维科学主义的鸿宇他哥
我们周围有理性思维和感性思维两种人。理性思维的人思维严谨，逻辑清晰；感性思维的人思维发散，注重情感。这两种人在学习或运用数学知识时，会不自觉地把自身的思维特点带到舞台上。
数学来源于生活，同样也实践于生活。所以数学既是一门非常理性的课，同样也是一门非常感性的课。在数学上如何处理好感性与理性的关系，将直接反映着数学的本质问题。
理性思维的人讲得比较严谨，感性思维的人讲得比较形象。
人的思维可以分为两部分∶感性思维和理性思维。感性思维主要是靠自己的经验和直觉，去思考和判断。理性思维主要是靠已经掌握的科学的方法，去思考和判断。
感性思维活动包含：感觉、知觉、感性概念、本能思维倾向、习惯思维、联想、想象、情感活动、直觉、定量的度量、模糊的范畴思维、创造性思维。感性思维的特点是自然形成、敏感、自发产生、自动执行、孤立片面、分散并行。
理性思维包含：语言形式的概念、概念的分类、定性思维、范畴思维、逻辑隶属关系、因果推理、过程流程的思考和规划、数学与拓扑/集合/立体空间演算、色彩/旋律/布局的协调性、周期规律、清晰划界、语言组织和传播。特点是人为定义与划分、知识成体系性、形式化、可推理性、突出相互联系和相互制约关系、可传播性、可理解性。
理性思维与感性思维是相互衔接的，从感性过渡到理性，就像植物的根与冠并不是两个孤立的存在。动物也有感情，也会“喜怒哀乐”的感性表现，但绝对不会使用“演绎归纳”等理性思考方法。地球上只有一种生物具有理性思维的能力，这就是“人”。从感性思维到理性思维的进步，是地球上几十亿年来生物进化的最高结晶。就像人的两条腿，感性和理性是支撑思维的两大支柱，两者相互克制，缺少了哪一方面都不能构成完整的思维活动
感性思维在数学思维活动中的作用
美国著名教育家杜威曾说过：“一盎司经验胜过一吨理论”。经验是推动知识不断更新的，经验成为沟通学生已有的认知结构和新的数学学习活动的桥梁。数学经验是数学的感性认识，是在数学活动中积累的。
教育家陶行知曾做过一个很形象的比喻：每个人在学习时，要用自己的经验做“根”，以这经验所发生的的知识做“枝”，然后别人的知识才能接上去，别人的知识才能成为我们知识有机体的一个部分。
我们中学课堂学习更多体现在学生的实际操作和图形语言中。在直观操作中感知，建立丰富的表象，以此支撑符号语言的认知。因此，打开文字、符号、图形与动作语言的通道，从感性到理性，从形象到抽象，来培养思维的深刻性。
荷兰教育家弗赖登塔尔说：只要孩子没有对他的活动进行过反思，他就达不到高一层次。因此，学习过程中让学生及时反思，从感性到理性，把思维引向深刻。
笔者常常在课堂上给学生开辟“纠错小专家”“金话筒”“小老师”等平台，鼓励学生大胆表述自己解决问题的过程，让学生体会如何用上打比方、举例子、直观演示等手段，清晰表达自己的观点。“说”的过程暴露了学生思考的过程，思考被讲述之后内心变得更敞亮。
当下的教育在努力追求一种境界，那就是教给学生“带得走的东西”，而数学学习中“带得走的东西”，就包括学生忘掉具体数学知识以后，依然能从数学的视角去分析和研究问题的思维习惯，是一种植根于内心的数学素养和无需提醒的文化自觉，即:数学意识。
数学意识通常包括初步的符号意识、建模意识、数据分析意识、应用意识等。数学意识体现在日常生活的方方面面，可谓如影随形。
对于证明：0.999…… = 1。
对于只接触过“初等数学”的学生来说，显然，用感性思维去看待这是一个让人“无法接受”的结果，甚至于颠覆我们的认知，因为老师一直和我们说的是纯小数都比1小。先不看证明过程，至少有几个地方是值得我们怀疑的。
1）既然两个数相等，为何不用一个数表示，何必这么麻烦写那么多个9；
2）0.9的循环，小数点后面无论多少个9，总感觉比1差那么一点点。
但理性思维却又很多证明方法：
证明1（弗雷德·里奇曼(Fred Richman)）
我们可以利用已知的无限循环小数，如：0.333...，证明过程如下：
1 = (1/3) × 3
= (0.333...) × 3
= 0.999...
请问，你对上述证明过程，有疑问吗？
证明2（大卫·福斯特·华莱士(David Foster Wallace)）
设x = 0.999……，于是有：
10x = 9.999……，那么：
9x = 10x - x = 9.999…… - 0.999……=9
因此x = 1。
同样，请问，你对上述证明过程，有疑问吗？
证明3（欧拉(Leonhard Euler)，1770年）
注：此证明过程会用到高中或大学阶段“数列与极限”。
0.999……可以看成是首项a₁为0.9，公比q为0.1的等比数列：
a₁ = 0.9，a₂ = 0.09，a₃ = 0.009，……
上述数列的所有项之和，就是0.999……。
那么，我们根据等比数列的求和公式有：
0.999…… = a1/(1-q) = 0.9/(1-0.1) = 1
证明4（极限思维）
上述证明，用到了无限项数列求和。其实在高等数学中，更是有下面极限推导过程：
证明5（闭区间套理论）
1）给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中；
2）“0.999...”对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ...；
3）而所有这些区间的唯一交点就是 1，所以 0.999... = 1。
证明6（算术平均值）
如果0.999…和1不相等,则两者的算数平均值必然和这两者都不相等
(0.999…+1)/2=1.999…/2=0.999…
显然,只要“1.999…”后面的9无限添加下去,除以2后的商0.999…后面的9也会无限延伸。也就是说“0.999…”和1的算数平均值与他们自身相等。
因此：0.999… = 1。
证明7（消去法）
假如我们把“0.9999...”和“0.9999...”加起来，我们先考虑截取有效位小数以后这两个数的和：
0.9+0.9=1.80.99+0.99=1.980.999+0.999=1.998.....
对于小数点后的任意一位，在取足够多位的小数之后，总是会稳定为9，因此：
0.999...+0.999...=1.999...
同样地：
1+0.999...=1.999...
根据消去率，0.999...=1
此题证明源自于"知乎"作者“十一太保念技校”的回答。
请问，你对上述证明过程，有疑问吗？
证明8（阿基米德）
令0.999…=a, a要么大于1，要么小于1，要么等于1。因为a>1，这是不可能的，所以我们再看a<1的情况：
1）假设a<1，必定存在b，使得a
2）令k=1-b代入上式，于是得到1-a<1-b；
3）不等式移项处理后，得到：a>b，这跟假设“a
所以a<1不成立，故：a=1。
证明9（短除法）
我们用1去短除1，试商时，第一位试为0，如下图所示：
证明11（两式相减）
如下两式：
1）0.999999… × 10 =9.99999…2）0.999999… × 100=99.9999…
把它们相减，得：
0.999999…*90 = 90
所以：0.99999… = 1。
反思与感悟
《数学新课标》中提出：学生的数学学习内容应当是实现的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推测与交流等活动。内容的呈现应采用不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此数学教学要让学生在亲历中体验，在体验和反思中积累，让经验的“根”长的更深。
在传统的教学中，我们数学体现着非常理性的一面，知识的传授过程崇尚以掌握知识为主，注重的是结果。而新课程则更多地关注知识形成的过程，推崇数学感性的一面。
在数学教学中，把一个分析和处理问题的时间缩短是有效教学的一种策略，把一个问题拉长也是一种策略。缩短可能增加知识的容量，拉长可能提升学习的质量。课堂学习不仅要结论，更要引导学生用个性化的表达来展示思考过程。这个过程犹如登山，“转过一座山，绕过一道岭，眼前又是一座峰”，思维的过程中充满着探索，充满着期待，这种“智力的历险”恰是思维的一种深层次的“狂欢”。
根据数学其本身的特点和属性，我们可以从中看出，数学不光是一门非常理性的课，同时也是一门注重感性的课。在数学上对于感性与理性的融合就好比一男一女合演双人舞，只要一方发挥不好就难以演出精彩的舞蹈。
2014美国年度教师肖恩•麦考说：学生就像一棵树，成绩只是暴露在地表外的枝丫，思维模式才是深埋地下的树之根本。数学课堂，我们期待学生乐听、善思、能辨，这样的学习体验对于学生来说是深刻的。
老张教育新思享
实数的定义其实是通过序列的极限（有很多其它等价形式，例如区间套）来做的，所以不要把上面看成数而应该看成两个序列，它们都代表一这个实数。感性理解毛病在于不知道数的定义，把数和序列等同了。
俸旻
我是谁？谁是我？我从哪来，我将何往？
