在西方，需要等到一千年后，由意大利数学家卡瓦列利才提出这一原理。
有了这个原理，就不需要硬求"牟合方盖"的体积了，只需要找到一个和"牟合方盖"体积相同的几何体，这个几何体需要满足两个条件：①简单易求，②与方盖满足"幂势既同，则积不容"。
又到了脑洞大开的时间，这个几何体终于被小祖同学找到了。
首先，小祖把"牟合方盖"进行8等分，我们把它称之为8个"小方盖"，切割方法是：俯视方盖，横竖两刀，正视方盖，横着来一刀。（如果想象不出来，不妨做一道小学奥数题：如何用三刀把一块蛋糕分成八块？）这个时候只一个小方盖，整个方盖就搞定了。牟合方盖被8等分牟合方盖被8等分后，其中的一块
接下来，小祖发现，找到这样的一个几何体还是很困难的，再次"取巧"，动用"割补法"
当我们求不出目标几何体的体积，试图把它不成一个规则的几何体，再减去剩余部分就行了。接下来我们详细展示一下小祖是如何运用"祖暅原理"求出"小方盖"的体积的。我们会用到大量的现代数学符号，而当时小祖同学却没有这些便利的工具，所以说小祖同学的智力确实是卓越非凡的！
设球的体积是r，将"小方盖"放在棱长为r的正方体中，定义：把正方体中除去小方盖部分称为"小方盖剩余"，找到与其"幂势既同"的几何体。先计算图二的阴影，在用正方形的面积减图二阴影，得到图一的阴影面积。再构建一个倒放的四棱锥，使得与"小方盖剩余"符合"祖暅原理"。
具体过程：
这样来看图三的四棱锥的体积与小方盖剩余的体积必然相等。则：
再根据刘徽的体积比例："方盖"和"球"的体积之比是4：π，此时可得到球的体积是4/3πr³，这就是世界公认的球体积公式。球的体积公式是由中国人独立研发，先后经历三个版本，经过千年测试均可完美运行。更重要的，其推理方法，附属定理，让解决其他数学问题变得有章可循！
经过几代人的努力，终于使中国数学在世界范围内留下了光辉灿烂的一笔！确实，中国古代数学不同于古希腊数学，是完全的另一套体系，我们的内容多来自生产与实践，算法程序化和机械化，注重应用。在算法上，我们说第二，就无人敢说第一！比如，十进位制、今有术、盈不足术等等算法，曾经传到印度和阿拉伯，再由这些国家传到欧洲乃至全世界，对世界数学的发展起到非常大的促进作用！
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