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乘和乘以可以不分，因为有乘法交换律：

7乘以3列算式是：7×3=21.

3乘以7列算式是：3×7=21.

2×3=3×2.

除和除以是两回事，因为没有除法交换律。

比方说：

21除以3和3除21相同，列算式是：21÷3=7.

21除3和3除以21相同，列算式是：3÷21=1/7.

也就是说：21÷3≠3÷21.

课堂上，老师提问：3乘7得多少？

一学生回答：得22.另一个学生回答：得20.又有两个学生回答：得23，得24.还有两个学生回答：得19，得18.

老师气得面如土色，强压怒火问：为什么不答21呢？

学生异口同声说：不管三七二十一！

老师气的瘫倒在讲台上，没气了！

学生不管三七二十一，转身就走。

如果不分除和除以的话，那就是“不管三七二十一”了。

创新数

除和除以，我们好分，孩子们难分。站在孩子们的立场上，必须解决这个歧义。它的毛病是两个词接近，太象了。

这个问题已经折磨了几代人了。我现在已经是爷爷了，在我小时候，就受这个折磨，听说现在的孩子们还在受这个折磨，我很震惊！

这个问题可以用中国的语言来彻底解决。加减乘除，四则运算，是科学基础的基础，是学生，是人都要学。而且学了就要用，可以受用终生。这个问题，对大人来说，问题不大，关键是孩子，不好学，难理解。不就是一个用词的事吗？我们改一改，不就完了吗？

原来的乘和乘以也有区别，从六十年代开始，就有讨论，但后来改了，都叫乘以，因为，有“乘法交换律”，不管怎么乘，谁在前，谁在后，其结果都一样。但除法就不同了，两个数，谁在前？谁在后？大不相同。特别是有关百分数的计算。所以出现了除和除以，这很相近，又难分辩。我们可以不用这样的说法，比如，我想了两个备用词，“被分”或者是“等分”，用来代替“除”！

举例如下，8除以4等于2。反过来，可以说，4被分8等于0.5；4等分8等于0.5。或者更方便的说法，就是把除以反过来用，如，8除以4等于2；2以除8等于0.5。除以，以除，用这两个说法最简单明了，没有歧义，一听就懂，一讲就清，一记就牢，何乐而不为？

我希望有老师，数学老师，或课本，教材，教育界的有关人员能看到我的意见，並引起重视，把数学教学的这个难点，用聪明的方法拔除掉，攻克掉！

盛广学杂家杂论

“除”和“除以”的区别：

“除”，是除数在前，被除数在后；“除以”，是被除数在前，除数在后。

这个大家都知道，题主想问的应该是，为什么要这么区分。

那么，这个问题，数学老师并不能回答。他们只知道，教材上就是这么写的，像公式和定理一样，规定好了的，不需要质疑。

其实不是这样。

我们先弄明白“除”和“除以”这两个词的意思。

举例：一块1000斤重的石头，要将它平均切分为10块。必须对它进行切割，也就是对它进行改变。可以写作：1000÷10；可以读作：10除1000，意为，用10来改变1000。

“除以”这个词中，“除”的意思同上，只需理解“以”何意。

此处，“以”可释为“用”。

仍然用上面那个例子：1000÷10；可以读作：1000除以10。为便于理解，调整一下词序，即“以10除1000”，意为，用10来改变1000。

用语文的叙事方式来表达就是：“1000除以10”属于状语后置，应调整语序为“以10除1000”。

这样，“除，是除数在前，被除数在后；除以，是被除数在前，除数在后。”就比较好理解了。

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为便于大家理解，再举两个耳熟能详的例子：

“蒙辞以军中多务。”——《孙权劝学》

“屠惧，投以骨。”——《狼》

和“除以”用法一样，都是状语后置。

即，“除以”是承继了古汉语的用法。没想到吧？

毫米

关于“除”和“除以”的区别，前面的几位高手的回答已经非常清楚了，且引经据典，令人信服。

不过，这使我想到另一个问题。

以前数学教材中有“乘”和“乘以”的区别，让人很难分清，使得学生以及家长乃至教师头疼不己，却没有人能解决这个问题，因为这个问题类似于“历史遗留”问题。

据说，有一天，一位重量级的领导人难得休息在家，其孙子遇到这样的难题无法解决，于是求助于爷爷。爷爷看了这个问题之后十分不满，认为没有必要用这种无聊的字面游戏折磨人！于是召集相关的部门领导人提出来：取消“乘”与“乘以”的区别，至此，从教材中取消了这个问题。

但是，关于“除”和“除以”却没有这么简单。因为在乘法中，前后两个数交换，不影响计算的结果，也就没有了“乘数”与“被乘数”两个概念了。而在除法中却必须要分清被除数与除数，怎么办呢？聪明的人想到了“淡化”的方法！在数学教材上一般不再出现“除”了。现在只有在一些不够规范的书中才会出现。

我想，随着时间的推移，“除”和“除以”也许会统一吧。

江涛89650

我并不赞同在小学数学教育中区分除和除以。

作为初中老师，经常遇到学生在解一元一次方程时，出现以下错误：4x=2，两边除以4之后，结果是x=2.

原因便是那个除和除以混淆，为了弄清是否在小学阶段普遍存在这个问题，我专门询问了隔壁小学数学老师，回答是在小学，除法讲授过程中，的确要区分这两个词，至于为什么，他也没能让我明白。

七年级时，解一元一次方程，一元一次不等式时，这类现象通过强化训练后，情况会稍好一些，但是到应用题文字理解时，它又出来闯祸了，例如“a是b的一半”，就有学生错误写成0.5a=b，如果同时再来一个“a的一半是b”，学生彻底糊涂。

我认为，数学文字理解，和语文中的阅读理解不同。

数学文字理解，需要将文字转化成数学语言描述，即用数学符号表示文字信息，而语文中的阅读理解更强调文字转化成形象，这二者本质不同。

而且从初中阶段的使用来看，基本不会用到小学中的“除”，而全部用“除以”，高中更是如此，那么，还有什么必要在小学数学教育中保留那个“除”，人为增加学生学习困难呢？

爱数学做数学

中国小学数学教育分除和除以的利弊

谢荐。我是锕銰，过渡元素锕系的锕，未来原元素銰系的銰。为往圣续绝学，为新世界开天。

• 数学语言重于咬文嚼字

学数学先学好语言，不管汉语英语。在古代汉语里，除以是两个词，除是动词，分、分配、分割，以是介词，被、用。如100苹果被50人分(100除以50)，或50人分100苹果(50除100)。

日常生活用不到五人除十果这种文言表达。英文divide在生活中表分、分割，divide 100 apples by 50 men，或divide 100 apples into 50，或者50 men divide 10 0 apples.中国小学数学区分除和除以，是因中国语言文字富有多样性而博大精深，是因小学数学教材编辑都偏爱语文，白话文兴起不久，数学又是西洋人的发明和发现，所以那时才搞那么复杂，显得水平高还要随大流。

现代小学数学教材已降低难度，逐渐淡化咬文嚼字类问题了。如乘法运算不再强调乘数和被乘数区分，直接乘数。除法运算则被除数和除数，无论教材怎么修改都不混淆。所以除和除以，无论例题还是习题都规避不谈。

♦高斯代数论包括加减乘除

这主要是古代文言用法问题。除，除数在前，被除数后；除以，被除数在前，除数后。花哨说法，意思一样。文言文使用习惯和传承导致这个麻烦，除和除以，当初有必要区分。现代文明进步及与世界接轨密切，这种语言文字麻烦继承被抹去。数学不是语言文字游戏，数学运算文言表达徒增教学难题。

现今小学生幸福了，学习数学再没了除和除以。新版小学数学教材，已不提不考这晦涩难懂点，完全按国际通用版被除数÷除数＝商……余数规则设置，简单易学还很实用。

♦四则运算云状态图

例如51单片机数据存储空间有限，所以不能开辟过多数据空间，C语言处理四则运算代码无法直接通过改写、编译烧录。故实验可采用状态转换式实现计算器简单四则运算。使用数据空间3个(a, b, c)即可实现。在这个实验中如果用除以和除来混淆，极不便程序代码设计。

♦天竺数字和代数论四则运算

• 四则运算

加法：把两个数合并成一个数的运算。减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。法则：加法和减法，同单位数相加减单位不变，单位个数相加减。

乘法：求两个数的乘积的运算。法则：一个数乘整数，是求几个相同加数和的简便运算。一个数乘小数，是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。一个数乘分数，是求这个数的几分之几是多少。①整数：从个位乘起，依次用第二个因数各位上的数去乘第一个因数各位上的数；用第二个因数哪一位上的数去乘，积的末位就和第二个因数的那一位对齐，最后把各部分的积相加。②小数：先按整数乘法的法则算出积；看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点（位数不够时用0补足）。③分数：分数与整数相乘，用整数与分子的积作为分子，分母不变；分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母，计算结果能约分的要约分。

除法：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。法则：①整数：除数是几位数，就看被除数的前几位，如果不够商1，被除数就多看一位后再试商。除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面，每次除得的余数都必须比除数小。②小数：除数是整数的小数除法，按整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使除数变成整数，同时把被除数的小数点向右移动相同的位数（位数不够，添0补足），然后按除数是整数的小数除法进行计算。③分数：一个数除以分数，等于乘这个数的倒数。

♦四则运算概念图

任何学科都有本质语言，要学好必须掌握好语言。加和积交换律的a十b及b十a，都统一念成a加b或a与b的和。减和除无交换律，a一b与b一a读式应有区别，前者念a减b的差，不能统一念成a与b的差。

数学语言思维灵活，逻辑严谨，读懂数学语言就能很快提高数学成绩。比如B在以AC为直径的圆上，如用直径AC去验证B则愚昧中计了，且不易求出来。读懂题目语言了，就轻而易举：AB垂直BC。

优秀师长善于教辅孩子，不良善于师长累赘孩子。注重学科语言，养成良好习惯。欢迎补充，以求真知。

锕銰

没那么复杂。小学数学课本和老师都已经说的很清楚了：除号左边是被除数，除号右边是除数。那么，算式21÷7，就是”21被7除”，翻过来说是”7除21”，也就是“21除以7”，三种说法是很和谐的。这个很好理解，比如说苹果个数是被除数，小孩人数是除数，对于算式“21÷7”，就可以解说为：“27个苹果被7个小孩均分”、“7个小孩均分21个苹果”或“21个苹果均分以7个小孩”。在文字语言表述中，由于“21除以7”是最符合算式21÷7的书写次序的，所以成为最流行的表述法。多说几句，其实乘号也是这样的，左边是被乘数，右边是乘数，只不过由于两者的顺序不影响运算结果，所以经常被人们混淆。严格来说，3x7和7x3的意义是不同的。咱再拿苹果和小孩举例：如果说苹果个数是被乘数，小孩人数是乘数，那么，“3x7”（三乘以七、七乘三）是7个小孩每人吃3个苹果，“7x3”（七乘以三、三乘七）是3个小孩每人吃7个苹果，虽然吃的苹果总数一样，但是意义是不一样的。

微风238165951

我也班门弄斧，来谈谈“除”和“除以”的区别。

其实，这个问题并不复杂。说简单点，在运算中，“除”就是等分的意思，仅举一例：3除12，就是3等分12。国际通用的算式把3除12表示为12÷3。在这个算式中，被等分（或被除）的12在除号前，而表示要等分的份数的3在除号后，这样，如果读成“3除12”，显然不符合从左到右依次阅读的规则；读成“12被3除”虽然也没错，但仍然是把除数和除号的阅读顺序打乱了。

为了解决读除法算式遇到的麻烦，聪明的中国人便利用文言句式的读法，用“除以”表示“被等分”，如12÷3这个式子读成“12除以3”，这样，就完全按照从左到右的顺序读句子，不会再有障碍了。

总而言之，“除”和“除以”千万不可搞混。只要给学生讲清楚“除”的意思就是“等分”即“平均分”，“除以”就是“被等分”的意思就行了。在最初学习除法时，应当多强调遇到除号一定要读成“除以”，而不能读成“除”。

松鼠快乐翁

首先，中文里，说“A除B”是“A改变B”的意思，A是施动作者，B是受动者，发生改变的是B。例如，“小明除四害。”，小明使四害发生改变（从有到无）。当然，A 和 B 可以有关联，例如，“小明除掉的自己的恶习”，小明改变了自己（恶习没了）。

回到除法运算本身，考虑算式 5÷3＝1余2，可以有两个解释：

◆3 使得 5 变成 1余2；

◆5 使得 3 变成 1余2，

因为，5＝1×3＋2 且 3 ≠1×5＋2，所以 第一种解释是正确的，即，3是施动者A，5是受动者B，于是该算式翻译成中文应该是：“3除5得1余2。” 也可以是： “(某人）用3除5得1余2”，即，“5除以3得1余2”。

乘和除类似，“A乘B”是“A改变B”，发生变换的是B。除的改变一般是解构，乘的改变一般是建构。同样考虑 算式 2×3＝6，有两个解释：

◆2使得3变成6；

◆3使得2变成6，

由于 乘法满足 交换律，所以上面的两个解释都可以，于是该算式的中文翻译可以是：

①“2乘3得6”

②“3乘以2得6”

③“3乘2得6”

④“2乘以3得6”，

①④、②③说明乘和乘以语用相同。

①③、②④说明 主3宾2 和 主3宾2 的语用相同，进而说明：主宾顺序 和 算式顺序 无关。

减和除有区别，“A减B”是“A的B改变引起A发生改变”的意思。例如“小明减肥”，小明的肥发生变化（减少）于是小明变瘦了。考虑算式 3－2＝1，可解释为：

◆3的2消失，3变成1；

◆2的3消失，2变成1；

根据 3＝2＋1，显然第一个解释正确，即，3是A，2是B，算式翻译成中文是 “3减2得1”。“减去”和“减”是同一个意思，如果想让主宾反序可用“去减”，“A去减B”就是“A改变B” 和 “A除B” 类似。

加和减的情况类似，加、加上、去加 对应 减、减去、去减。注意：虽然加和乘一样具有交换律，但加和去加语意不一样。

思考思考的动物

后面这么多“神”回答，反复解释“除”和“除以”的区别，这还用你说吗?！题主难道不知道这区别吗？人家问的是“为什么形成了两种说法，来表达一种数学关系?”

其实，之所以形成“除”和“除以”两种表达方式，来表达同一种数学关系，与中国的文化传统有关系。中国古代没有专门的数学符号，都是用文字表述来表述数学关系和计算关系，以及过程。于是，类似于说话的表达方式就出现了，例如，你爸爸“叫你儿子”，你“尊称你爸爸为父亲”，这样子的来回倒的车轱辘话，到处都是。100÷2=50，西方数学上就这一种简洁的表达。而用汉语言文字表达，则100可以在前，2也可以在前。于是一百除以二等于五十，和二除一百等于五十，两种说法就出现了，两种话说的是一件事。当然，中国话一贯标榜是一种优秀的语言，还有许多其他说法，比如一百被二除等于五十。。。等等，换着法子说一件事，例子比比皆是。

再者，中国人总是希望自己表达与众不同，老是和人家说话不一样，其实说的一件事。不信，仔细观察周围的人，很多这样说话的，其实很讨厌。

这就是中国文化在数学关系表达上的折射。

關鍵字: 乘以 数学 除以