各位朋友，大家好！今天是2020年4月4日星期六，今天也是個特殊的日子，我國舉行了全國性哀悼活動，表達全國人民對抗擊新冠肺炎疫情鬥爭犧牲烈士和逝世同胞的深切哀悼！
數學世界將不定期發佈一些小學數學和初中數學的習題及解析，希望對廣大學生的備考有幫助，請朋友們密切關注！今天，數學世界為大家分享一道初中幾何圖形綜合題，此題是有關正方形的性質和相似三角形的判定與性質。此題的難度並不是很大，如果學生能夠很好地掌握數形結合的解題思路，就能比較輕鬆完成此題。請大家先嚐試獨立思考一會兒，再看下面的分析和解答過程，相信一定會有收穫！
知識點準備
正方形的定義：有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
正方形的性質：①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，並且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．
相似三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識．（此處不再羅列，請大家自己查詢）
例題：（初中數學幾何圖形綜合題·數形結合）如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長為35釐米，邊長為12釐米的正方形CDEF內接於△ABC，求△ABC的周長為多少釐米？
不少同學在看完這道題後，感覺不知所措。雖然此題的文字不多，但是包含的信息量很大，如果想做出這道題，需要有很多知識點儲備。解答此題的關鍵是由相似三角形和勾股定理分別得出一個等式，變形得到一元二次方程即可。下面，貓哥就與大家一起來解決這道例題吧！
分析：可以設BC=a，AC=b，由勾股定理可得a^2+b^2=35^2，由正方形和直角三角形的性質，可以得到Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的對應邊成比例，可得a和b的一個等式，由兩個等式變形得到一元二次方程，即可解決問題．
解：如圖，設BC=a，AC=b，
在Rt△ABC中，AB的長為35釐米，
則a^2+b^2=35^2=1225．①
因為正方形CDEF內接於△ABC，
所以∠AFE=∠ACB，∠A=∠A，
得出Rt△AFE∽Rt△ACB，
所以FE/CB＝AF/AC，
即12/a＝（b-12）/b，
化簡得12（a+b）=ab．②
結合①②得到（此處需要較強的解題技巧）
（a+b）^2
=a^2+b^2+2ab
=1225+24（a+b），
將（a+b）看成一個整體解一元二次方程，
解得a+b=49，a+b=-25（捨去），
所以△ABC的周長為
a+b+35=49+35=84（釐米）．
（完畢）
這道題考查了勾股定理、正方形的性質和相似三角形的判定與性質等知識。此題綜合性較強，解題時要注意合理應用數形結合與方程思想，解方程時需要較強的解題技巧。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家在下面留言討論。謝謝！
閱讀更多 數學世界 的文章
