春秋戰國之前，有個諸侯國叫杞國。有一個杞國人總是擔心天會掉下來，便有人勸他：
“天，積氣耳，亡處亡氣。若屈伸呼吸，終日在天中行止，奈何憂崩墜乎？”
這個杞國人聽後轉念一想，既然天是“氣”的一部分（注意這裡的“氣”並非指氣體，而是一種古代的哲學思想），那麼怎麼保證星星不能砸下來呢？那人又說：
“日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷。”
不少讀者看到這裡都明白了，這就是杞人憂天的故事，它被記載到了《列子》當中。在今天，這個成語被用來諷刺那些毫無依據的瞎操心。
杞人憂天。圖片來自網絡
不過由於古代科學不發達，對於 “日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷” 這種過時的解釋，在今天看來是站不住腳的。現代天文學告訴我們，古人眼中的“星宿”表面溫度至少有幾千度以上，質量至少有太陽那麼大（僅限於肉眼能觀察到的），如果它真有掉下來的一天，還真就成為世界末日了。
也許有人會說，恆星那麼遠，宇宙又那麼大，它總不能閒著沒事幹就非得往地球這個方向飛吧？天涯何處無芳草啊！
恆星和地球距離都很遠，不會無緣無故來撞地球
不僅如此，地球的活動還滿足非常穩定的週期性規律——晝夜交替四季變更，這些規律自古以來就不曾改變。無論公轉還是自轉，太陽系的八大行星都能嚴格尊守自己的崗位，任宇宙之海再怎麼洶湧澎湃，依舊雷打不動。這一切都要歸功於太陽系的穩定性，正是這種穩定性造就了地球得天獨厚的環境，也使得地球不會脫離太陽系的懷抱。
看過劉慈欣《三體》這部小說的讀者應該更能感受到這種穩定性的當知不易——封閉的三體系統是一個混沌系統（混沌系統另一個例子是蝴蝶效應，可參考小編的《混沌理論到底是什麼——從蝴蝶效應出發》一文），也就是說，很小的擾動就可能對這個系統的長期運動規律產生天翻地覆、難以預測的影響。
太陽系有八大行星，還有多顆矮行星（質量介於行星和小行星之間）、無數小行星甚至軌道離心率很大的彗星，情況遠比三體系統複雜得多。但這個複雜的系統居然會如此的穩定，令人不得不對大自然心生敬意。
穩定的太陽系
那麼太陽系為什麼那麼穩定呢？事實上這是一個非常複雜的數學問題。為了加深讀者們的理解，我們先來看看三體問題為什麼不穩定。
一、不靠譜的三體系統
《三體》這部小說（僅限第一部）主要講述了“三體人”的故事。三體人的文明和科技都高度發達，但由於生活在運動規律難以預測的三星系統中，三體人的生活環境常常風起雲動，不得不靠“脫水”的方式來逃避惡劣的環境。在偶然間獲得地球的方位後，便想把環境穩定的地球作為殖民地。
三體系統也就是由三個粒子在引力作用下構成的封閉系統。這看起來非常簡單，為什麼“規律難以預測”呢？我們先把理想狀況下三體系統（封閉、忽略粒子大小）滿足的常微分方程組寫下來：
其中x_i表示第i個粒子的位置座標，一般情況下是三維向量
這三個常微分方程組本質上就是牛頓第二定律，並不難理解。但是就算只考慮二維平面上的三體問題，也需要解 3*2*2（方程個數*方程階數*維數）=12 個非線性方程，除了一些特殊的情況，根本沒辦法找到精確解。其本質原因在於三體問題的“守恆量”（例如能量、動量、角動量等）和方程個數相比太少，使得幾乎所有三體問題都不是可積系統（Integrable System），就好比五次代數方程沒有根式解一樣，不可積的微分方程系統不存在解析解（某種意義上的精確解）。
可積系統的嚴格定義比較複雜，小編會在第三章進行介紹。有興趣的讀者也可以參考阿諾爾德的名著[1]的最後一章或者[2]。
解析解不存在該怎麼辦呢？沒關係，可以用數值模擬的方法把這些解找出來。為了使問題再度簡單化，我們假設三個粒子的質量都相等。
也許有的讀者會認為，已經簡化到這個地步了，應該能得到不錯的答案了吧？但事實上就算如此，不同的初值條件依然可以對應全然不同的解。這裡的初值條件包含了三個粒子的二維位置和速度的信息，一共有 3*2*2=12 個自由度（維數）供選擇。在這麼高的自由度下，解的表現自然大相徑庭，有的解如亂麻一般毫無規律，倒黴的三體人就不幸遇到了這樣的解；但有的解具有很強的週期性，例如（頂端數據表示三個粒子的位置和速度）：
雙彎曲三角+大圓。初值條件：
位置 -- (0.666, -0.082), (-0.025, 0.454), (0.003 -0.766)
速度 -- (0.841 0.029), (0.142 -0.492), (-0.983 0.462)
雙螺旋+橢圓
也有一些相對簡單的週期解：
對稱性很強的三體運動
另外一些解乍看上去很有規律性。然而華麗的外表往往最容易掩飾暗藏的殺機，只有時間才能讓殺機浮出水面：
全面崩盤的三體系統
由於涉及到的程序文件較多，小編暫不分享這些代碼了。不過由於三體問題乃至更一般的多體問題一直都是活躍的研究課題，因此小編會在以後的文章中繼續介紹。下面我們回到“太陽系的穩定性”這一話題。
二、靠譜的太陽系
從上一節的數值模擬中可以看出，就算只考慮二維情況並且假設每個粒子都有相同質量，三體問題依然可以複雜得令人髮指。如果我們把太陽系和三體問題進行對比，不難發現，太陽系的運動情況比三體問題複雜太多了——就算忽略掉太陽系中所有的衛星、小行星、矮行星、彗星以及各種星際塵埃，太陽系也至少有一顆恆星和八大行星，是一個九體系統。就算我們假設這個九體系統只限制在二維平面上，我們也不能讓每個粒子的質量相等了。
但就算這樣，地球已經環繞太陽幾十億年了，期間雖然歷經過多次大冰期，可能遭受過無數次小行星撞擊和伽馬暴（產生於大質量恆星引力坍塌）的破壞，但卻從來沒想過要飛出太陽系，比“愛你一萬年”還要矢志不渝。究竟是什麼使得太陽系如穩定呢？
地球經歷過的各種大型災難 [3]
太陽系的穩定性看起來是一個很經典的力學問題，但出人意料的是，它直到20世紀中葉以後才漸漸引起科學家們的關注。這個問題的相關研究也標誌著一個全新數學分支——動力系統（Dynamical System）的誕生和興起。
為了研究太陽系的穩定性，前蘇聯數學家柯莫戈洛夫（Kolmogorov，也是第一個把概率論公理化的人）、阿諾爾德（V.L. Arnold）和德國數學家莫澤（Jürgen Moser）提出了著名的KAM理論（KAM分別是這三人的姓式首字母）。他們三人均因此先後獲得沃爾夫數學獎（在數學領域影響力僅次於菲爾茲獎）。
或許柯莫戈羅夫的獲獎和概率論的公理化更相關
從數學的角度來看，KAM理論中的各種定義雜亂無章，涉及到“相空間流”、“微分形式”、“奇異攝動”、甚至“丟番圖逼近”等看起來八杆子搭不上邊的數學概念，定理的證明也很長，看起來似乎毫無數學美感。但事實上如果通過太陽系穩定性的角度去理解，這個理論就非常美妙了。
下面是柯莫戈羅夫最原始的定理：
後面會介紹它的中文翻譯[4]
阿諾爾德和莫澤又把柯莫戈羅夫的結論推廣了出去，形成了KAM理論的框架。上面這個定理雖然名氣很大，但如果只從定義出發去理解，則很容易陷入數學分析的思維陷阱中，難以理解這個定理和太陽系的穩定性之間有什麼關係。
三、KAM理論概要
KAM理論到底是何方神聖？柯莫戈羅夫等人又為什麼會想出上面這個結論呢？我們先來考慮一般的n體系統。
我們已經知道，三體系統已經是一個很複雜的系統了，其中一個原因在於三體系統不是可積系統（換句話說，守恆量不足），沒辦法通過解方程得到準確解。在前文對三體問題的討論中，小編提到，因為三體系統不是可積系統，所以找不到解析解。既然可積系統是一個好東西，那麼有沒有辦法把三體問題，乃至太陽系的九體問題用可積系統來近似呢？這就是柯莫戈羅夫等人的思路。
在此之前，我們來看看可積系統的嚴格定義：
定義：
令M是一個2n維辛流形（也就是高維曲面上每一點都裝載一個辛矩陣作為度量），H是M上一個光滑函數。如果存在n-1個與H線性無關（它們對應的切向量線性無關）的函數 使得泊松括號
![為什麼三體不穩定，我們的太陽系如此穩定？]()
那麼H就稱作一個可積系統（Integrable System）。H和 都被稱為首次積分（First Integral），可把它們看作某種“守恆量”。
線性無關和泊松括號為零這兩個條件都非常重要。泊松括號為零保證了 確實可看作“守恆量”；而線性無關保證了可積系統具有足夠的守恆量。而這裡的H通常指整個系統的總能量，讀者會在下文中找到更多體悟。
如果不理解上面的定義，不妨直接把可積系統視作“好”系統。此外，我們還需要對太陽系進行一些簡化：
只考慮太陽和八大行星的運動，所有行星都視為一個點，並且假設太陽靜止；
把八大行星的公轉軌道全都當作圓盤；
忽略掉行星之間的相互作用。
於是太陽和行星之間的作用可簡化為下圖[5]：
為了分析n體問題的動力學特性，我們採用哈密頓力學體系來描述這個系統：
有哈密頓力學基礎的讀者可以發現，和位置-動量共軛不同，在這裡把角度和角動量看作系統的兩個自變量，原因不外乎就是行星軌跡都是圓形，方便分析。如果不熟悉哈密頓力學，可以直接無視這一段話。
既然角動量全都是常數（角動量守恆），那麼我們就只需要考慮角度 的變化了。注意到行星的公轉具有周期性，於是 是關於時間的週期函數。另一方面，n個行星對應了n個角度 ，所以操控太陽系的動力系統就被全盤掌握在一個n維輪胎面 
上。
如果把上面所有的描述用數學的語言描述出來，我們就得到了著名的劉維爾-阿諾爾德定理（又名不變輪胎定理，Invariant torus theorem）。
當然，這個輪胎面具體長什麼樣，還得依賴於不同角動量的取值情況。不過太陽系的穩定性問題就這樣被轉化為了輪胎面上 運動軌跡（流）的穩定性——如果在一個小擾動下， 運動軌跡依然能保持週期性，那麼不就證明了行星軌道在小擾動下也能保持週期性公轉了麼！
那麼怎樣來描述這樣的“小擾動”呢？我們知道，整個太陽系的總能量是守恆的（假設太陽能量為0），於是我們可以把哈密頓量取作太陽系的總能量H_0:
這裡的 和 J 都是n維向量。值得注意的是，上面定義的太陽系的“總能量”只囊括了太陽對行星的引力勢能，並沒包含行星之間的相互作用。我們可以把“小擾動”描述為對總能量項的擾動，於是擾動後的總能量就變成了
柯莫戈羅夫等人的初衷就是想利用上面這個關係式來把太陽系中所有的小擾動都用某個可積系統來近似表示，又名近可積系統。而事實上，下面的定理保證了 H_0(J) 就是一個可積系統：
定理1：
一個哈密頓系統 H 在辛流形 M 上完全可積的充要條件是，對 M 上的每一點存在一個局部座標使得 H 不依賴於 .
顯然 H_0(J) 不依賴於 ，因此它就是一個可積系統。完美！
KAM定理雖然頗為神秘，我們現在也足以揭開它的面紗了：
定理2（KAM定理的第一部分）：
對於如下系統（記作（*））
假設 H_1 是 的週期函數，並且 H_0(J) 的海森矩陣非退化
則當 足夠小時，系統（*）的絕大多數輪胎軌道（也就是之前提到過的，輪胎面上 運動軌跡）都不會發生破裂，儘管形狀（對應行星的週期、公轉半徑）會發生些許改變。
容易驗證，太陽系“總能量” H_0(J) 的海森行列式為非退化的對角矩陣，因此滿足上面定理的條件。這個定理告訴我們，太陽系中“絕大多數”行星在微小的擾動之下，依然可以圍繞太陽做週期性的公轉！這就是太陽系得以穩定的一大原因。
但是“絕大多數”到底有多少呢？這依賴於行星的具體公轉週期，並且和數論中的丟番圖逼近（Diophantine approximation）有關。
定理3（KAM定理的第二部分）:
如果
的頻率
滿足
其中 > n，那麼這樣的 構成的集合在n維輪胎面 T^n 上測度為滿的。 此時定理2中 的選取依賴於 L 和 。
的頻率
滿足 
這個定理告訴我們，“絕大多數”就是指頻率向量 滿足定理3的所有軌道。根據定義可以知道，任意兩個行星的週期比至少必須是無理數，否則太陽系就不一定那麼穩定了。這樣的週期軌道稱之為非共振的。
本章所有定理的證明可在[1]或[6]中找到。
四、KAM理論的侷限
從上一章中我們可以看到，KAM理論實乃天體力學和數學的完美結合。從天體力學的角度看來，這個理論巧妙地繞過了多體問題的複雜性，直接站在穩定性的角度來研究行星的運動規律，可謂獨闢蹊徑；從數學的角度看來，該理論融合了許多現代數學中的概念，並極大地推動了動力系統這一學科的發展，獲得三次沃爾夫數學獎當之無愧。
不過前面介紹的KAM理論只是最經典的框架，它並不能完全證明太陽系的穩定性。其中一個原因在於對“小擾動”的理解，例如假設太陽系是封閉的，那麼這樣的“小擾動”就應當來自於行星間的相互作用，而由於行星間的距離在不停變化，定理2中的擾動項 H_1 應當依賴於距離，亦即
r_i表示第i顆行星到太陽之間的距離
行星間距不同時造成的“擾動”也不同
如果對“小擾動”項做出如上修正，且仍要使定理2成立，那麼太陽系的“總能量”項 H_0 中就必須也依賴於距離 r，甚至行星的運動速度。由於前面定義的 H_0 只依賴於角動量 J ，H_0對距離、速度變量的導數都是0，所以 H_0 的海森矩陣高度退化，定理2的條件不被滿足！可謂一夜回到解放前了。
或許是因為這個原因，阿諾爾德在[6]中提出了一個新的KAM理論，在一定程度上解決了這一問題。不過其中涉及到大量技術細節，並且對擾動項提出了比較嚴格的數學條件，它的實用性依然受到限制。
總結
作為天文學的一個分支，天體力學的鼎盛時期大概是文藝復興時期，也就是哥白尼和開普勒的那個年代，距今已有四百多年曆史了。隨著廣義相對論的提出和射電天文學的發展，現代天文學的主要關注對象已經發生了很大變化（暗物質暗能量、伽馬暴、引力波等），但是傳統的天體力學中還存在大量問題沒被完全解決——包括太陽系的穩定性問題。從這個角度看來，KAM理論算是天體力學的一個復興。
無論是n體問題也好，KAM理論也好，雖然它們的物理學背景都基於經典力學，乍看上去已經過時了。但從小編的這篇文章中我們可以看出，這兩個領域中依然存在大量值得研究的問題。另一方面，這兩個“經典”理論都很大的推動了現代數學和其他自然科學的發展，例如動力系統、凝聚態物理（特別是量子多體問題）和更一般的非線性科學。小編在之前的文章中已經多次涉及這些概念了，以後的文章中還會繼續討論這些話題。
再高深複雜的理論和概念都蘊藏著內在美，只不過許多理論就好比白居易筆下的琵琶女，在“猶抱琵琶半遮面”的羞澀之下，沒有"六宮粉黛無顏色"的楊貴妃那般美得明目張膽。敬請讀者們關注小編的公眾號，一覽前沿科學之瑰麗。
數學之美，並不僅僅體現在數字和視角上，還蘊含在和自然科學的相互結合中
參考文獻
[1] V.L.阿諾爾德，《經典力學的數學方法》，齊民友譯，高等教育出版社，2006.
[2] Jerrold E. Marsden and Ralph Abraham, Foundations of Mechanics, 1994.
[3] http://historystack.com/30_Major_Events_in_History_of_the_Earth.
[4] http://www.scholarpedia.org/article/Kolmogorov-Arnold-Moser_theory.
[5] 馬天&汪守宏，《非線性演化方程的穩定性與分歧》，現代數學基礎叢書，科學出版社2006.
[6] Arnold , V I (1963b). Small divisor problems in classical and Celestial Mechanics. Russian Math. Survey 18 : 85-191.
[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_approximation_theorem
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