數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

軸對稱變換與等腰三角形具有密切的關係,這是因為等腰三角形本身是軸對稱圖形,而以對稱軸上任何一點與對稱兩點為頂點的三角形是等腰三角形.因此,在等腰三角形條件下要注意發揮軸對稱性的作用;在進行軸對稱變換中要注意發現和利用等腰三角形的性質.請看:

例1 如圖1,△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD是∠B的平分線.

求證:AD+BD=BC.

數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

分析與解:由於角平分線是角的對稱軸,而BD是∠B的平分線,故作點A關於BD的對稱點E,則點E落在BC上.

連接DE,則△ABD與△EBD關於BD對稱,

所以AD=DE,∠DEB=∠A=100°,

所以∠DEC=80°.

由AB=AC及∠A=100°,得∠C=40°,

所以∠EDC=60°.

在∠CDE內部作∠CDF=40°,DF交CE於F,

則∠DFE=80°=∠DEF,

從而DE=DF=CF;

又易知∠BDF=80°=∠BFD,

從而BD=BF,

所以AD+BD=CF+BF=BC.

例2 如圖2,已知等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分線交AC於D.

求證:AB+AD=BC.

數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

分析與解:由於角平分線是角的對稱軸,而BD是角平分線,故將△ABD沿BD翻折到△EBD,

則點E在BC上,AB=BE,AD=DE,∠BED=∠A=90°.

接下來只須證明CE=AD.

由∠DEC=90°,∠C=45°,

得∠EDC=45°,

所以∠EDC=∠C,CE=DE=AD,

所以AB+AD=BE+CE=BC.

例3 如圖3,△ABC中,∠ABC=2∠A,CD是高.

求證:BC+BD=AD.

數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

分析與解:考慮到CD是高,將△ACD沿CD翻折180°到△ECD,

則E落在AB的延長線上,且AD=DE,∠A=∠E,

又∠ABC=2∠A,

所以∠ABC=2∠E=∠BCE+∠E,

所以∠BCE=∠E,

所以BC=BE,

所以BC+BD=BE+BD=DE=AD.

例4 如圖4,△ABC中,∠ABC=2∠C,AD是高,M是BC的中點.求證:DM=AB/2.

數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

分析與解:考慮到AD是高,將△ACD沿AD翻折180°到△AED,

則E落在AB的延長線上,且CD=DE,∠C=∠E,

又∠ABC=2∠C,

所以∠ABC=2∠E,

又∠ABC=∠E+∠BAE,

所以∠BAE=∠E,

所以AB=BE.

因為CM=BM,

所以CD-CM=DE-BM,

即DM=(DB+BE)-(DM+DB)

=(DB+AB)-(DM+DB)

=AB-DM,

所以2DM=AB,DM=AB/2.

例5(2012甘肅蘭州市中考題)如圖2,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一個點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數為( )

A.130° B.120° C.110° D.100°

數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

分析與解:欲求∠AMN+∠ANM的度數,關鍵在於確定點M、N的位置.

由於M、N的位置使得△AMN周長最小,

即MA+MN+NA最小,

分別作點A關於BC的對稱點E,點A關於CD的對稱點F,

連接EF分別交BC於M,交CD於N.

則MA=ME,NA=NF,

從而△AMN的周長

=MA+MN+NA=ME+MN+NF,

問題轉化為:分別在BC、CD上確定點M、N,使得ME+MN+NF最小.

由於E、F是定點,當M、N都在直線E、F上時,

ME+MN+NF=EF為最小,

因此,連接EF,分別交BC、CD於M、N,

這就是M、N的位置.

此時,∠MAE=∠E,∠NAF=∠F,

所以∠AMN=2∠E,∠ANM=2∠F,

所以∠AMN+∠ANM=2(∠E+∠F)

=2(180°-∠BAD)

=2(180°-120°)=120°.

選B.

例6 如圖6,等腰△ABC中,AB=AC,AD是高.分別在AD和AC上求作一點P和Q,使得PQ+PC最小.

數學培優——軸對稱變換與等腰三角形

分析與解:由於AD是△ABC的對稱軸,點B、C關於AD對稱,

故先把點C變換到點B,即連接PB,

則PB=PC,從而PQ+PC=PQ+PB≥BQ,

因此,問題轉化為確定P、Q的位置,使得BQ最小.

由於Q是AC上的動點,根據“垂線段最短”可知,

過點B作AC的垂線交AC於一點,

該點就是所求作的點Q(即作AC上的高),

BQ與AD的交點就是點P的位置.



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