你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们前面讲到，泊松分布描述的是概率非常小的情况下的统计规律性。这一讲我们通过学习高斯分布，也就是正态分布来正确认识大概率事件。
高斯分布也叫正态分布
与泊松分布那样的小概率事件相对，如果一个事件A发生的概率非常大，等于或者接近1/2（当p大于1/2时，1-p小于1/2，我们把p和1-p互换，依然只要研究p小于1/2的情况），同时试验次数n也非常大，会是什么结果呢？
我们假定事件A经过n次试验后发生了k次，把k的概率分布图画一下，就得到了一个中间鼓起，像倒扣的钟一样的对称图形。
这个图形你一定很熟悉，18世纪，数学家棣莫弗和拉普拉斯把这种中间大，两头小的分布称为正态分布。不过，高斯对正态分布的误差（也就是标准差������）作出了更严格的分析，于是正态分布今天就被命名为高斯分布。
我经常讲，发明的荣誉常常是授予最后一个发明者，高斯分布也是如此，因为是高斯为这项发现画了句号。
高斯对正态分布的主要贡献在于，他利用概率分布的平均值和标准差（高斯实际使用的是方差，但是方差和标准差是完全相关的，今天我们用到更多的是标准差），来定义了正态分布，这种定义更具有普遍意义。
我们用一个大家并不陌生的例子来说明均值、标准差，和发生概率三者之间的关系。
哪个班的成绩更优秀？
假如有两个班，一班的考试成绩在60～100分之间变化，均值（平均分）为80分。二班的成绩在70～100分之间变化，均值为85分。那我们能说二班比一班成绩好吗？这个问题没有那么简单。
根据我们的经验，同学们的成绩通常分布在平均分附近的比较多，特别好或者特别差的很少，对于这种情况，我们就可以用正态分布来刻画两个班成绩的分布，并且对它们进行比较。
图左边标注了80的曲线是一班的，右边标注了85的曲线是二班的。从这两条曲线可以看出，一班的成绩有一个很小的可能性超过90分，只是因为随机性的存在，比如极个别差生干脆交了白卷，导致整个班的平均分才成为了80分。如果一班真实的平均分应该是90分，而二班依然是85分，我们得说一班反而比二班强了。只不过，这种情况的可能性并不大。
我把这个可能性用蓝色画在了图中。类似的，二班虽然平均分为85分，但是也存在一个小概率的可能性，它的平均分不到75分，我用绿色在图中画出来了。
那么我们有多大把握说明平均分85分的二班一定比80分的一班强呢？这就要看两个班成绩的平均浮动范围了，这就是我们所说的标准差。这个数值其实就类似方便面包装袋上标的净重60克，后面还会标一个+-1克，这个1就是标准差。
如果两个班的标准差都是5分，一班的真实成绩也+-5，大致就是在75到85分的范围内浮动，二班的成绩是在80到90分的范围浮动。在这两个浮动范围重叠的部分，我们无法判断哪个班成绩更好。这个重叠区域，即文稿图中红色的区域，表示我们无法作出判断的情况，这个区域的面积，就是我们无法作出判断的概率。
具体到这个图中，红色区域的面积占了两条曲线所覆盖面积的65%。也就是说，有65%的可能性，我们没法说哪一个班的成绩好。或者说，我们只有大约35%的信心，证明第二个班的成绩比第一个班好。这种信心通常被称为置信度。关于置信度，你也可以回顾我的《信息论40讲》中第16讲的课程。
从这个例子中我们可以看出，两个班平均分差五分，如果标准差也是5分，我们并没有足够的证据说明哪个班成绩更好。那么在什么情况下能证明，平均分85分的二班，就比平均分80分的一班学得好呢？
那就是减少标准差。当标准差������降低到只有1时，这两个班成绩的概率分布大致如下图，重叠的部分只占面积的5%。这时我们大约有95%的信心说二班比一班好。其实这个很好理解，从分布图来看,标准差越大,分布图越扁平，重合面积就越大; 标准差越小,分布越 "瘦高"，两部分的重合面积就越小，我们就越有把握判断哪个在横轴上的分数越高。
如何减小标准差？
接下来大家可能会问，怎样才能减小标准差呢？
如果同学们的成绩分布情况不变，提高25倍的统计人数（虽然学校里没有这么大的班），标准差就会从5降低到1左右。
2019年10月份，医学界发生了一件轰动世界的事情。美国百健公司（Biogen）宣布他们所研制的治疗阿尔茨海默病的药品Aducanumab在大规模临床试验中被证明有效，全世界都为此欢呼。但是仅仅在半年前，他们进行的小规模试验后的结果却是药效不明显。这又是怎么一回事呢？
其实半年前的试验就是因为样本数量比较少，巨大的标准差掩盖了药物相比安慰剂在疗效上的差异。而当样本数量增加后，方差降低了，药效就看出来了。
可以对比图中的几条曲线：绿色的是参照组，黄色的是小样本试验的结果，蓝色的是大样本试验的结果。你可以看出样本数大了，结果曲线和参照组的重合度就减少了。
大家可能会讲，标准差������和置信度这些东西我也不会算，能不能告诉我几个简单的数字，我在生活中直接用就好了。答案是有的！
如果一个随机变量的取值符合高斯分布，它有大约68%的可能性，动态范围不超过平均值加减标准差������。这时我们说，在一个标准差之内，我们对平均值的置信度为68%。
比如在上面的例子中，一班的平均成绩为80分，标准差为5分，于是我们有68%的置信度说，考虑到随机性的影响，这个班的平均成绩应该落在75～85分之间，而不是之外。
如果我们把允许的误差的范围放大一点，放大到正负两倍的标准差，那么有大约95%的情况，这个随机变量的动态范围不超出平均值加减两倍的标准差，或者说，我们有95%的置信度相信这一点。
做科学实验时，通常需要有95%的置信度，否则大家觉得不踏实。当然，如果我们进一步扩大误差范围到三倍的������，那么置信度就提高到99.7%。在要求极高的实验中，我们甚至会要求更高。
这个规则适合于任何高斯分布，我们通常称之为“三������原则”或者“68-95-99.7原则”。平时大家记住带有随机性质的结论，需要有95%的置信度就好了。我把上述三种情况画在了下面的图中，可以看一眼下面下图，获得一个感性的认识。
大家同时也注意一下，图中曲线和x轴之间的面积，就是曲线的积分，面积的大小就代表了高斯分布在某个范围内的概率。
举例应用：
了解了标准差和置信度的关系，我们就拿它来分析一个例子。这个例子是关于股票投资的，我们以美国的股市为例来说明。
在过去的半个世纪里，标准普尔500指数的增长率大约是每年7%～8%左右，但是你知道它的标准差有多大么？高达16%左右。这说明股市的波动性特别大。有人可能会问为什么标准差会大于回报率，因为在不少年头，回报率是负的。
可以看下图，你会发现7%～8%的平均回报完全被淹没在巨大的正负误差波动中了。通常，金融领域的人会将这种标准差直接称为风险。
这个事实说明，其实我们对于大概率事件，往往是视而不见的，而风险其实就存在其间，我有三点结论要详细说明。
首先是股市的风险要远远高出大部分人的想象，这不用多说了，一张图胜过千言万语。美国的标准普尔500指数，是世界风险最低，回报最高的投资工具，而且是500个表现很好的股票的平均值，收益和风险之比尚且如此，其它的投资风险就更高得多了。因此，大家在投资时如何小心都不为过。
其次，由于任何一种投资都有标准差（风险），因此对比投资回报时要把它考虑进去，不能只考虑回报不考虑风险。
比如投资A的回报是10%，风险是20%，投资B的回报是5%，风险是3%。不能光看10%比5%高，就认定投资A比B好，要橘子和橘子对比，苹果和苹果对比，在相同风险条件下对比。事实上在做投资时，A、B这两种投资恰恰是很好的具有互补性的工具。
当然，对于回报总是大于零的债券和存款（先不考虑欧洲的负利率），很多人会觉得是零风险的，其实这种看法也是错的。因为那些投资在计算回报时没有考虑通货膨胀的因素，如果你存款的回报是3%，而通货膨胀可能达到5%，这就是风险。
事实上，全世界所有的国家都刻意低报通货膨胀率，因为房价的上涨是不算在通货膨胀内的，而它恰恰可能是造成通胀的重要原因。
最后，如果有一只股票连续三年的回报是10%，另一只只有5%，你能说第一只比第二只好吗？不能，因为5%的差异，要远比16%的标准差小很多，事实上个股的方差比股指更大。换句话说，这5%的差异更可能是市场浮动的随机性造成的。
事实上，美国每年涨幅最好的10只股票、10个基金到了第二年表现都会跌出前十名。因此，不要以为自己的投资回报在几年里超过了股市大盘，就觉得自己是股神。
要点总结：
我们通过介绍高斯分布，说明了两个随机变量均值的差异和偶然性之间的关系。
由于偶然性的存在，如果只有很小的均值差异，那可能说明不了什么问题。我们还介绍了著名的3������原则，大家记住有随机性的结论，需要有95%的置信度就好。下一讲，我们一起研究一下贝叶斯公式，下一讲见。——吴军《数学通识五十讲》
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