自从导数相关知识内容进入高中数学课本以来，如何应用导数有关知识去解决函数的性质(如单调性、极值、最值)、实际应用问题、切线有关等问题，逐渐成为历年高考数学的热点之一，深受高考数学命题老师的青睐。
函数作为中学数学重要知识内容之一，可以说贯穿整个数学学习，导数的引入，给我们多了一种解决问题的办法，成为解决实际问题强有力的工具。
在高考数学中，导数与函数相关的题型较为丰富，解法灵活，也容易“混乱”，这就造成很多学生在解决问题过程中出现一些偏差，致使解题失误，最终丢失分数。
因此，为了能更好帮助大家学好导数与函数这一重要知识内容，今天我们就一起来讲讲如何应用导数有关知识去解决函数的单调性。
在导数没有引入高中数学课本之前，我们解决函数的单调性，一般是利用单调性定义和函数图象本身去求单调性。按照这种“老方法”解决问题，有它的好处，但遇见一些复杂的函数，很可能就无法利用单调性的定义去顺利解决问题，如计算难度太大，无法画出图象等等。
因此，当我们应用导数这一工具去解决函数单调性问题，会发现一些难题变得“简单”，使问题得到顺利解决。首先我们一起来看看，应用导数如何去判断函数的单调性。
函数的单调性：
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
1、f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．
2、f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．
高考数学，导数与函数的单调性，典型例题分析1：
已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
通过这样的一道典型例题，我们可以进一步得到求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
1、确定函数f(x)的定义域；
2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；
3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
高考数学，导数与函数的单调性，典型例题分析2：
已知函数f(x)＝－2xln x＋x2－2ax＋a2，其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；
(2)证明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．
解：(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
g(x)＝f′(x)＝2(x－1－ln x－a)，
所以g′(x)＝2－2/x＝2（x－1）/x.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
(2)证明：由f′(x)＝2(x－1－ln x－a)＝0，
解得a＝x－1－ln x.
令φ(x)＝－2xln x＋x2－2x(x－1－ln x)＋(x－1－ln x)2
＝(1＋ln x)2－2xln x，
则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0，
于是，存在x0∈(1，e)，使得φ(x0)＝0.
令a0＝x0－1－ln x0＝u(x0)，
其中u(x)＝x－1－ln x(x≥1)．
由u′(x)＝1－1/x≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故0＝u(1) 即a0∈(0,1)． 当a＝a0时，有f′(x0)＝0，f(x0)＝φ(x0)＝0. 再由(1)知，f′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x∈(1，x0)时，f′(x)<0，从而f(x)>f(x0)＝0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而f(x)>f(x0)＝0； 又当x∈(0,1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xln x>0. 故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0. 综上所述，存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，
且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．
导数作为一种重要的数学知识内容，学好导数，用好导数，在我们解决函数有关的问题时候，可以为我们带来极大的便利，提高解题效率。
同时，函数的单调性是最常考的函数性质之一，可以说是历年高考数学的必考热点，我们利用导数的符号来判断函数的单调性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。
因此，我们一定要熟记用导数法判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：
1、求f '(x)；
2、确定f '(x)在(a，b)内的符号；
3、作出结论，依据是f '(x)>0时为增函数; f '(x)<0时为减函数。
特别要注意的是，我们在研究含参数的函数的单调性时，很多时候需要注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论。
下面简单介绍一下利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路：
1、由可导函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)可知f '(x)≥0(f '(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，进而列出不等式.
2、利用分离参数法求解恒成立问题.
3、对等号是否成立进行单独检验，检验参数的取值能否使f '(x)在整个区
间上(或该区间的子区间上)恒等于0，若f '(x)恒等于0，则参数的这个值应
舍去;若只有在个别点(有限点)处有f '(x)=0，则参数可取这个值.
高考数学，导数与函数的单调性，典型例题分析3：
已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2/2+2x,a≠0.若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
解：∵h(x)=ln x-ax2/2-2x,x∈(0,+∞),
∴h'(x)=1/x-ax-2.
∵h(x)在[1,4]上单调递减,
∴当x∈[1,4]时,h'(x)=1/x-ax-2≤0恒成立,
即a≥1/x2－2/x恒成立,令G(x)=1/x2－2/x,
则a≥G(x)max,G(x)=（1/x－1）2-1.
∵x∈[1,4],所以1/x∈[1/4,1],
∴G(x)max=-7/16(此时x=4),
∴a≥-7/16.
利用导数去求解函数单调性，可以使问题变得既简便又有效，简洁解题方法的出现也可以调动学生的学习兴趣，加深大家对数学知识的理解和消化，通过一题多解，多种解题方法相互交叉应用，可以培养学生思维能力，提高学习效率。
最后记住利用导数求函数的单调区间的两个方法，方法一:
1、确定函数y=f(x)的定义域；
2、求导数y'=f '(x)；
3、解不等式f '(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
4、解不等式f '(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。
值得注意：写单调区间时，同增(减)区间不能用“∪”连接。
利用导数求函数的单调区间方法二:
1、确定函数y=f(x)的定义域；
2、求导数y'=f '(x)，令f '(x)=0，解此方程，求出在定义域内的一切根；
3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)和上面所求的各根按由小到
大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
4、确定f '(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个区间内的单
调性。
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