有些與數學有關的令人震驚的事實和遊戲，甚至數學也無法解釋。我只想將這些事實稱為“數學的抽象”。
讓我們看一看這些遊戲或技巧。假設你所在的教室至少有25名學生，而你是老師。你給大家一個白紙，寫一個數字，介於0到9之間的任何數字。在學生們將數字寫在紙上並摺疊之後，你把紙條收集起來。當然，你對紙上寫的內容一無所知。
我要說的是大多數學生選擇了數字7，但是我對此沒有任何解釋，儘管它總是正確的。不相信的話可以去做個試驗。
要玩這個遊戲，有一些條件。首先，你需要至少25個人。否則，就會有失敗風險。你可能認為這是概率的問題，但事實並非如此。因為有10位數字，所以每個學生被選中的每一位數字的概率是1/10。所以，數學解釋現在在這裡不起作用了。我認為這也可以用生理學或社會學來解釋。
還有一些非常有趣的事情是數學無法解釋的。這裡，我們有4個不同的矩形。如果我們問人們哪個長方形更漂亮，70%-80%的人會選擇綠色的。
我們也不能僅用數學來解釋這種情況，因為我們在數學中沒有一個關於美的定義，而這個事實在數學上是無法理解的。然而，營銷人員非常有效地利用了這些信息。當他們意識到大多數人更喜歡特定的設計師。
許多年過去了，我們仍然找不到人們為什麼選擇7的答案，但是一位名叫阿德里安·貝揚的院士找到了人們為什麼選擇綠色矩形的答案。教授發現，“人類的眼睛能夠比其他任何動物更快地解讀出黃金比例的圖像。”“所以綠色矩形有黃金比例，看起來比其他矩形更漂亮。
你可能聽說過歐幾里得。我之前寫過一些關於他的文章。他有一本叫《原本》的書。我絕對建議你買那本書。歐幾里得在《原本》一書中對黃金分割的定義如下：
幾何原本
本書是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果與精神於一身。既是數學鉅著，也是哲學鉅著，並且第一次完成了人類對空間的認識。該書自問世之日起，在長達兩千多年的時間裡，歷經多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，至今已有一千多種不同版本。除《聖經》之外，沒有任何其他著作的研究、使用和傳播之廣泛能夠與本書相比。徐光啟在譯此作時，對該書有極高的評價，他說：“能精此書者，無一事不可精；好學此書者，無一事不科學。”現代科學的奠基者愛因斯坦更認為：如果歐幾里得未能激發起你少年時代的科學熱情，那你肯定不會是一個天才的科學家。由此可見，本書對人們理性推演能力的影響，即對人的科學思想的影響是何等巨大。
將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等於較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。
換句話說，歐幾里得說過，線段上有一個點，我們可以稱它為黃金點，它完美地分割了這條線。他的主張是武斷的，但也是正確的。
如上圖，如果C是黃金分割點，那麼：
從數學上講，如果你有一個線段|AB|，在點A和點B之間存在一個點C，我們可以得到一些比值，比如|AB|/|AC|和|AC|/|BC|。如果這兩個比率相等，它們就是黃金比率，1.618。
我很確定，這個特殊比率讓你們非常非常好奇，你們想知道歐幾里德是怎麼得到黃金比率的值的？讓我們一起試著找到它。
設：|AC|的長度= x， |CB|的長度= y，則
這意味著如果我們可以找到x / y的值我們可以找到φ的價值，這將得到一個二次方程：x^2= xy + y^2
然後我們可以把所有的變量放在一邊，這次我們得到：
x^2- xy + y^2= 0
提示：我們的目的是找到x/y。如果我們把所有的項除以y^2，然後我們得到：
如果我們可以定義(x / y) =φ，我們得到：
φ²-φ- 1 = 0。
這裡，我們需要記住二次方程公式：
設a b c是實數。解決方案的ax^2+ bx + c = 0
二次公式告訴我們方程的根的乘積等於-1。因此，一個根的乘積是負的，另一個是正的。然而，通過黃金分割的定義，φ不能是負數。所以我們要選擇正根。現在我們可以解這個方程了。
到目前為止，我們只做了一部分。我們仍然需要證明為什麼人們選擇上面的綠色矩形，為什麼歐幾里得把它叫做黃金矩形。
當我們回到以點C為切點的線段|AB|時，我們可以從黃金點C摺疊它，得到一個直角。現在我們可以構建一個矩形。這個矩形是黃金矩形，因為兩邊的長度是x和y，我們已經證明x / y等於黃金比例，φ。
黃金矩形具有其他矩形不具有的屬性。這是一個特殊的矩形，如果你把它切成正方形，剩下的矩形也是黃金矩形。
到目前為止一切順利。現在，我們可以嘗試一些不同的東西，如找到一個黃金三角，如果存在的話。
首先，我們需要決定我們需要處理什麼樣的三角形。當我們從黃金矩形中移除一個正方形部分時，我們仍然有一個黃金矩形。三角形也需要相同的性質。我認為很明顯一個等邊三角形不可能是金三角因為如果你從一個等邊三角形中切出一個等邊三角形剩下的部分就不是等邊三角形。
不過，我們可以研究等腰三角形！步驟是明確的。我們有一個等腰三角形然後從原來的等腰三角形中切出另一個等腰三角形然後檢查剩下的三角形是否與原來的三角形相似。如果是，我們將稱之為黃金三角形。我下一步我們會發現邊的比例等於黃金比例。
讓我們從底角等於2α的等腰三角形ABC開始。然後從點B到| AC |邊畫一條線。得到兩個不同的 等腰三角形ABD和BCD。在這裡，我們得到一些有趣的東西，因為三角形BCD 的底角也是2α，而ABD的底角也是α。因此，三角形ABC的角度為α，2α，2α。這使我們得到5α= 180，所以α= 36。
現在我們得到了一個非常特殊的三角形，它的頂角是36，底角是72。
如你所見，我們最後得到了相同的二次方程。所以角為36-72-72的三角形應該是金三角。順便說一下，如果你繼續挖掘，你會發現108-36-36也是一個金三角。
舉個例子。如果有一個五邊形，它的對角線長度和邊長之比是多少?如果你從任何一條邊畫一條對角線我們會得到一個三角形，它是一個金三角因為角是108，36和36。
所以,如果五邊形的一側的長度是1，然後φ為對角線的長度。我們不做任何計算就解決了一道難題。沒有任何關於黃金分割的知識，我們不得不處理很多線，二次方程，等等…
再看一個例子。如果我們連接一個五邊形的所有對角線，中間會有更小的五邊形，你看到的每個三角形都將是一個金三角。
問題是：小五邊形的面積和大五邊形的面積之比是多少？
我們可以輕鬆做求出，因為如果我們將小五邊形邊長設為1，三角形的邊設為φ。然後，可以求出大五邊形邊長為φ²。那麼相似比為1 /φ²，則面積之比為1 /φ⁴。
φ還有另一個獨特的屬性，φ是唯一一個平方等於其和與1的和的數字。有趣的是，我們可以得到以下的規律：
這裡的常數很有趣。1 、1 、2 、3 、5 、8 、13、 21 、34、 55…這些不是隨機數。這些數字來自斐波那契數列，其中每一項都是前兩項的和。
斐波那契數列與黃金分割比率之間的關係是獨一無二的。序列中2個連續數字的比率過了一會兒就得到了黃金分割率。如果你處理序列中的大數字，你將得到黃金分割率的每一位數。
例如：
5/3= 1.666…
8/5 = 1.6
13/8 = 1.61……
21/13 = 1.618…
如果你繼續這樣做你會得到一個新的φ的數字。
這個信息非常有用，因為不用計算器我們也可以很容易地求出sin18或cos36！
閱讀更多 老胡說科學 的文章
