壓桿：承受軸向壓縮的杆件。
工程實際中常見的壓桿，如內燃機中曲柄連桿機構、翻斗車翻斗的液壓起落架、桁架結構中的抗壓幹、建築中的立柱等。
壓桿穩定性計算主要解決以下三方面的問題：
1)穩定性校核；
2）選擇截面；
3）確定許用載荷。
注意：截面的局部削弱對整個杆件的穩定性影響不大，因此在穩定性計算中橫截面面積一般取毛面積計算。壓桿的折減係數φ（或柔度λ）受截面形狀和尺寸的影響，通常採用試算法求解。
一、壓桿的穩定條件
n=Fcr/F=nst
式中：
F一一壓桿的工作應力;
Fcr一一壓桿的臨界力；
nst一一規定的穩定安全係數。
常用零件的穩定安全係數參考值
常用零件
穩定安全係數nst
金屬結構中的壓桿
1.8~3.0
礦山、冶金設備中的壓桿
4~8
機床走刀絲桿
2.5~4
空壓機及內燃機連桿
3~8
水平長絲槓或精密絲槓
＞4
磨床油缸活塞桿
4~6
低速發動機挺杆
4~6
高速發動機挺杆
2~5
起重螺旋
3.5~5
拖拉機轉向縱、橫推杆
＞5
鑄鐵
4.5~5.5
木材
2.5~3.5
注：除鑄鐵和木材外其餘均為鋼製杆。
注：
通常穩定安全係數高於強度安全係數。這是因為一些難於避免的因素，如杆件軸線不絕對平直（初彎曲），壓力偏心，材料不均勻和支座缺陷等，都將嚴重地影響著壓桿的穩定性。
壓桿橫截面如有局部削弱（如螺栓孔、鉚釘孔等），在計算其臨界力時仍用毛面積，因為局部削弱對臨界力的影響很小。但在作強度校核時仍需採用削弱後的淨面積。
二、壓桿的臨界力計算
如上圖所示的兩端鉸支的細長杆件。假設壓力與杆件軸向重合，當施加的壓力逐漸增加，但小於某一臨界值時，壓桿已知保持其直線形狀的平衡。此時如在微小的干擾力作用下，將發生微小的彎曲變形，如圖a，擾動去除後，能夠恢復到原來的直線形狀，如圖b，則稱原來的直線形狀的平衡是穩定的。當施加的壓力大於某一臨界值，在微小的干擾作用下，將發生微小的彎曲變形，將干擾除去後，它將保持彎曲狀態的平衡，不能恢復到原來的直線狀態，則稱原來的直線平衡是不穩定的。上述壓力臨界值，稱為臨界壓力或臨界力，用Fcr來表示。
不同約束的壓桿的臨界壓力錶達式統一表達為：
式中：
μ一一長度係數，反映不同約束情況對臨界應力的影響，
長度係數μ的取值：兩端鉸支，取μ=1；一端固定、另一端鉸支，取μ=0.7;兩端固定，取μ=0.5；一端固定、另一端自由，取μ=2；
l一一杆件長度；
μl一一相當長度。
1)兩端鉸支長為l的細長壓桿，
其臨界力公式：
式中：
E一一壓桿材料的拉壓彈性模量；
I一一壓桿兩端為球鉸支座時，壓桿橫截面的最小軸慣性矩。
上式稱為臨界載荷的歐拉公式，該載荷又稱為歐拉臨界載荷。
2)一端固定、另一端自由，長為l的壓桿，臨界力，應等於兩端鉸支，長為2l的壓桿的臨界力。
臨界力大小為：
3）兩端固定, 長為l的細長壓桿
其臨界力為：
3）一端固定，另一端鉸支長為l的壓桿
其臨界力為：
4）一端固定，另一端可以平動，但不能轉動長為l的壓桿壓桿。
其臨界力（與兩端鉸支相同）為：
三、計算壓桿的柔度：
根據應力公式：
用臨界壓力Fcr除以壓桿的橫截面面積A，所得到的應力稱為壓桿的臨界應力，用σcr表示，即：
則壓桿的臨界應力表達式可改寫為：
又令
則有
式中：λ是一個量綱為1的量，稱為柔度或長細比。柔度集中反映了杆件杆長約束情況、截面形狀和尺寸等對臨界應力的綜合影響。且由上式可知，柔度越大，臨界應力越小，壓桿越容易失穩。
歐拉公式的適用範圍是隻有當壓桿中的應力不大於材料的比例極限σp，即
則只有當λ＞λp時，歐拉公式才成立。
把λ＞λp的杆稱為大柔度杆或細長杆。λp取決於壓桿材料的彈性模量E和比例極限σp。
歐拉公式只適用於大柔度杆。
若柔度較小的杆（λ≤λs），即長度短且截面尺寸大的杆，稱為小柔度杆或粗短杆。由於柔度很小不致於失穩，所以它的破壞形式主要是強度不足，因此，臨界應力為σcr=σs（塑性材料:屈服極限σs）或σcr=σb（脆性材料：強度極限σb）。
若柔度在λs≤λ≤λp的壓桿，稱為中柔度杆或中長杆。通常採用經驗直線公式（雅辛斯基公式）計算。
式中：a和b是與材料性質有關的常數，參見下表。
常用材料的相關參數
材料
a/MPa
b/MPa
λp
λs
Q235鋼
304
1.2或1.12
100
60
優質碳鋼
461
2.57
100
60
鉻錳鋼
980
5.29
55
-
鑄鐵
332
1.45
80
-
硬鋁
372
2.14
50
-
木材
28.7
0.19
110
-
由上式可知，當材料為塑性材料時，最大的應力為σs，所以可得
臨界應力總圖反映了臨界應力σcr隨壓桿柔度λ變化的情況。
總結：
四、橫截面的慣性矩（也叫截面二次矩、二次軸矩）計算
（注意區分：靜矩也叫一次矩；慣性矩也叫二次矩；靜矩可用於求形心座標）
如上圖所示，在平面圖形上取一微面積dA，dA於其座標平方的乘積y^2dA、z^2dA分別稱為該微面積dA對z軸和y軸的慣性矩，它們在整個圖形範圍內的定積分分別稱為整個平面圖形對z軸和y軸的慣性矩（截面二次矩）。
微面積dA與它到座標原點的距離的平方的乘積ρ^2dA，在整個圖形範圍內的定積分稱為平面圖形對座標原點的極慣性矩。
由上圖可知，ρ^2=y^2+z^2，所以，
該式表示平面圖形對於位於圖形平面內某點的任一對相互垂直座標軸的慣性矩之和是一常量，恆等於它對該點的極慣性矩。
工程實際中，常將圖形對某軸的慣性矩表示為圖形面積與某一長度平方的乘積，即
式中：
iz、iy一一分別稱為平面圖形對z軸和y軸的慣性半徑，常用單位為米（m）或毫米（mm）。
常見幾何截面的慣性矩（更多內容參見相關資料）
（1）圖形：
慣性矩：
抗彎截面係數：
慣性半徑:
（2）圖形：
慣性矩：
抗彎截面係數：
慣性半徑：
（3）圖形：
慣性矩：
抗彎截面係數：
慣性半徑：
（4）圖形：
慣性矩：
抗彎截面係數：
慣性半徑：
（5）圖形：
慣性矩：
抗彎截面係數：
慣性半徑：
不巧的是，工程實際中有許多梁的截面形狀比較複雜，但是，這些複雜的截面形狀可分解為幾個簡單圖形的組合。組合圖形對z軸的慣性矩（截面二次矩）等於各組成部分對z軸的慣性矩的代數和。
一般情況下，中性軸z不可能通過各個組成部分的形心，因此計算時需要用到平形移軸公式。
平形移軸定理：截面對任一軸的慣性矩等於它對平行於該軸的形心軸的慣性矩，加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。
注：
1）中性軸:
由彎曲變形的平面假設可知，梁的橫截面在變形後仍保持為平面，並垂直於變形後的軸線，只是繞截面內的某一軸線旋轉了一個角度。設想梁是由無數層縱向纖維組成，可知由於變形的連續性，由凹入側纖維的縮短，連續地改變為凸出側的伸長，中間必定有一層纖維的長度不變，這一層稱為中性層。中性層與橫截面的交線，稱為該橫截面的中性軸。（梁彎曲時，橫截面就是繞著中心軸轉動的。）
2）中性軸過形心。
3）圖形的形心座標公式：
靜矩
如圖所示，在平面圖形上取一微面積dA，dA於其座標的乘積ydA、zdA分別稱為該微面積dA對z軸和y軸的靜矩，它們在整個圖形範圍內的定積分分別稱為整個平面圖形對z軸和y軸的靜矩（也叫一次矩）。
形心座標
均質板的重心和形心重合，由靜力學力矩定理可知，均質薄板的重心座標公式為：
因為整個圖形對某軸的靜矩，等於圖形各部分對同一軸靜矩的代數和，所以組合圖形的形心座標：
值得注意的是：
（1）靜矩
①同一截面對於不同的座標軸，其靜矩也不同；
②靜矩之值可正、可負，也可為零；
③靜矩的國際單位制為m^3、mm^3等。
（2）形心位置
①某一截面對某一軸的靜矩等於零，則該軸必通過截面的形心，反之截面對於通過形心的軸的靜矩必等於零；
②截面各組成部分對某一軸的靜矩之代數和就等於該截面對同一軸的靜矩。
（3）慣性矩、慣性積和慣性半徑
①同一截面對不同座標軸的慣性矩或慣性積都隨座標軸位置的不同而不同；
②慣性矩之值恆為正；
③慣性積之值可正、可負，也可為零；
④只要截面具有一個對稱軸，則對於包括此軸在內的座標軸x、y的慣性積Ixy就恆等於零。
物體的重心、質心和形心概念
重心:
物體的重力即為地球對它的吸引力。物體的重力分佈於各質點上，且為鉛垂向下的平行力系。而重力就是重力系的合力，重力系的重心稱為物體的重心。
質心：
在地球表面，物體上各點的重力加速度不變。
形心：
均質物體的形心位置與密度無關，它是一個完全由物體的幾何形狀所決定的一個幾何點，這樣的點稱為物體的形心，對均質物體，其重心、質心和形心重合。
慣性矩&靜矩計算示例：
例1、求下圖圓平面對y、z軸的慣性矩。
解：
建立y0z座標系，取微元面積dA=2zdA，則:
例2、求矩形對對稱軸y、z的慣性矩。
解：
例3、試確定下圖的形心C的位置。
解：
五、壓桿的穩定性計算
對於大柔度杆的臨界應力可以按歐拉公式計算，中柔度杆的臨界應力可以按直線經驗公式計算，小柔度杆的臨界應力等於其屈服應力。由公式
可得出各類杆件的臨界壓力。把臨界壓力Fcr與工作壓力F的比值稱為工作安全係數，用n來表示，它應該大於規定的穩定安全係數nst，即
穩定許用安全係數的選取，一般應大於強度安全係數。
六、壓桿的穩定性計算實例
壓桿長度（μl）計算（相當長度）：
兩端鉸支取L;兩端固定取0.5L；一端固定、另一端鉸支取0.7L；一端固定、另一端自由取2L。
計算示例：
例1、如下圖所示是平面磨床液壓傳動裝置示意圖。活塞直徑D=0.065m，油壓p=1.2MPa。活塞桿長度l=1.25m，材料為45鋼，σp=280MPa，彈性模量E=210GPa，安全係數nst=6。求活塞桿的直徑。
解：
1）軸向壓力計算
2）臨界壓力計算
3）活塞桿柔度計算(μ為長度係數，μl為相當長度)（初選直徑d=0.025m）
對45號鋼
因為，λ＞λp，滿足歐拉公式的條件。
4）確定活塞桿的直徑（相當於兩端鉸接）
最小慣性矩：
例2、一端固定、一端自由的矩形截面鋼柱，長度l=1.5m，截面尺寸為50mmx80mm，鋼的彈性模量E=200GPa，比例極限σp=250MPa。試求此鋼柱的臨界力。
解：
1）計算橫截面的最小慣性矩
2）最小慣性半徑為
3）鋼柱的柔度為
而
所以，λ≥λp,
此鋼柱屬於大柔度杆（細長杆）。
4）臨界力為
例3、衝頭簡化結構如下圖，衝頭由優質碳鋼製成，衝床最大沖裁力為F=400kN，衝頭的直徑為衝裁的最小孔內徑d=35mm，衝頭長度為L=300mm，試校核其穩定性。
解：
1）由材料性能可知（查表）
λp=100，λs=60,a=461MPa,b=2.57MPa
2）計算杆件的柔度（一端固定、另一端自由）
3）判斷杆的類型
故該杆件為中柔度杆
4）計算臨界載荷（按經驗公式，直線公式（還有拋物線公式））
5）穩定性校核
可見，衝頭設計是不合理的，應該減小衝頭的長度，以增強其在衝裁鋼板時的穩定性。
例4、如下圖所示托架結構，已知托架D處承受載荷F=10kN。AB杆外徑D=50mm，內徑d=40mm，材料為Q235鋼，彈性模量E=200GPa。λp=100，安全係數[nst]=3。校核AB杆的穩定性。
解：
受力分析如下圖所示
1)取CD梁為研究對象
解得
因此，AB杆為大柔度杆（滿足歐拉公式使用條件）
所以，AB杆滿足穩定性要求。
例5、如下圖所示細長壓桿，一端固定另一端自由。已知其材料彈性模量E=10GPa，長度l=2m。試求①h=160mm，b=90mm和②h=b=120mm兩種情況下壓桿的臨界壓力。
解：
1）計算①情況下的臨界力截面對y，z軸的慣性矩分別為：
由於Iy＜Iz，所以壓桿必然繞y軸彎曲失穩，因此最小截面慣性矩為Iy。
根據壓桿的類型可知，杆端約束取μ=2，即：
2）計算②情況下的臨界壓力，截面對y，z軸的慣性矩相等，均為
由計算結果可知，兩種壓桿的材料用量相同，但情況②的臨界力是情況①的1.78倍，很顯然，杆件合理截面形狀是提高杆件穩定性的措施之一。
例6、如下圖所示為一曲柄滑塊機構的連桿（正視圖和俯視圖）。已知連桿材料為Q235鋼，連桿承受軸向壓力為100kN，穩定安全係數nst=3，試校核連桿的穩定性。
解：
1）計算杆件柔度
由於連桿在不同平面內的約束條件不同，因此必須計算兩個方向的柔度。
如果連桿在xy平面內失穩，連桿兩端可視為鉸支座，長度係數μ=1。此時中性軸為z軸，慣性半徑為
則柔度為
如果連桿在xz平面內失穩，連桿兩端可視為固定端，長度係數μ=0.5。此時中性軸為y軸，慣性半徑為
柔度為
由於λy＞λz，故壓桿在xy平面內的穩定性大於在xz平面內的穩定性。所以應以λy計算臨界壓力和臨界應力。
2）臨界壓力計算
對於Q235鋼製的壓桿，其極限柔度λp=100，λs=61.6，
λs＜λ＜λp，故壓桿為中柔度杆，用經驗公式計算臨界應力
查表可知a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有
臨界壓力為
4）討論
由於λy≠λz，連桿在兩個平面內的穩定性不相等。欲使連桿在xy和xz兩個平面內的穩定性相等。則必須有λy＝λz，即
上式表面，欲使連桿在兩個平面內的穩定性相等，在設計截面時，應保持Iz≈4Iy，對於本例中的矩形截面，則須有
則
h≈2b
此時，可保證連桿在兩個平面內的穩定性相等。
例7、如下圖所示結構，梁AB為No.14普通熱軋工字鋼，CD為圓截面杆，其直徑為d=20mm，二者材料均為Q235鋼。結構受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，σs=235MPa。強度安全因數ns=1.45，穩定安全因數nst=1.8。試校核此結構是否安全？
解：
在給定的結構中共有兩個構件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬於強度問題；杆CD承受壓縮載荷，屬於穩定問題。現分別校核如下：
1）大梁AB的強度校核
大梁AB在截面C處彎矩最大，該處截面為危險截面，該截面的彎矩和軸力分別為：
Q235鋼的許用應力為
σmax略大於[σ]，但並沒有超出許用應力的5%，工程上仍認為是安全的。
2）壓桿CD的穩定性校核
由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力
因為是圓截面杆，故慣性半徑為
又因為兩端為球鉸約束，長度係數取μ=1，所以杆件的柔度為
這表明，壓桿CD為非細長杆，採用線性公式計算其臨界應力
於是，壓桿的工作安全因素為
這一結果說明，壓桿的穩定性是安全的。
例8、如下圖所示，一壓桿由兩個等邊角鋼（140x140x12）組成，用直徑d=25mm的鉚釘聯接成一個整體。杆長l=3m，兩端鉸支，承受軸向壓力F=700kN。壓桿材料為Q235鋼，許用應力[σ]=100MPa，穩定安全係數nst=2。試校核壓桿的穩定性及強度。
解：
1）計算壓桿柔度
由於截面為組合截面，因此必須分析截面對y和z軸的慣性矩。
查型鋼表可得單根角鋼截面幾何性質為：
由於Iz＜Iy，因此截面將繞中性軸z軸轉動，此時最小慣性半徑為iz，則
所以壓桿為中柔度杆。
2）穩定性校核
由直線公式得臨界應力為
故滿足穩定條件。
3）強度校核
由於有局部削弱，因此進行強度校核時，必須考慮削弱對強度的影響，削弱後的截面面積為
4）討論
由以上計算分析可見，壓桿有局部削弱時，在滿足穩定條件的同時，強度條件可能不滿足。因此，有局部削弱時，在進行穩定校核的同時要進行強度校核。工程實際中，應儘量避免對壓桿的局部削弱，以免引起強度不足。
七、提高壓桿穩定性的措施
歐拉公式
由歐拉公式可知，臨界壓力越大，杆件越穩定。
1）減小壓桿長度l；
2）減小長度係數μ（增強約束）;
由公式
可知，柔度λ值與長度係數μ、杆長l成正比。因此可以從以下幾個方面考慮：
①改善支承情況。μ值越小，杆件越不容易失穩，它的臨界力就越大，因此採用μ值較小的支座形式可以提高壓桿失穩的能力。
儘可能地採用兩端為固定支座的形式，改善約束條件。
兩端鉸支的細長杆，變成兩端固定約束，其臨界載荷將顯著增加（臨界壓力提高3倍，穩定性明顯提高）。
②儘可能減少壓桿長度。由於l越小，λ值越小，故此法也是增強壓桿穩定性的一種有效措施。
根據實際情況恰當合理地增設中間約束，以“縮短杆長”。
若在兩端鉸支細長壓桿的中間增加一個鉸支座，則臨界壓力同樣可提高3倍，穩定性也能明顯提高。
一般來說，增加壓桿的約束，使其不容易發生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩定性。
3）增大截面慣性矩I（合理選擇截面形狀）;
當壓桿在各個方向上具有相同的約束時，它的失穩總是發生在最小剛度平面內。在這種情況下，臨界力將隨著橫截面的最小慣性半徑的加大而增加，又因為
可見，在橫截面一定的前提下，截面軸慣性矩I越大，則壓桿抗失穩能力越大。
①使用空心圓截面的壓桿要比實心圓截面的壓桿經濟、有利；
②儘量設計各個方向上的慣性矩I都趨向於相等的截面；
③與約束條件配合起來，使壓桿在互相垂直的兩個方向上的柔度λ相等，這種設計叫做等穩定性設計。
4）增大材料彈性模量E（合理選擇材料）。
由公式
可知，臨界載荷與材料的彈性模量E是正比關係，因此在提高壓桿穩定性措施時，應考慮選擇合理的材料。
但對於鋼材，由於彈性模量E值相差不大（1.9~2.2）x10^6kg/cm^2，因此細長杆選用高強度鋼或合金鋼是不經濟的，使用普通碳鋼才較為經濟。
對於其他材料，我們可通過分析E值來確定材料的使用是否經濟。
微信公眾號：非標機械設計學習分享
網站：非標機械設計學習分享網（http://fbjxsjxxfx.cn/）
