數學培優——軸對稱變換與等腰三角形
軸對稱變換與等腰三角形具有密切的關係，這是因為等腰三角形本身是軸對稱圖形，而以對稱軸上任何一點與對稱兩點為頂點的三角形是等腰三角形．因此，在等腰三角形條件下要注意發揮軸對稱性的作用；在進行軸對稱變換中要注意發現和利用等腰三角形的性質．請看：
例1 如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠B的平分線.
求證：AD＋BD＝BC．
分析與解：由於角平分線是角的對稱軸，而BD是∠B的平分線，故作點A關於BD的對稱點E，則點E落在BC上.
連接DE，則△ABD與△EBD關於BD對稱，
所以AD＝DE，∠DEB＝∠A＝100°，
所以∠DEC＝80°．
由AB＝AC及∠A＝100°，得∠C＝40°，
所以∠EDC＝60°．
在∠CDE內部作∠CDF＝40°，DF交CE於F，
則∠DFE＝80°＝∠DEF，
從而DE＝DF＝CF；
又易知∠BDF＝80°＝∠BFD，
從而BD＝BF，
所以AD＋BD＝CF＋BF＝BC．
例2 如圖2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分線交AC於D.
求證：AB＋AD＝BC.
分析與解：由於角平分線是角的對稱軸，而BD是角平分線，故將△ABD沿BD翻折到△EBD，
則點E在BC上，AB＝BE，AD＝DE，∠BED＝∠A＝90°.
接下來只須證明CE＝AD.
由∠DEC＝90°，∠C＝45°，
得∠EDC＝45°，
所以∠EDC＝∠C，CE＝DE＝AD，
所以AB＋AD＝BE＋CE＝BC.
例3 如圖3，△ABC中，∠ABC＝2∠A，CD是高．
求證：BC＋BD＝AD．
分析與解：考慮到CD是高，將△ACD沿CD翻折180°到△ECD，
則E落在AB的延長線上，且AD＝DE，∠A＝∠E，
又∠ABC＝2∠A，
所以∠ABC＝2∠E＝∠BCE＋∠E，
所以∠BCE＝∠E，
所以BC＝BE，
所以BC＋BD＝BE＋BD＝DE＝AD．
例4 如圖4，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD是高，M是BC的中點．求證：DM＝AB/2．
分析與解：考慮到AD是高，將△ACD沿AD翻折180°到△AED，
則E落在AB的延長線上，且CD＝DE，∠C＝∠E，
又∠ABC＝2∠C，
所以∠ABC＝2∠E，
又∠ABC＝∠E＋∠BAE，
所以∠BAE＝∠E，
所以AB＝BE．
因為CM＝BM，
所以CD－CM＝DE－BM，
即DM＝（DB＋BE）－（DM＋DB）
＝（DB＋AB）－（DM＋DB）
＝AB－DM，
所以2DM＝AB，DM＝AB/2．
例5（2012甘肅蘭州市中考題）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一個點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
分析與解：欲求∠AMN＋∠ANM的度數，關鍵在於確定點M、N的位置．
由於M、N的位置使得△AMN周長最小，
即MA＋MN＋NA最小，
分別作點A關於BC的對稱點E，點A關於CD的對稱點F，
連接EF分別交BC於M，交CD於N．
則MA＝ME，NA＝NF，
從而△AMN的周長
＝MA＋MN＋NA＝ME＋MN＋NF，
問題轉化為：分別在BC、CD上確定點M、N，使得ME＋MN＋NF最小．
由於E、F是定點，當M、N都在直線E、F上時，
ME＋MN＋NF＝EF為最小，
因此，連接EF，分別交BC、CD於M、N，
這就是M、N的位置．
此時，∠MAE＝∠E，∠NAF＝∠F，
所以∠AMN＝2∠E，∠ANM＝2∠F，
所以∠AMN＋∠ANM＝2（∠E＋∠F）
＝2（180°－∠BAD）
＝2（180°－120°）＝120°．
選B．
例6 如圖6，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是高.分別在AD和AC上求作一點P和Q，使得PQ＋PC最小.
分析與解：由於AD是△ABC的對稱軸，點B、C關於AD對稱，
故先把點C變換到點B，即連接PB，
則PB＝PC，從而PQ＋PC＝PQ＋PB≥BQ，
因此，問題轉化為確定P、Q的位置，使得BQ最小.
由於Q是AC上的動點，根據“垂線段最短”可知，
過點B作AC的垂線交AC於一點，
該點就是所求作的點Q（即作AC上的高），
BQ與AD的交點就是點P的位置.
