库默尔在算术上的后继者应该就是本文的主角--德国数学家--戴德金了。和库默尔一样，戴德金也很长寿，并且跟库默尔最后10年完全隐居不同，戴德金可以说是工作到了最后一刻。正如朗道说的：戴德金是一个伟大时代的最后一位英雄。诚然，19世纪是数学大爆发的一个世纪，是创造精神和严格精神高度发扬的时代，它在继承了17、18世纪数学成就的基础上，又发展出了更多、更辉煌的成果。
尤里乌斯·威廉·里夏德·戴德金
不伦瑞克
戴德金的研究领域十分广泛，与最广义的数的范畴都有紧密的联系，他最伟大的两项成就是：无理数理论和代数数。我们先来说第一个：无理数理论。我们在《第一次数学危机》中提到过，古希腊时候，毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现了第一个无理数，由于触犯了学派的宗旨，被投入到地中海中淹死了，但是无理数的问题本身并没有得到解决。如何来形容无理数，一直没有一个明确的定义。戴德金从连续性的要求出发，用有理数的"分割"来定义无理数，即"戴德金分割"。把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为"无理"的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。所谓的"戴德金分割"是指将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一个元素小于集合A'中的每一个元素。集合A称为划分的下组，集合A'称为划分的上组，并将这种划分记成A|A'。戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割。
戴德金的另一个贡献在代数数方面。他研究过任意域、环、群、结构及模等问题，并在授课时率先引入了环（域）的概念，并给理想子环下了一般定义，提出了能和自己的真子集建立一对应的集合是无穷集的思想。在研究理想子环理论过程中，他将序集（置换群）的概念用抽象群的概念来取代，并且用一种比较普通的公式（戴德金分割概念）表示出来，比康托尔的公式要简化得多，并直接影响了后来皮亚诺的自然数公理的诞生。是最早对实数理论提出了许多论据的数学家之一。
戴德金完全是高斯式的数学家，他总是依靠自己的头脑，而不是巧妙的符号表示和对公式的熟练运用来使自己前进的，戴德金是那种喜欢把概念放入数学的人，他喜欢创造性思想胜于枯燥无味的符号，因为数学存在得越久，就会变得越抽象，也越实际。
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