分數的應用
最初分數的出現，並非由除法而來。分數被看作一個整體的一部分。“分”在漢語中有“分開”“分割”之意。後來運算過程中也出現了分數，它表示兩整數比。
分數的加減乘除運算我們小學就已完全掌握了。很簡單，是不是？不過在七、八百年以前的歐洲，如果你有這種水平那麼就可以說相當了不起了。
那時精通自然數的四則運算就已達到了學者水平。至於分數，對當時人來說簡直難於上青天。德國有句諺語形容一個人陷入絕境，就說：“掉到分數里去了”。
為什麼會如此呢？這都是笨拙的記數法導致的。在我國古代，《九章算術》中就有了系統的分數運算方法，這比歐洲大約早1400年。
西漢時期，張蒼、耿壽昌等學者整理、刪補自秦代以來的數學知識，編成了《九章算術》。在這本數學經典的《方田》章中，提出了完整的分數運算法則。
從後來劉徽所作的《九章算術注》可以知道，在《九章算術》中，講到約分、合分(分數加法)、減分(分數減法)、乘分(分數乘法)、除分(分數除法)的法則，與我們現在的分數運算法則完全相同。另外，還記載了課分(比較分數大小)、平分(求分數的平均值)等關於分數的知識，是世界上最早的系統敘述分數的著作。
分數運算，大約在15世紀才在歐洲流行。歐洲人普遍認為，這種算法起源於印度。實際上，印度在七世紀婆羅門笈多的著作中才開始有分數運算法則，這些法則都與《九章算術》中介紹的法則相同。而劉徽的《九章算術注》成書於魏景元四年(263年)，所以，即使與劉徽的時代相比，我們也要比印度早400年左右。
小數的最早使用
劉徽在註解《九章算術》時，長度的記法採用的單位是：丈、尺、寸、分、釐、毫、秒、忽，忽是最小的單位，在計算中他把忽做為單位，以下那些沒有明確單位的數就是小數，劉徽稱作“徽數”，或者把它捨去，或者化成簡單分數，或者用十進分數表達. 劉徽是我國曆史上目前所知最早應用小數的數學家. 可惜的是他沒有對計數法稍加改進，把小數推到現代的水平，反而把十進分數作為一般的分數進行通分約分.
劉徽以後，有些天文學家和數學家從不同的角度也採用了這種科學的小數計數法. 南朝劉宋著名科學家何承天編著的《宋書》律曆志部分，大量地記述瞭如
十一萬八千二百九十六二十五(1148296.25)
九萬四千三百五十七(94305.17)
這樣的數，用附在整數位後面的小字來表明小數，這大概是數學史上最早的小數表示法了.
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