有一次跟一位数学老师聊。

问用《几何原本》直接教中学学生的可能性。

答案是否定的，这本书，是整个古希腊数学成果和哲学精神融为一体的历史性巨著，不能零散地拆分理解，它宏观的架构，超过了一般中学生的理解能力，个别题目还可以教教。

（一）

但是，这本《几何原本》又很重要，除了《圣经》以外，没有任何其他著作，在研究、使用和传播的广泛性方面，能够与《几何原本》相比。总得要给学生好好介绍一下。

《几何原本》为古希腊数学家欧几里得所著，欧几里得是公元前330——275年的人，大概相当于我们的战国时期。

《几何原本》早期均为希腊文抄本，九世纪出现了阿拉伯译本，后有了拉丁文本。

《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据。

这本书，传入中国的历史也很是曲折。

蒙哥，是元太祖成吉思汗幼子托雷的长子，蒙古帝国第四位大汗，也是成吉思汗的子孙们最有学识的一个皇帝。

《多桑蒙古史》记载说蒙哥曾解说过欧几里得《几何原本》一书中的若干图式。他学的应该当阿拉伯文的译本。

顺便说一句，这位大汗就是《神雕侠侣》里在襄阳城外被杨过飞石击毙的那位，实际上他是在1259年的钓鱼山战斗中死去的。

（二）

最早把《几何原本》翻译成汉语的是明代的徐光启。

徐光启（公元1562-1633年）字子先，号玄扈，上海县徐家汇人，幼年家境不算好，青年时代仕途也不顺利。

公元1581年中秀才，公元1604年才中进士，被选为庶吉士，在翰林院学习。

徐光启主要精力并没有在学习儒家经典或者人情逢迎，而是放在科学研究上来。

他跟着利玛窦等许多西方传教士学天文、历算、火器，遍览兵书、屯田、盐业、水利等书。

他是个实干型官员，很重视对各种科学知识的考察和研究，善于吸取古代的，外国的和民间的生产经验，并注重用亲身实践加以检验，他看到不懂的事情就问，问了赶紧记下来，而且刨根问底地思考。

他一生著述很多，主要有《农政全书》、主持编译了《崇祯历书》，翻译了《泰西水法》。

数学方面，除了参与翻译了《几何原本》之外，还编译了《大测》（平面三角和球面三角）、《割圆八线表》（三角函数表）和测量方面的《测量义法》《勾股义》等书。

他在传播西方科学知识，促进民族科学水平的提高上，起到了重大作用。

徐光启晚年官至礼部尚书兼东阁大学士，参与机要，还担负过训练新兵和保卫京城的军事职务。

徐光启去世后，墓就在上海徐家汇附近的南丹公园之中，现在还能看到。

（三）

再介绍一下利玛窦：

利玛窦（公元1552-1610年）是意大利传教士，是个耶稣会士，基督教分支很多，耶稣会是一支，这里面也是一笔乱账，有时间我们在详细讲之间的分歧。

利玛窦的老师是格拉维乌斯，这个人是个数学家，曾经受教皇格里高利十三世之命，主持了制定过历书。

当时的教皇保罗二世决定向东方派遣传教士。

利玛窦于1582年来到澳门，次年到达广东肇庆，但是明朝闭关锁国，以及对传教士来中国的活动的真实目的的怀疑，一直面临着不太友好的环境。

由于这些传教的曲折经历，利玛窦采取了一种“科技先行，曲线传教”的方法。

先向中国士大夫教授科技，然后附带潜移默化地传教。

利玛窦制作和印行了《山海舆地全图》，这是中国人首次接触到近代地理学知识。

利玛窦还向官员展示了三棱镜、钟表等现代科技。利玛窦用现代科技引起中国人的好奇心之后，就利用解释各种西方事物的机会，同时介绍他们的天主教信仰。

利玛窦此人，温文尔雅，博学多闻，很有人格魅力，他在中国系统学习了中国的传统文化，用中文写了不少介绍天主教的小册子，并且把《四书》翻译成拉丁文。

而且呢，为了打入士大夫内部，利玛窦蓄发留须，穿起了儒士服装，利用中国文化中的概念和符合中国习惯的词语来传教。

比如他用中国自古就有的“上帝”的概念，偷换“天主”的概念，这样来化解中国人对天主教的疑虑和排斥。

他告诉中国人，天主教的“神”早就存在在中国的思想里，中国传统的“天”和“上帝”本质上与天主教所说的“唯一真神”没有区别。

他也对中国传统的习俗保持宽容的态度，允许中国的教徒继续传统的祭天、祭祖、敬孔的行为。

利玛窦的这一系列策略可以说是很有成效的。

1596年 9月22日有一次日食，钦天监没有算出来而利玛窦按照西法准确预报了这次日食，名声大振，许多人去向他学习西方历法。

这些科技才能是他在1600年获准进入北京的原因之一，虽然徐光启之前在南京见过他，但到此时才有机会时时向他请教。

据说利玛窦曾向教皇报告，认为接近中国人最好的甚至唯一的方法就是向中国人传授西方数学。

为什么这么说呢？因为中国当时，确实很急需数学知识。

当时是16世纪末，明代沿用元代大统历与回回历，因年代久远，误差很大，修正历法就成了当务之急，但是精通历法的人才难得。所以利玛窦算准日食，才能引起这么大的轰动。

而在那个时候传统的中国数学已经衰落了，许多数学典籍甚至已经失传了。

为什么呢，至少有一个原因是，数学在中国的发展一直与政治过于紧密。

政治的影响过大，这与数学在希腊的发展形成鲜明对比，由希腊至西欧，数学的发展当然也不是与政治绝缘的，但是数学以及一般的科学，作为对自然界规律的探索，其独立的意义及其社会中的地位早已得到确立。

在中国则不然，科学最多也不过作为一种技术，它必须服从政治的需要。

所以，数学很多时候用在天文历法星象的计算上，但是历法问题在我国各朝代又有特殊的重要性，

天文异象如日食月食，彗星等，被看做灾难，如政变、篡权的先兆。

自古以来，各朝各代，常设钦天监，负责人（钦天监正）就需要向皇帝秘密报告出现的天文异象，

因此，历法问题不仅关系到农业，更关系到皇朝的命运。这样就导致数学人才的传承不能大规模进行，得是在皇帝信得过的家族中小规模师徒亲授，万一有个三灾五难，死掉几个，那这门学问就绝了。

所以这么长时间下来，到明末，中国的数学比之唐代没进步还倒退回去了。

利玛窦到北京后，想方设法拜见了万历皇帝，万历皇帝对他进献的自鸣钟、八音盒、地图等很感兴趣，允许他留居北京，还给他发俸禄。

自此利玛窦长居北京，跟士大夫广泛交往，谈论科技，传播宗教，自己建立起良好的声誉，也与士大夫阶层建立起良好的关系。

而利玛窦在北京期间，徐光启正供职于翰林院。

徐光启在利玛窦居住附近租了一个屋子，方便请教，他一方面是学习教义，一方面学习西方科学知识。他也成了虔诚的基督徒。

1606年，徐光启认为

“既然已经印刷了有关信仰和道德的书籍，现在他们就应该印行一些有关欧洲科学的书籍，引导人们做进一步的研究，内容则要新奇而有证明”

两人决定翻译《几何原本》，利玛窦口述，徐光启笔录，用了大约一年时间，翻译完前六卷。

当时翻译完前六卷后，利玛窦说，就先传这些吧，让有同样志向的人学习吧，如果果然有用，我们再慢慢翻译后面的，徐光启说好。

于是先把这六卷出版出来。

（四）

《刻序》就是徐光启为《几何原本》中文译本的写的序言。这篇文章主要说明了几何学的源流、价值和翻译书的过程。

徐光启在这篇序文里阐述了数学的社会作用，深刻说明了几何学与我们日常生活的密切联系，他期望通过介绍有关几何学的知识，使人们了解几何学的求证方法，培养逻辑思维能力，从而准确、精密地认识和分析事物。

唐、虞之世。自羲、和治历，暨司空、后稷、工、虞、典乐五官者，非度数不为功。《周官》六艺，数与居一焉；而五艺者，不以度数从事，亦不得工也。襄、旷之于音，般、墨之于械，岂有他谬巧哉？精于用法尔已。故尝谓三代而上，为此业者，盛有元元本本，师传、曹习之学，而毕丧于祖龙之焰。汉以来多任意揣摩，如盲人射的，虚发无效；或依拟形似，如持萤烛象，得首失尾。至于今而此道尽废，有不得不废者矣。

《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也。利先生从少年时论道暇，留意艺学，且此业在彼中所谓师传、曹习者，其师丁氏，又绝代名家也，以故其精其说。而与不佞游久，讲谈余晷，时时及之。因请其象数诸书，更以华文。独谓此书未译，则他书不可得论。遂共翻其要约六卷，既卒业而复之，由显入微，从疑得信。盖不用为用，众用所基，真可谓万象之形囿，百家之学海。虽实未竟，然以当他书，既可得而论矣。私心自谓：“不意古学废绝二千年后，顿获补缀唐、虞、三代之阙典遗义，其禆益当世，定复不小。”因偕二、三同志，刻而传之。

先生曰：“是书也，以当百家之用，庶几有羲、和、般、墨其人乎，犹其小者；有大用于此，将以习人之灵才，令细而确也。”余以为小用、大用，实在其人。如邓林伐材，栋梁榱桷，恣所取之耳。顾惟先生之学，略有三种：大者修身事天；小者格物穷理；物理之一端，别为象数。一一皆精实典要，洞无可疑。其分解擘析，亦能使人无疑。而余乃亟傅其小者，趋欲先其易信，使人绎其文，想见其意理，而知先生之学可信不疑，大概如是，则是书之为用更大矣。他所说几何诸家藉此为用，略具其自叙中。不备论。吴淞徐光启书。

全文分为三段：

第一段谈数学的源流和重要性，也就是广义的几何学的源流和重要性。

先要说明个小问题，

几何，其实是写作“幾何”，“几”和“幾”是两个字，

“几”是个象形字，意思是茶几，“幾”，是形声字，表示事物发展变化的那个微小之微小的预兆，这样也就有了数字的意思。

而《几何原本》这本书，英文名字叫Euclid's Elements.

Elements是元素的意思，所以为翻译为《原本》就可以了。那为什么前面要加几何呢？

几何这个词，在中文里原不是数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。“对酒当歌，人生几何”里的几何的意思。是从徐光启这里，几何才成为数学里geometry的中文译法。

Elements这本书，不完全是现在意义上狭义的几何学，

geometry在中国古代数学分科有另外的名字——“形学”，大概相当于现在狭义的几何学。

徐光启是首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的。

也有学者认为徐光启用几何这个词是来源于书中的magnitude一词，有“量”的意思，

那么《几何原本》的意思是：这是一切关于数量的学问的基础。

这两种看法都有道理。

（五）

Euclid's Elements.这本书原本有十三卷。

前六卷，大概是讲平面几何，七、八、九、十卷主要讲初等几何数论，最后三卷讲立体几何。

《几何原本》牛在什么地方呢，这本皇皇巨著，根基就是几条公理公设，

这些公设，就是比如，

过两点能作且只能作一直线；

线段（有限直线）可以无限地延长；

以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；

凡是直角都相等；

等等。所有的定理，证明都是从这几个极其简单的，让众人无可怀疑的公理公设演绎出来的，整个体系非常恢弘精密。

文章一开始，徐光启先追溯了一下远古的数学应用。

徐光启认为数学的用途，既广泛又历史悠久，远在尧舜禹的时代，就有数学了

当时的官吏分工也很细，羲和管历法，司空负责治理水土，后稷管理农业生产，工，管理土木工程，虞，管理山河，典乐，管理音乐。

这些官吏虽然职责不同，可是都离不开数学，没有数学的观念就不可能有什么成效。

《周官》一书规定古代六艺，就是礼、音乐、射箭、驾车、识字、算数。

可见数是古代贵族青年必须学习的内容之一，其他五项学习内容，没有一定的数学知识也掌握不好。

古代著名的音乐家师旷、师襄，有名的机械专家公输班、墨翟，他们对音乐和机械的研究也没有什么惊人的技巧，只不过精通了用法而已。

这里是说机械制作或者音乐的演奏，对数量的把握要很到位。乐器的音准跟数量有关，机械的精度跟数量有关。

徐光启认为数学在中国古已有之，远在夏商周三代以前就很繁盛，一直在师生之间传授和学习，

直到公元前213年秦始皇焚书，一把火就把这种学问烧光了。

在徐光启看来，汉代以后的数学就不成为学问了，不是任意揣摩，像瞎子射箭似的毫无效果；就是照猫画虎，像用萤火虫的火光照看大象一样，见到头就见不到尾。

到了明代，这种学问就完全荒废了。

而今天翻译《几何原本》，这是恢复我华夏古代，有振兴古学之功啊。

这里强调数学的源远流长，强调数学的巨大作用，都是没问题的，

但是说“三代之上，为此业者盛，有元元本本师传曹习之学”。恐怕是想象之词。

不过这个心态也能理解：

从一个民族心理来说，当外来的更先进的文化传入的时候，是一种外来知识、外来思想的冲击，

而面对这种冲击，人们内心是焦虑的，自信心被碾压的粉碎，所以人总是要反身从历史中寻找理解和解释的资源，来接引新知识，

这样呢，就能有效地缓解外来文化的冲击，

当我们从历史的博古架上中，哪怕找到只言片语的痕迹，也可以自我安慰地认为我们之前是有的，甚至可以自欺欺人地认为他们也是学我们的，

我们被打击的自信心才又得到妥帖的安放，那种新知识带来的文化震撼才得以抚平。

通过这样，才能免除自己心里的紧张和焦虑。

徐光启在这里只是说，我们古代也有啊，勉强还是有几分道理的。

后来康熙把《几何原本》翻译成满文，甚至组织撰写《数理精蕴》（这本书除几何以外还包括了实用算数、对数和直到高次方程为止的代数知识）。

在这本《数理精蕴》里康熙认为一切数学知识都源于中国，后来才传到希腊。

果然皇帝免除这种文化焦虑的方法更加豪迈粗暴。

（六）

第二段谈《几何原本》翻译的经过，

徐光启感到这部书很重要，认为它是数学的根本，是数学的基础，

用它可以探求方圆平直各种形状和线条的特点，可以充分发挥直尺圆规的作用，因此有必须要翻译它，应当把它介绍给中国读者。

正巧，与徐光启交谊很深的利玛窦从小就留心这一类学问，他的老师格拉维又是这方面的专家，利玛窦师出名门，后来由于徐光启的请求，就和利玛窦一道翻译了《几何原本》。

大概是利玛窦口述，徐光启记录，翻译从1606年开始，1607年结束并付印，后来又多次校改，

还有另一些传教士也参与，比庞迪我、熊三拔等。

徐光启还进一步阐述了几何学的巨大社会作用，实际还是在说翻译此书的目的，

徐光启认为几何学看来与实际生活距离较远，看起来没有用处，实际是一切有用的学问的基础，

因为几何学的分析、证明、推理，能够培养人们的逻辑思维能力，

只有具备了这种能力，才能很好地掌握其他学问，正是在这个意义上，才把几何学看成是

“万物之形囿，百家之学海。”

胡适先生有一篇很著名的《差不多先生》，讽刺国人不肯认真精细的做事风格，文章辛辣无比。

大概这种差不多的思维方式还真是我们的一个普遍的作风。

中国学者对逻辑推理不甚重视，由来已久。翻开古书，

甚至直接宣布自己的结论而不做任何论证。

这个思维是在处理实际事务上是很有害的。徐光启自己在历法、水利、农政上都实际做过事情，是深深意识到里面的弊端的，才在这里特特强调数学对人思维训练的巨大作用。

第三段再谈几何学的价值，

徐光启转述利玛窦的话说：

“这部《几何原本》如果当做百家的学问来用，就会出现像羲和、公输班、墨翟那样的人才，而这还是它的小的用途。它的巨大用途在于训练人的天才，使之思维更加精细和准确。”

徐光启完全同意这一看法，并进一步发挥，他认为用处的大小，在于人的能动性，究竟几何学能发挥多么大的作用，完全取决于你主观的努力，

这还是在强调，几何学作为各门科学的基础，要使它多方面发挥作用，还要人们在各个领域里继续钻研，人们有广阔的天地可以驰骋，社会上人才培养的足够多了，国家才可以随时取用。

几何为什么有这样大的功用？

由于它提供的是确定无疑的知识，对于几何学提供的知识，我们不必怀疑，不必揣摩，不必试错，不必修改，它的结论和论证，是无法反驳，无法增减，甚至前后位置改变都不可以改变。

几何要训练这样的思维：

出发点必须是有清晰的界定的，

思维的过程应该分成许多小步，

每一步虽然简单，却都是清楚无疑的。

如果大家的思维都能这样，那很多事情就很好办了。

所以徐光启要给当时的中国人翻译这本《几何原本》来帮助大家训练精细思维能力。

最后，徐光启又总结利玛窦的学问，

在他看来，利玛窦的学问共有三种，

大的就是有关修养个人品德和传习耶稣会的教义的事情；

小的是用来探究事理。

第三种就是从探究事理这一方面派生出来的数学。

而数学的内容都是精当确实经典扼要的，是明明白白毫无可疑的，它的一套分析的方法，也能使人消除疑惑，

而徐光启就急于传播这种小的学问，使人们由浅入深，掌握数学的理论，

（七）

可以看出徐光启对几何学的社会作用的高度评价和他对利玛窦的数学知识的坚信不疑。

后来，徐光启还根据利玛窦在翻译《几何原本》时的讲述写成了《测量法义》一书。

然后，他又将此书中的内容与我国传统文献中的测量之法进行了比较，又写了《测量异同》一书。

再后来，他利用《几何原本》中介绍的西方公理化方法整理了我国传统文献中的勾股知识，于1609年又写出了《勾股义》一书用来解释《几何原本》。

徐光启是有远见的，他殷切希望《几何原本》在中国发挥巨大的社会作用。

这本书，还是有一些反响的，

比如，上海嘉定的孙元化（1582—1632），学习了《几何原本》之后，连续写出了《几何体论》和《几何要法》两本书。

浙江李之藻（1565—1630），是徐光启的好友，参考《几何原本》写出了《圆容较义》一书。

徐光启一直念念不忘把《几何原本》翻译完，然而1607年5月，徐光启的父亲去世，

尽管当时徐光启已经加入了天主教，但是在这方面还是遵从了儒家的规则，

这年8月，徐光启丁忧，扶灵柩回到上海老家守孝。

三年后，就在徐光启即将结束丁忧，官复原职的时候，利玛窦却在北京去世了，

等到1610年12月，徐光启回到北京，利玛窦已经下葬一月有余了。

而利玛窦身为外国人，本来按照惯例应该把灵柩送到澳门，但是北京的教友为了纪念利玛窦，上奏朝廷，申请赐地，神宗皇帝特地破例下旨赐地在北京埋葬。

据说下葬时朝廷的文武百官都参加了葬礼，葬礼非常隆重，有个太监不解为何给利玛窦如此高的待遇，

当时的宰相叶向高说：

“远来的客人里，道德学问，哪一个像利先生这样？不说别的，就说翻译《几何原本》这件事，就应该赐埋葬之地。”

利玛窦墓现位于北京西城区官园桥附近的北京行政学院院内，旁边是汤若望和南怀仁的墓碑。现在依然可以去祭拜。

对利玛窦的盖棺论定也很有意思，

长期以来，西方许多人，尤其是天主教徒将利玛窦视为令人景仰的，“诱导异教徒皈依的”传教士。

而东方却将利玛窦视为促进东西方交流的科学家。带着西学而来的利玛窦开启了晚明士大夫学习西学的风气。

由明万历至清顺治年间，一共有一百五十余种的西方书籍被翻译成中文。

《几何原本》后面的几卷，也因为利玛窦的去世，而无法再继续翻译了。

首先是利玛窦死后，接任中国耶稣会总管的是龙华民（Nicolas longobardi，1559—1654），

这个人在传教策略上与利玛窦不同，他希望花更多的时间在传教上，而不是用在给中国人讲解西方技术上，

而且，利玛窦比较看重士大夫的支持，但龙华民认为应该主要面向底层广大民众，这样更快捷。

所以龙华民禁止传教士向中国人传授西方科技，使得徐光启失去了外援，没办法继续翻译。

另外呢，《几何原本》虽然在西方得到比较普遍的教授，但是恐怕前六卷之后的内容，也不是人人都懂得，至少徐光启比较熟悉的其他神父，比如庞迪我、熊三拔，看起来并不懂后面的内容，

其实利玛窦究竟能不能完全懂后面的内容，也是个未知数。

所以徐光启只能遗憾地中止他的翻译行为。

直到清代咸丰年间，李善兰与英国人伟烈亚力合作，才把整本的《几何原本》翻译完成。

现在如果要读《几何原本》也不用读李善兰的版本，推荐读陕西科学技术出版社的《几何原本》，译者是魏平。

如果你想弄得更明白，推荐你看英文版的The Thirteen Books of Euclid's Elements - by Thomas Heath - Cambridge University Press, 1908.

附录：

《几何原本》对世界数学的贡献主要表现在三个方面：

1.建立了公理体系，明确提出所用的公理、公设和定义，由潜入深地解释了一系列定理，结果就是，仅用少数公理证明了几百个定理，

2.把逻辑证明系统地引入到数学中，欧几里得强调，逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法

3.《几何原本》示范性地规定了几何证明的三种方法：分析法、综合法和归谬法。

《几何原本》中的五个公设和五个公理

公设1：从任一点到任一点可作一条直线。

公设2：有限直线可沿直线无限延长。

公设3：给定中心和距离（半径），可以作一个圆。

公设4：所有直角都相等。

公设5：如果一条直线与两条直线橡胶，且如果同侧所交两内角之和小于两个直角（180°），则这两条直线无限延长后必将相交于该侧的一点。

最后一条公设就是著名的平行公设，它引发了几何史上最著名的长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何，值得注意的是，第五公社既不能说是正确也不能说是错误。它所概括的是一种情况。

根据公设5，偶记里的还提出了5个公理，从而完成了他的序篇，这5个公理也都是不证自明的真理，但具有更一般的性质，不仅仅只对几何学有效。

这些公理是：

公理1：与同一个东西相等的东西，彼此也相等。

公理2：等量加等量，总量仍相等。

公理3：等量减等量，余量仍相等。

公理4：彼此重合的东西相等。

公理5：整体大于部分。

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