如圖，在平面直角座標系中，矩形OABC的頂點B的座標為(4，2)，D是OA的中點，OE⊥CD交BC於點E，點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線OE運動．
(1)求直線OE的解析式；
(2)設以C，P，D，B為頂點的凸四邊形的面積為S，點P的運動時間為t(單位：秒)，求S關於t的函數解析式，並寫出自變量t的取值範圍；
(3)設點N為矩形的中心，則在點P運動過程中，是否存在點P，使以P，C，N為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出t的值及點P的座標；若不存在，請說明理由．
解析：
(1)正比例函數，代入點E座標即可。由題目條件可知△COD為等腰直角三角形，OE⊥CD，可得△OCE也為等腰三角形，從而E為BC中點，座標不難求；
(2)點P在射線上運動，分成在線段OF上，線段FE上和剩餘射線上三種情況，不妨用鉛筆在圖上描畫一番，由於題目限定了是凸四邊形，所以當點P在線段FE上時，不符合要求，剩下兩段符合，如下圖所示：
求四邊形面積時，通常將它分割成兩個三角形，恰好有一個△CBD面積始終為定值，當點P在線段OF上時，我們只需要關注△CDP，此時PF即為它的高，CD為底，PF=OF-OP=√2-2t，CD=2√2；
而當點P在剩餘射線上時，我們只需要關注△CBP，此時它的底為CB，高為PG，PG=PE÷√2=(OP-OE)÷√2=(2t-2√2)÷√2=√2t-2,如下圖所示：S與t的函數關係式請自行求解。
(3)解決直角三角形的存在性問題，先確定哪個點為直角頂點，例如這裡點P、C、N均有可能，但是C和N是兩個定點，優先從它們開始討論
，若點C為直角頂點，那麼CN便為其一條直角邊，我們過點C作CN的垂線，就能得到這個直角三角形的另一條直角邊，可我們發現，這條垂線與直線OE的交點不在射線OE上，不符合要求，如下圖所示；
若點N為直角頂點，我們過點N作CN的垂線，發現它與射線OE有一個交點，它就是我們找到的第一個符合條件的P點。下面我們來求t值和它的座標，利用解析法，先求直線AC的解析式，找到它的斜率，然後根據互相垂直的直線，斜率互為負倒數，得到直線PN的斜率，代入點N座標，即得PN解析式，再聯立OE和PN解析式，求出交點P座標，最後根據OP=2t求出t值，如下圖所示；
若點P為直角頂點，意味著CN為斜邊，此時難點在於如何確定P在射線OE上的位置，至少要作出草圖，相比拿鉛筆在上面亂點一氣，不如靜下心來好好想想，怎麼準確地找到它。這時最有效的工具便是圓周角，如果以CN為直徑作圓，這個圓與射線OE有兩個交點，則這兩個交點一定是我們要找的P點，因為∠CPN是直徑所對的圓周角，如下圖：
我們作圖後發現，有一個P點恰好與E點重合，這是正常的，而另一個交點位於線段OF上，是本題難點，利用平面內兩點距離公式，分別求出CP²、PN²，利用勾股定理列出一個關於t的一元二次方程，這個方程可用十字相乘法或配方法來解，兩根分別是無理數，請根據以上思路自行求解。
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