煙花三月，草長鶯飛，光陰似箭，時不我待！疫情期間我們"停課不停學，停課不停教"，受疫情的影響，這屆初三年級學生的學習存在很多困難，需要面對。中考不足100天了，孩子學習情況的反饋和課後作業訓練如何落實到位？兩極分化如何有效均衡？為了更有效推進精準複習，必須多做練習。但有的同學多做練習就能學好，有的同學做了很多練習仍舊學不好，究其原因，是"多做練習"是否真正得法。
我們所說的"多做練習"，不是搞"題海戰術"，後者只做不思，不能起到鞏固概念、拓寬思路的作用，而且有"副作用"：把已學過的知識攪得一塌糊塗，理不出頭緒，還浪費了時間。我們所說的"多做練習"，是要大家在做完了一道題目之後，多想一想：它究竟用到了哪些知識？是否可以多解？其結論是否還可以加強、推廣？等等。還要切實做到以下三點，才能使"多做練習"真正發揮它的作用。
一、必須熟悉中考常考的各種題型並掌握其解法
課本上的每一道習題，大多都是針對某個知識點出的，是最基本的題目，必須熟練掌握；課外的習題，也有許多基本題型，需要運用的方法較多，針對性也強，對它們也應該能夠迅速做出。許多綜合題只是若干個基本知識點的有機結合，基本題掌握了，不愁解不了它們。
例1.（2019秋•青龍縣期末）國內豬肉價格不斷上漲，已知今年10月的豬肉價格比今年年初上漲了80%，李奶奶10月在某超市購買1千克豬肉花了72元錢．
（1）今年年初豬肉的價格為每千克多少元？
（2）某超市將進貨價為每千克55元的豬肉按10月價格出售，平均一天能銷售出100千克，隨著國家對豬肉價格的調控，超市發現豬肉的售價每千克下降1元，其日銷售量就增加10千克，超市為了實現銷售豬肉每天有1800元的利潤，並且儘可能讓顧客得到實惠，豬肉的售價應該下降多少元？
【分析】本題主要考查一元方程的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關係，並據此列出方程。
（1）設今年年初豬肉的價格為每千克x元，根據"年初價格×（1+增長的百分比）＝10月份的單價"列方程求解可得；
（2）設豬肉的售價應該下降y元，則每日可售出（100+10y）千克，根據"每千克利潤×銷售量＝總利潤"列方程，解之求得y的值，繼而結合題意取捨即可得．
【解答】：（1）設今年年初豬肉的價格為每千克x元，
依題意，得（1+80%）x＝72，解得x＝40．
答：今年年初豬肉的價格為每千克40元．
（2）設豬肉的售價應該下降y元，則每日可售出（100+10y）千克，
依題意，得（72﹣55﹣y）（100+10y）＝1800，
整理，得y²﹣7y+10＝0，解得y₁＝2，y₂＝5．
∵讓顧客得到實惠，∴y＝5．
答：豬肉的售價應該下降5元．
二、在解題過程中有意識地領會題目中所包含的思維方法
數學中有眾多思維的技巧，所以每道題在命制過程中，都會反映出一定的思維方法，如果我們有意識地領會這些思維方法，時間長了，頭腦中便會形成對每一類題型的"通用"思路，即正確的思維定勢，這樣，在解有關的題目時就易如反掌了。同時，掌握更多的思維方法，也為做綜合題奠定了一定的基礎。
例2．（2019秋•鎮海區期末）定義：如果一個三角形中有兩個內角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個三角形為"近直角三角形"．
（1）若△ABC是"近直角三角形"，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝______度；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，
①求證：△BDC是"近直角三角形"；
②在邊AC上是否存在點E（異於點D），使得△BCE也是"近直角三角形"？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D為AC邊上一點，以BD為直徑的圓交BC於點E，連結AE交BD於點F，若△BCD為"近直角三角形"，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．
【分析】本題屬於圓的綜合題，涉及了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、三角函數值的知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來
【解答】：（1）∠B不可能是α或β，
當∠A＝α時，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝20°，
故答案為20；
（2）①如圖1，設∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，
則α+2β＝90°，故△BDC是"近直角三角形"；
②存在，理由：
在邊AC上是否存在點E（異於點D），使得△BCE是"近直角三角形"，
AB＝3，AC＝4，則BC＝5，
則∠ABE＝∠C，則△ABC∽△AEB，
即AB/AE=AC/AB，即3/AE=4/3，解得：AE＝9/4，
則CE＝4﹣9/4＝7/4；
（3）①如圖2所示，當∠ABD＝∠DBC＝β時，
則AE⊥BF，則AF＝FE＝3，則AE＝6，
AB＝BE＝5，
過點A作AH⊥BC於點H，
設BH＝x，則HE＝5﹣x，
則AH²＝AE²﹣HE²＝AB²﹣HB²，即5²﹣x²＝6²﹣（5﹣x）²，解得：x＝7/5；
cos∠ABE＝BH/AB=7/25＝cos2β，則tan2β＝24/7，
則tanα＝7/24；
②如圖3所示，當∠ABD＝∠C＝β時，
過點A作AH⊥BE交BE於點H，交BD於點G，則點G是圓的圓心（BE的中垂線與直徑的交點），
∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，則EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，則AF：EF＝AG：GE＝2：3，
則DE＝2k，則AG＝3k＝R（圓的半徑）＝BG，
三、多做綜合題，樹立攻克難題的信心
綜合題，由於用到的知識點較多，頗受命題者的青睞，綜合題是檢驗自己學習成敗的有利工具，通過做綜合題，可以知道自己的不足所在。彌補不足，能使自己的數學水平不斷提高，"多做練習"要長期堅持，每天都要做幾道，時間長了就會有明顯的效果和較大的收穫，尤其樹立攻克難題的信心。
例3．（2020•河北模擬）【問題背景】（1）如圖1，⊙O與∠P的兩邊分別切與A，B兩點．求證：PA＝PB．
【深入探究】（2）在（1）的條件下，若∠APB＝60°，連接PO，以PO為一條邊向上作等邊三角形POQ，連接AO，AQ．求證：AO＝AQ．
（3）若在（1）的條件下，以OP為斜邊向上作等腰直角三角形POQ，取OP中點M，連接MB，MQ，BQ，求證：∠MQB＝∠MBQ．
【拓展延伸】在（3）的條件下，連接AO，AQ，探索AO，AQ，AP之間的數量關係．
【分析】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，直角三角形的性質，添加恰當輔助線是本題的關鍵．
【解答】：【問題背景】
（1）連接OA，OB，OP，
∵PA、PB是切線，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
易證Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴PA＝PB；
【深入探究】
（2）∵Rt△PAO≌Rt△PBO，∴∠APO＝∠BPO，
∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠BPO＝30°，
∵△POQ是等邊三角形，∴∠OPQ＝60°，PO＝PQ，
∴∠APQ＝∠APO＝30°，且PO＝PQ，
∴PA垂直平分OQ，∴AO＝AQ；
（3）如圖3，連接OB，
∵PB是⊙O是切線，
∴PB⊥OB，且點M是OP的中點，∴BM＝1/2PO，
∵△OPQ是等腰直角三角形，且點M是OP的中點，
∴QM＝1/2OP，∴QM＝BM，
∴∠MQB＝∠MBQ；
【拓展延伸】
AO+√2AQ＝AP，
理由如下：過點Q作QH⊥AQ交AP於點H，
∴∠AQH＝∠PQO＝90°，∴∠AQO＝∠PQH，
∵∠QPO+∠QOP＝90°，∠AOP+∠APO＝90°，
∴∠APQ+∠APO＝∠APO+∠AOQ，
∴∠APQ＝∠AOP，且∠AQO＝∠PQH，QP＝OQ，
∴△AOQ≌△HPQ（ASA），
∴QH＝AQ，AO＝PH，∴AH＝√2AQ，
∵AP＝PH+AH，∴AO+√2AQ＝AP．
例4．（2020•成都模擬）如圖，已知拋物線y＝ax²+bx+c（a≠0）與x軸交於點A、B，與y軸分別交於點C，其中點A（﹣1，0），點C（0，2），且∠ACB＝90°
（1）求拋物線的解析式．
（2）點P是線段ABC一動點，過P作PD∥AC交BC於D，當△PCD面積最大時，求點P的座標．
（3）點M是位於線段BC上方的拋物線上一點，當∠ABC恰好等於△BCM中的某個角時，求點M的座標．
【分析】（1）根據射影定理求出點B（4，0），設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），將點（0，2）代入求出a＝﹣1/2，然後化為一般式即可；
（2）過點P作y軸的平行線交BC於點E，設P（m，0），用待定係數法分別求出直線BC，直線AC，直線PD的解析式，可表示出點E，點D的座標，然後根據三角形面積公式列出二次函數解析式，利用二次函數的性質求解即可；
（3）分兩種情況求解：當∠BCM＝∠ABC時和當∠CBM＝∠ABC時，由相似三角形的性質可求出點M的座標．
本題是二次函數綜合題，考查了待定係數法求函數解析式、二次函數圖象上點的座標特徵、相似三角形的判定與性質以及一次函數圖象上點的座標特徵，解題的關鍵是利用待定係數法求出拋物線的解析式及理解運用分類討論的思想方法．
【解答】：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，
∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可得：OC2＝OA•OB，
∴OB＝4，∴點B（4，0），
設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣4），將點（0，2）代入上式得：
a×1×（﹣4）＝2，解得：a＝﹣1/2，
∴拋物線的解析式為y＝-1/2x²+3/2x+2；
（2）如圖1，過點P作y軸的平行線交BC於點E，設P（m，0），
設直線BC的解析式為y＝kx+b，
把B（4，0），C（2，0）代入得，4k+b=0,b=2，
∴k=-1/2,b=2，
∴直線BC的解析式為y＝﹣1/2x+2，
∴E（m,-1/2 m+2），
同樣的方法可求得直線AC的解析式為y＝2x+2，
可設直線PD的解析式為y＝2x+b，把P（m，0）代入得b＝﹣2m，
（3）由題意知，∠BMC≠∠ABC，
當∠BCM＝∠ABC時，CM∥AB，如圖2，
∴點C與點M關於拋物線的對稱軸對稱，
∴M（3，2）；
當∠CBM＝∠ABC時，如圖3，過M作MF⊥BC於F，過F作y軸的平行線，交x軸於G，交過M平行於x軸的直線於K，
∵∠CBM＝∠ABC，∠BFM＝∠BGF，∴△MFK∽△FGB，
同理可證：△MBF∽△MFK∽△FBG∽△CBO，
特殊時期，師生雖然不能返校上課，但我們同樣做好了有計劃的複習，確保學生勞逸結合。力保重返校園時做好線上教學與線下教學的有效銜接，期待學子中考收穫優異成績。
閱讀更多 中學數學深度研究 的文章
