維科學主義的鴻宇他哥
我們周圍有理性思維和感性思維兩種人。理性思維的人思維嚴謹，邏輯清晰；感性思維的人思維發散，注重情感。這兩種人在學習或運用數學知識時，會不自覺地把自身的思維特點帶到舞臺上。
數學來源於生活，同樣也實踐於生活。所以數學既是一門非常理性的課，同樣也是一門非常感性的課。在數學上如何處理好感性與理性的關係，將直接反映著數學的本質問題。
理性思維的人講得比較嚴謹，感性思維的人講得比較形象。
人的思維可以分為兩部分∶感性思維和理性思維。感性思維主要是靠自己的經驗和直覺，去思考和判斷。理性思維主要是靠已經掌握的科學的方法，去思考和判斷。
感性思維活動包含：感覺、知覺、感性概念、本能思維傾向、習慣思維、聯想、想象、情感活動、直覺、定量的度量、模糊的範疇思維、創造性思維。感性思維的特點是自然形成、敏感、自發產生、自動執行、孤立片面、分散並行。
理性思維包含：語言形式的概念、概念的分類、定性思維、範疇思維、邏輯隸屬關係、因果推理、過程流程的思考和規劃、數學與拓撲/集合/立體空間演算、色彩/旋律/佈局的協調性、週期規律、清晰劃界、語言組織和傳播。特點是人為定義與劃分、知識成體系性、形式化、可推理性、突出相互聯繫和相互制約關係、可傳播性、可理解性。
理性思維與感性思維是相互銜接的，從感性過渡到理性，就像植物的根與冠並不是兩個孤立的存在。動物也有感情，也會“喜怒哀樂”的感性表現，但絕對不會使用“演繹歸納”等理性思考方法。地球上只有一種生物具有理性思維的能力，這就是“人”。從感性思維到理性思維的進步，是地球上幾十億年來生物進化的最高結晶。就像人的兩條腿，感性和理性是支撐思維的兩大支柱，兩者相互剋制，缺少了哪一方面都不能構成完整的思維活動
感性思維在數學思維活動中的作用
美國著名教育家杜威曾說過：“一盎司經驗勝過一噸理論”。經驗是推動知識不斷更新的，經驗成為溝通學生已有的認知結構和新的數學學習活動的橋樑。數學經驗是數學的感性認識，是在數學活動中積累的。
教育家陶行知曾做過一個很形象的比喻：每個人在學習時，要用自己的經驗做“根”，以這經驗所發生的的知識做“枝”，然後別人的知識才能接上去，別人的知識才能成為我們知識有機體的一個部分。
我們中學課堂學習更多體現在學生的實際操作和圖形語言中。在直觀操作中感知，建立豐富的表象，以此支撐符號語言的認知。因此，打開文字、符號、圖形與動作語言的通道，從感性到理性，從形象到抽象，來培養思維的深刻性。
荷蘭教育家弗賴登塔爾說：只要孩子沒有對他的活動進行過反思，他就達不到高一層次。因此，學習過程中讓學生及時反思，從感性到理性，把思維引向深刻。
筆者常常在課堂上給學生開闢“糾錯小專家”“金話筒”“小老師”等平臺，鼓勵學生大膽表述自己解決問題的過程，讓學生體會如何用上打比方、舉例子、直觀演示等手段，清晰表達自己的觀點。“說”的過程暴露了學生思考的過程，思考被講述之後內心變得更敞亮。
當下的教育在努力追求一種境界，那就是教給學生“帶得走的東西”，而數學學習中“帶得走的東西”，就包括學生忘掉具體數學知識以後，依然能從數學的視角去分析和研究問題的思維習慣，是一種植根於內心的數學素養和無需提醒的文化自覺，即:數學意識。
數學意識通常包括初步的符號意識、建模意識、數據分析意識、應用意識等。數學意識體現在日常生活的方方面面，可謂如影隨形。
對於證明：0.999…… = 1。
對於只接觸過“初等數學”的學生來說，顯然，用感性思維去看待這是一個讓人“無法接受”的結果，甚至於顛覆我們的認知，因為老師一直和我們說的是純小數都比1小。先不看證明過程，至少有幾個地方是值得我們懷疑的。
1）既然兩個數相等，為何不用一個數表示，何必這麼麻煩寫那麼多個9；
2）0.9的循環，小數點後面無論多少個9，總感覺比1差那麼一點點。
但理性思維卻又很多證明方法：
證明1（弗雷德·裡奇曼(Fred Richman)）
我們可以利用已知的無限循環小數，如：0.333...，證明過程如下：
1 = (1/3) × 3
= (0.333...) × 3
= 0.999...
請問，你對上述證明過程，有疑問嗎？
證明2（大衛·福斯特·華萊士(David Foster Wallace)）
設x = 0.999……，於是有：
10x = 9.999……，那麼：
9x = 10x - x = 9.999…… - 0.999……=9
因此x = 1。
同樣，請問，你對上述證明過程，有疑問嗎？
證明3（歐拉(Leonhard Euler)，1770年）
注：此證明過程會用到高中或大學階段“數列與極限”。
0.999……可以看成是首項a₁為0.9，公比q為0.1的等比數列：
a₁ = 0.9，a₂ = 0.09，a₃ = 0.009，……
上述數列的所有項之和，就是0.999……。
那麼，我們根據等比數列的求和公式有：
0.999…… = a1/(1-q) = 0.9/(1-0.1) = 1
證明4（極限思維）
上述證明，用到了無限項數列求和。其實在高等數學中，更是有下面極限推導過程：
證明5（閉區間套理論）
1）給定一組區間套，則數軸上恰有一點包含在所有這些區間中；
2）“0.999...”對應於區間套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ...；
3）而所有這些區間的唯一交點就是 1，所以 0.999... = 1。
證明6（算術平均值）
如果0.999…和1不相等,則兩者的算數平均值必然和這兩者都不相等
(0.999…+1)/2=1.999…/2=0.999…
顯然,只要“1.999…”後面的9無限添加下去,除以2後的商0.999…後面的9也會無限延伸。也就是說“0.999…”和1的算數平均值與他們自身相等。
因此：0.999… = 1。
證明7（消去法）
假如我們把“0.9999...”和“0.9999...”加起來，我們先考慮截取有效位小數以後這兩個數的和：
0.9+0.9=1.80.99+0.99=1.980.999+0.999=1.998.....
對於小數點後的任意一位，在取足夠多位的小數之後，總是會穩定為9，因此：
0.999...+0.999...=1.999...
同樣地：
1+0.999...=1.999...
根據消去率，0.999...=1
此題證明源自於"知乎"作者“十一太保念技校”的回答。
請問，你對上述證明過程，有疑問嗎？
證明8（阿基米德）
令0.999…=a, a要麼大於1，要麼小於1，要麼等於1。因為a>1，這是不可能的，所以我們再看a<1的情況：
1）假設a<1，必定存在b，使得a
2）令k=1-b代入上式，於是得到1-a<1-b；
3）不等式移項處理後，得到：a>b，這跟假設“a
所以a<1不成立，故：a=1。
證明9（短除法）
我們用1去短除1，試商時，第一位試為0，如下圖所示：
證明11（兩式相減）
如下兩式：
1）0.999999… × 10 =9.99999…2）0.999999… × 100=99.9999…
把它們相減，得：
0.999999…*90 = 90
所以：0.99999… = 1。
反思與感悟
《數學新課標》中提出：學生的數學學習內容應當是實現的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利於學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推測與交流等活動。內容的呈現應採用不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。因此數學教學要讓學生在親歷中體驗，在體驗和反思中積累，讓經驗的“根”長的更深。
在傳統的教學中，我們數學體現著非常理性的一面，知識的傳授過程崇尚以掌握知識為主，注重的是結果。而新課程則更多地關注知識形成的過程，推崇數學感性的一面。
在數學教學中，把一個分析和處理問題的時間縮短是有效教學的一種策略，把一個問題拉長也是一種策略。縮短可能增加知識的容量，拉長可能提升學習的質量。課堂學習不僅要結論，更要引導學生用個性化的表達來展示思考過程。這個過程猶如登山，“轉過一座山，繞過一道嶺，眼前又是一座峰”，思維的過程中充滿著探索，充滿著期待，這種“智力的歷險”恰是思維的一種深層次的“狂歡”。
根據數學其本身的特點和屬性，我們可以從中看出，數學不光是一門非常理性的課，同時也是一門注重感性的課。在數學上對於感性與理性的融合就好比一男一女合演雙人舞，只要一方發揮不好就難以演出精彩的舞蹈。
2014美國年度教師肖恩•麥考說：學生就像一棵樹，成績只是暴露在地表外的枝丫，思維模式才是深埋地下的樹之根本。數學課堂，我們期待學生樂聽、善思、能辨，這樣的學習體驗對於學生來說是深刻的。
老張教育新思享
實數的定義其實是通過序列的極限（有很多其它等價形式，例如區間套）來做的，所以不要把上面看成數而應該看成兩個序列，它們都代表一這個實數。感性理解毛病在於不知道數的定義，把數和序列等同了。
俸旻
我是誰？誰是我？我從哪來，我將何往？
