引言：这是十多年前写的一篇文章，也被拿去评为市一等奖。写该文源于教材放弃了“扩大几倍”“缩小几倍”的说法，而这一放弃给教学带来极大的不便的同时，还存在不少弊端，这段时间又在头条看到一些关于这个话题的文章，觉得确实有必要在教材中恢复原来的说法，让国语在表达有关数学变化时不再那么令人尴尬。举一个例子：0.6×100÷10，以前教材是这样表述的：0.6扩大100倍再缩小10倍。按现在的“规范”说法怎么说呢？0.6扩大到原来的100倍再缩小到原来的十分之一？这显然是不对的！要说清楚可能得说：0.6扩大到原来的100倍，再将扩大后的数缩小到它的十分之一。很简单的一个意思这么难说清楚了，这不悲哀吗？

论“扩大几倍就用几乘”和“缩小几倍就用几除”的科学性

飘浮的云

　　“扩大几倍就用几乘”和“缩小几倍就用几除”被人提出异议，从而导致“扩大几倍”“缩小几倍”的说法从教材中消失，同时也给教学带来了种种不便，给相关的种种表述带来冲击。在有异议的人中，有人将“扩大几倍”视为“增加几倍”，“缩小几倍”视为“减少几倍”，从而认为“扩大几倍用几乘”和“缩小几倍就用几除”是错误的。也有人从一个错误的角度去理解，认为“缩小几倍”是不合语法和逻辑的。

　　其实，“扩大几倍”与“增加几倍”，“缩小几倍”与“减少几倍”是有本质区别的。只要正确地领悟了“扩大几倍”与“缩小几倍”的数学本质，我们就能正确地解读“扩大几倍就用几乘”和“缩小几倍就用几除”，同时也能真正体会到这一定义的科学性，还能够让对这一说法有异议者发现自己的错误。

　　薛教授在搜狐博客(xmf39.blog.sohu.com)的第102篇中已经从数学理论的角度对“扩大几倍就用几乘”和“缩小几倍就用几除”的异议问题作了很好的回答。拙文只想从比较浅显的生活语言角度谈谈自己的一些看法，但愿能帮助人们更好地理解“扩大几倍”和“缩小几倍”的数学本义。

　　为了讨论的方便，先将几个人们的一般习惯列举出来以供后面引用，这里所说的“习惯”是一种为绝大多数人所认同的，是对人群而言，而不是对某一个人而言。当然下述习惯是否成立，是可以通过调查进行确认的。

　　【相差数习惯】比较两个数的大小关系时，人们一般是用较大数减去较小数得到相差数，并说两个数相差几。

　　【倍数习惯】比较两个数的倍数关系时，是用较大数除以较小数，说较大数是较小数的几倍；并用较小数除以较大数，说较小数是较大数的几分之几。也就是说一般情况下，几倍是大于１的倍数，几分之几是小于1的倍数，而1倍则是没有变化。

　　【图形缩放习惯】在无变形（扭曲）的条件下，把一幅图变大，会说图形被放大了；把一幅图变小，则说图形被缩小了。

　　【缩放几倍习惯】“扩大几倍”人们会根据【倍数习惯】乘以几，“缩小几倍”则会根据【倍数习惯】是除以几。

　　【缩放几分之几习惯】人们会根据【倍数习惯】说“扩大几分之几”是“增加几分之几”的意思。还会说“缩小几分之几”是“减少几分之几”的意思。

　　【回避习惯】对于“扩大1倍”有人认为是“增加１倍”的意思，也有人认为是没有变化。“缩小1倍”则有的人会认为全没了，而有的人则会认为没有变。因此，“扩大1倍”“缩小1倍”是不能称为习惯的，而是有歧义的说法，人们一般会回避。

　　一、“扩大几倍”“缩小几倍”对于乘除法相当于“增加几”“减少几”对于加减法，都是人们为了描述数量变化的需要而产生的。

　　在数学中有一类基本的数量变化，它是直接用加减法来计算的，不妨称这种变化为按数值的变化。人们表述这类变化时使用“增加几”、“减少几”这样的语句。

　　【例1】一个数加上5，我们会说这是增加5；一个数减去5，我们会说这是减少5；增加几与减少几是互为相反的变化。

　　【例2】将一个数增加5，可以加上正5，也可以减去负5；将一个数减少5，可以减去正5，也可以加上负

　　因此，我们可以在数学中作以下定义：

　　【定义１】某数加上一个数N，叫做某数增加Ｎ；某数减去一个数N，叫做某数减少Ｎ。

　　【性质１】一个数增加Ｎ再减少Ｎ，这个数不变；一个数减少Ｎ再增加Ｎ，这个数也不变。［证明略］

　　在数学中，还有另一类数量变化，它是直接用乘除法来计算的，不妨称这类变化为按倍率的变化。

　　人们用“增加5”和“减少5”来表达数学中“加上5”和“减去5”这种按数值的变化。同样，人们也需要表达“乘以5”和“除以5”这种按倍率的变化。事实上，人们早就选择了用“扩大5倍”和“缩小5倍”来表达“乘以5”和“除以5”的这种按倍率的变化。

　　【例3】一个数乘5，是将这个数扩大5倍；一个数除以5，则是将这个数缩小5倍；扩大与缩小是互为相反的变化。

　　【例4】将一个数扩大5倍，可以乘5，也可以除以1/5；将一个数缩小5倍，可以除以5，也可乘1/5。此时，1/5与5的作用相反。

　　根据表述的需要，我们因此可以在数学中作一个定义：

　　【定义２】某数加上乘以一个数n，叫做某数扩大n倍；某数除以一个不为0的数n，叫做某数缩小n倍。

　　【性质２】一个数扩大n倍再缩小n倍（n不为０），这个数不变；一个数缩小n倍再扩大n倍（n不为０），这个数也不变。［证明略］

　　从上面的４个例子和两个性质中，我们可以看出：倒数对于乘除法相当于相反数对于加减法；扩大几倍、缩小几倍对于乘除法相当于增加几、减少几对于加减法。

　　二、扩大几倍、缩小几倍与增加几（倍）、减少几（倍）的在图片缩放中效果是截然不同的。

　　【例5】在一幅图片中，每一个点都有一个坐标(x,y)（x,y的值以下统称坐标值）。当把图片放大时，各点的坐标值乘以一个大于１的数；把图片缩小是则乘一个小于１且大于０的数（或除以一个大于1的数）。

　　当n>1时，把原图中各点的坐标值都乘n再用原来的颜色画出来，这正好符合把图放大了这一客观事实，并且人们通常都是说这是把图放大n倍；而把原图中各点的坐标值都除以n再用原来的颜色画出来，也一样符合把图缩小了这一客观事实，并且人们总是说这是把图缩小n倍。人们的这些说法，与【定义２】是一致的，也符合【倍数习惯】和【缩放几倍习惯】。

　　而当1>n>0时，由于不符合【缩放几分之几习惯】，所以人们不会直接说放大几分之几和缩小几分之几，而是根据【倍数习惯】并求出n的倒数，再说放大几倍或缩小几倍。

　　【例6】如果将一幅图中各点的坐标值都增加几或减少几再用原色画出来，结果是图的大小没有变化，只是位置发生了变化。

　　以上两个例子揭示了“扩大几倍”“缩小几倍”与“增加几”“减少几”在图形变化中产生的效果是截然不同。

　　【例７】如果将一幅图中各点的坐标值都增加n倍，再用原色画出来，图也是放大了，并相当于【例5】说法的放大(n+1)倍。

　　但是将一幅图中各点的坐标值都减少n倍，再用原色画出来，则会得到不同的效果。可以证明，当n>2时，图是放大了而不是缩小了，并旋转了180度。只有当1>n>0时，图形才是缩小了并没有旋转。

　　【例７】揭示了【定义２】所规定的“扩大几倍”与“增加几倍”是有区别的，“缩小几倍”和“减少几倍”则可能完全不同了。如果将“缩小几倍”等同于“减少几倍”，在图形的处理上“缩小几倍”则可能会产生可怕的效果：图不但放大了，还旋转了！这说明【定义２】符合【图形缩放习惯】和【倍数习惯】，而将“缩小几倍”理解为“减少几倍”则会不符合【图形缩放习惯】。

　　三、“扩大几倍”“缩小几倍”正如“增加几”“减少几”，在语法和逻辑上也是合乎常理的。

　　也有人认为“缩小几倍”有语法或逻辑上的错误。其实，只要用正确的思想去解读“扩大（缩小）几倍”，我们将发现，语法和逻辑都不存在问题。

　　我们知道，比较两个数可以得到两种基本结果：一种是倍数（率），另一种是相差数。前者用除法计算，后者用减法计算。比较两个数的关系一般情况下是用较大数除以较小数或用较大数减去较小数，即【相差数习惯】【倍数习惯】。特殊情况除外，比如“5是10的几分之几”、“5比10多多少”等。也就是说，通常【定义１】中的“几”为正数、【定义２】中的“几倍”为大于１的倍数，后者也符合【倍数习惯】。

　　以5倍为例。 “扩大5倍”描述的一种变化就是：一种由小变大的变化（扩大），所述变化前后的两个数存在一个倍数为5的关系（5倍），因此，这种变化就能被理解为：将原数乘以5得到变化后的数。同理，“缩小5倍”能够理解为：将原来的数

　　如果用上述方法去分析理解“增加5”和“减少5”，是类似的。比如，“减少5”是“一种由多变少的变化（减少），所述变化前后的两个数存在相差数为5的关系（5）”，也就是：原数减去5得到变化后的数。

　　可见，在语法和逻辑上，增加（减少）几与扩大（缩小）几倍是类似的。

　　其实，如果只是从数学定义的角度来说，分析其语法或逻辑是多余的。因为“扩大几倍”“缩小几倍”是什么含义只是一个数学规定而已，它完全可以与相应的文字意思有点不同，如果完全相同就不必再定义了。之所以作上述分析，是想说明有关数学定义是允许顾名思义的，只要顾、思得当就行。当然，对于许多科学概念如果只是顾名思义可能就要犯错误了。

　　四、“扩大几倍就用几乘”和“缩小几倍就用几除”有很高的实用价值。

　　众所周知，有了【定义２】，我们就能通俗易懂、简明扼要地描述数学中的许多规律、法则，也能更好地解说许多数学道理，还能方便地描述图形的放大和缩小等等。相反，如果扩大几倍等于增加几倍、缩小几倍等于减少几倍，则会使相关描述中存在一系列语言文字上的障碍和理解上的困难，以及图形缩放的困惑等一系列问题，更可怕的是会造成数学体系的部分重写，而数学是一切科学的工具，这一重写涉及的面就会更大了。

　　五、“扩大1/5等于缩小5倍”正如“增加-5等于减少5”。

　　【例8】设原数为100，根据【定义１】和【定义２】，得：

　　原数增加5为105，减少5为95；减少-5为105，增加-5为95。

　　原数扩大5倍为500，缩小5倍为20；缩小1/5为500，

　　【例9】如何理解上述变化中看似不合理的数学结论？

　　我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数不为0的数等于乘以这个数的倒数。加上一个数等于减去这个数的相反数；乘以一个不为0的数等于除以这个数的倒数。

　　增加与减少相反，在加上或减去一个数中“5”与“-5”运算效果相反，因此，这种情况下可以说“5”与“-5”互为相反。

　　因此，“减少-5”就是“减少5的相反”也就是“增加5”。

　　同理，“增加-5”就是“增加5的相反”也就是“减少5”。

　　类似地，扩大与缩小相反，也就是说扩大是缩小的相反，缩小是相反的扩大。在乘以或除以一个数中“1/5”与“5倍”的运算效果正好相反，这种情况下可以说“1/5”与“5倍”互为相反。

　　因此，“扩大1/5”就是“扩大5倍的相反”也就是“缩小5倍”。

　　同理，“缩小1/5”就是“缩小5倍的相反”也就是“扩大5倍”。

　　由此可见，“缩小1/5等于扩大5倍”与“减少-5等于增加5”不仅从形式上惊人相似、从运算上完全正确，而且从语义上的推敲上也是一样讲得通的。

　　 “100减少-5为105”，“减少”反而“增加”了，让人觉得不可思议，只因为人们忽略了负号的“反”作用。“100缩小1/5为500”则更是不可思议了，其实也是因为人们忽略了起“反”作用的倒数。

　　以上我们利用相反、相似的思想，解读了“扩大1/5等于缩小5倍”这一令人费解的数学结论。我个人觉得，相反、相似思想在许多场合能帮助我更好地理解事物，大家不妨一试。

　　从上面的分析，我们还可以看出：在一般情况下“扩大缩小”“增加减少”只要顾名思义就行了，但在特殊情况下，顾名思义就可能“不可思议”了。其实许多的“不可思议”也并非真的不可思议，只是我们的思想、方法、知识、技术等没有达到某一要求而已。

　　六、习惯使人们对“扩大几倍”“缩小几倍”的理解产生了歧义。

　　在【例8】【例9】中为什么会出现不符合【缩放几分之几习惯】的数学现象呢？

　　由于许多人都习惯于顾名思义，从而觉得“增加-5”不但没有“增加”反而“减少”了，难以理解。而对于“扩大1/5”不但没有“扩大”反而“缩小5倍”，则几乎觉得无法理解了。与“增加-5”和“减少-5”有所不同的是，“扩大1/5”和“缩小1/5”因“无法理解”而被多数人重新定义，此时将“扩大”理解为“增加”，“缩小”理解为“减少”。比如，更多的人将“100缩小1/5”理解为“100减少1/5得80”，“100扩大1/5”理解为“100增加1/5得120”。这样人们就有了【缩放几分之几习惯】。可是另一方面，由于【缩放几倍习惯】更多人还是说“50扩10倍是500”，“50缩小10倍是5”。

　　但是【缩放几分之几习惯】、【缩放几倍习惯】、【回避习惯】从数学本身的角度来看是矛盾的。因为数学中，分率的变化是很容易突破【倍数习惯】的限制的，因为许多情况下分率的取值是不可知的，从而不知道应按哪个习惯来说。因此，这个歧义在数学中是不应该存在的。

七、从语言使用和科学体系看，歧义可能带来混乱和灾难。

　　从上面的分析可知，歧义的产生来源于对“扩大（缩小）1/5”之类说法的重新定义。现实情况是，多数人会说“50扩大10倍是500”、“50缩小10倍是5”、“50扩大1/5是60”、“50缩小1/5是40”等。也就是说，一般情况下，是不会发生误解的。但是，单纯地从“1/5”到“1倍”到“2倍”再到5倍这样想下去，结果就会否定“50扩大10倍是500”也会否定“50缩小10倍是5”。而反过来想，从“50扩大10倍是500”出发，就会否定“50扩大1/5是60”这种多数人认为正确的命题。

　　在认同多数的上述理解的条件下，当用两种思路同时考虑时，无论对个体还是数学学科，原来构建的大厦都有面临崩溃的危险，因为在逻辑上将陷入自我矛盾之中。对社会而言，则会造成人群中对“扩大几倍”“缩小几倍”的不同理解，从而造成语义上的混乱，用“扩大几倍”和“缩小几倍”描述的一些问题则会产生不同答案。这都是因为【缩放几分之几习惯】、【缩放几倍习惯】和【回避习惯】三者之间的内在矛盾而产生的。

　　从上述意义上说，有人提出要彻底否定“扩大几倍就用几乘”和“缩小几倍就用几除”也是可以理解的，因为只有消除歧义才不会陷入自我矛盾之中。但是，这个的否定则会要求数学体系的部分重建、教材的改写、全民重新学习、对过去的出版物进行纠正、把简单明确的句子说得罗嗦等等，我们能满足这些要求吗？这就不能不让人们思考：这种要求合理吗？这种否定合理吗？

　　八、否定“扩大几倍就用几乘”和“缩小几倍就用几除”是本末倒置。

　　从分析中我们可以看到，“扩大几倍”和“缩小几倍”产生的歧义根源在于人们没有正确理解“扩大1/5等于缩小5倍”之类的数学事实，从而将“扩大1/5”视为“增加1/5”，“缩小1/5”视为“减少1/5”。但是，“扩大几倍”和“缩小几倍”的本义与“增加几倍”和“减少几倍”是有质的区别的，是描述数量变化的需要的产物。所以，否定“扩大几倍就用几乘”和“缩小几倍就用几除”，就是要否定本义，维护将“扩大几倍”视为“增加几倍”、将“缩小几倍”视为“减少几倍”的这种“新义”，所以说是本末颠倒。

　　也有人认为“扩大几倍”“缩小几倍”的本义只是小学数学需要的产物，在中学、大学则可以还其“真正的本义”了。我个人认为，如果这个所谓的“真正的本义”和小学数学中的本义不矛盾并加以拓展，那是可以的，因为小学数学的众多概念的生成都是螺旋上升的，比如乘法的意义就是一例。相反，不是拓展而是否定的话，那么这种想法对学生而言，就和做好了二楼就可以把一楼拆了的想法没什么两样了。

　　九、面对现实，还“扩大几倍”和“缩小几倍”本来面目。

　　前面谈过“扩大几倍”和“缩小几倍”的本义就是为了描述一个数乘以几和除以几这类按倍率的变化，从上述论述中还能看出这一本义的必要性、合理性和实用性等，因此“扩大几倍就是用几乘”和“缩小几倍就是用几除”是一对具有科学性的定义。在“扩大1/5”和“缩小1/5”之类说法上，我们有一错，从而让科学的定义产生了歧义。如果再错进而否定原来的定义，我们就只能失去这个科学的定义了，同时带来表述上的麻烦、语义上的混乱、系统上的重建等一系列的问题，这不能不说是一种灾难。

　　如前所说，现在教材采取的策略是回避。我们知道，回避根本不是办法，只能更乱，否定则是灾难。因此，只有坚持真理，才能走出“回避不是办法，否定带来灾难”的困境。

　　在此，盼望各出版社尽快把教材改回原来的正确说法。还要让人们明确“扩大几倍”和“缩小几倍”的本义，要有区分“扩大”与“增加”、“缩小”与“减少”的意识，尽量避免使用“扩大1/5”之类说法，针对不同含义采用“缩小5倍” 或“增加1/5”之类说法。要避免的原因在于我们不能无视“扩大1/5”之类说法被多数人重新定义过这一客观现实。可喜的是，现在不少人已认识到这一问题，在生活用语中已经自觉地这样做了。

　　同时还应看到的是，将缩小与减少、降低等混为一谈从而说出一些错句之类现象依然存在，因此教材更应该承担起这个纠错责任，而不应该回避。

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　　最后十分感谢您的阅读与理解，如果您觉得教材有必要如文中所说改回原来的说法，请转发扩散，请更多的人支持这一做法！

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關鍵字: 缩小 几倍 教材