吳軍
第196封信 | 黎曼猜想和認識的延展（下）
今天我們就來談談黎曼猜想。黎曼是19世紀德國著名的數學家，他奠定了非歐幾何分支的黎曼幾何的基礎，愛因斯坦的理論就是建立在黎曼幾何基礎之上的，此外他對微積分的公理化有很大貢獻。
黎曼猜想是他在當選普魯士科學院院士時，作為感謝，寫了一篇論文，在論文中提到的一個研究成果。當時他並沒有能證明這個猜想，只是感覺它是對的。在那以後，很多數學家試圖證明這個猜想。
這也讓它和大家熟悉的哥德巴赫猜想，以及幾年前被證明的龐加萊猜想，並列為數學界知名度很高的三個猜想，也是7個千禧年問題之一，誰要是證明了這個猜想，可以獲得100萬美元的獎金。
要講黎曼猜想，先要說說調和級數和歐拉的魔術。所謂級數就是將一個無窮的數列求和，比如等比級數：
1+1/2+1/4+1/8……
這個級數，沒完沒了地加下去之後，最後等於2。
而調和級數是正整數的倒數和，即：
Z ＝ 1/1 ＋ 1/2 ＋1/3 ＋……
如果Z也無限地加下去，到底會等於什麼呢？這個問題的答案就不那麼直觀了，因此這個古老的問題，直到14世紀時，人們還不知道它的答案，到底是無窮大，還是一個確定的值？
如果是一個確定值，那麼我們就說這個級數是收斂的，否則就是不收斂的或者叫做發散的。具體到這個問題，答案是後者，也就是說Z最後等於無窮大。後來歐拉把調和級數的問題稍作改變，改成正整數的倒數平方和，即：
Z（2）＝ 1/1^2 ＋ 1/2^2 ＋1/3^2 ＋……
歐拉告訴大家，S（2）就等於了一個有限的數值，也就是說是收斂的。歐拉算出來它等於圓周率Pi的平方除以6。這個答案雖然是對的，但是歐拉的算法今天看來其實不嚴謹，因為他需要先證明Z（2）本身是收斂的，而不是無窮大，他的做法才有意義。正是這種不嚴謹，會導致我們下面要講的一些荒唐的結果。但不管怎樣，歐拉找到了一種計算這一類級數的方法。
再接下來，我們把上面這個級數再推廣一下，把它變成
Z（s）＝ 1/1^s ＋ 1/2^s ＋1/3^s ＋……
即整數倒數的s次方之和，這裡面s可以是任何數，這個級數在數學上被稱為Zeta函數，Zeta是希臘字母ς（Zeta）的英文讀音。那麼這個級數之和是否有限呢？歐拉發現只要s大於1，它就是收斂的，存在有限的答案。如果s小於1，級數和就是發散的，結果是無窮大。
通常我們想到這一步就停止了，但是歐拉作為大數學家是很有想象力的。歐拉就在想了，如果s進一步縮小，變成了負數，這個級數會是什麼樣的？這在現實世界中是一個很無趣的問題，因為它加來加去結果無非是無窮大。比如s＝－1，這個級數就是1＋2+3+4......，即正整數之和。我們可以更規範地把它寫成：
Z（－1）＝1+2+3+4……
顯然，在現實世界中1＋2+3......這種問題沒有什麼意義。但是歐拉作了一個大膽的假設，依然使用收斂級數求和的方法來計算它，就會得到一個荒唐的結論。
S（－1）＝1+2+3+…… ＝－1/12，這樣，歐拉就如同變魔術一樣，把無數個正整數的和算成了負數。
至於這個結論是如何產生的，你不用太關心，總之是按照看似合理的一步步演算得到這個結果。你可能聽有些賣弄學問的人說過，所有自然數之和等於－1/12，就是從這裡來的。
造成這種荒唐結論一定有原因，或者說，歐拉的演算有疏漏之處。實際上歐拉的問題在於，他用了對收斂級數求和的方法計算不收斂的級數。我在《硅谷之謎》中講過，不能將有限世界的方法簡單地應用到無限的世界中，歐拉在這裡其實就犯了這樣一個錯誤。類似地，歐拉還用同樣錯誤的方法得到了另一個荒唐的結論，即所有正整數的平方和等於零：
Z（－2）＝1^2＋2^2+3^2+…… = 1+4+9+16……＝0
至於為什麼歐拉能夠得出這樣看似荒唐的結論，我們暫且不追究它的細節，這和前面一樣，只要假設級數發散時可以用級數收斂時的計算方法，就是這樣的結果。也就是說，一旦設定了前提，不論通過什麼邏輯得到什麼結果，在數學上都是行得通的，這是數學和自然科學本質的差別。
為了讓這樣沒有意義的結論變得有意義，歐拉作了一次我們昨天所說的函數定義的延拓，即把原本定義在s必須大於1基礎上的Zeta函數Z（s），定義的範圍（也稱為定義域）擴展到所有的複數範圍。
也就是說，s不僅能夠等於－1，－2，等等，還能等於虛數i，或者虛數i和實數的組合，比如0.5＋2i。當然，對於Z（－2），Z（－3）這樣的函數值不能讓它們等於無窮大，那樣沒有意義，至於該等於什麼，用歐拉那種“荒唐”的解法，解出來是什麼，我們就承認它是什麼。
給定s不同的數值，Zeta函數Z（s）就能算出不同的值。對於某些s的值，比如說－2，－4，－6等等，Zeta函數的值恰巧是0。於是這些特定的s，就被稱為黎曼方程Z（s）＝0的解，關於方程的解的概念是初中數學的內容，當然不是什麼新知識。具體到Z（s）＝0這個方程，只要s是負的偶數，都是方程的解。這些解由於很快大家都發現了，因此被稱為平凡解。
那麼除了－2，－4，－6這樣的負偶數，黎曼方程Z（s）＝0是否還有其他的解呢？1859年，黎曼在當選為柏林科學院的通信院士時，作為對這個崇高榮譽的答謝，向柏林科學院提交了一篇題為“論小於給定數值的素數個數”的論文，在論文中指出，該方程的非平凡解不僅有，而且都集中在複數平面的一條直線上，但是他沒有證明，因此這個結論就成了一個猜想。
後來人們根據黎曼的提示找到了很多非平凡解，它們都具有1/2+ yi這樣的形式，其中i是－1的平方根，y是某個特定的數字。由於裡面Zeta函數方程的解和素數的分佈非常相關，因此在隨後的一百多年裡，有很多數學家研究這個問題，並且發現了15億個這樣的非平凡解，而且最大的一個解，數值本身已經很巨大了。
實際上，今天只要願意讓計算機不斷地計算下去，可以不斷得到新的非平凡解，而且這些解都符合黎曼的假設。可以講，在我們能夠搜索到的非常大的空間裡，到目前為止能夠找到的所有的解，都符合黎曼猜想，沒有例外。
接下來就有一個疑問，既然我們從來沒有找到不符合黎曼假設的情況，而且測試了很大的範圍，我們能否認為在現實世界中，黎曼猜想就是成立的，因此不再需要考慮它在數學上的正確性了呢？
這個問題其實沒有絕對正確的答案。一方面，在工程上和應用科學上，我們有時確實在使用還沒有證實的猜想。比如說，我們今天相信各種加密系統是安全的，那只是從工程的角度講，從科學的角度講，目前使用的各種加密方法都是能破解的，那只是時間的問題而已。
另外，和黎曼猜想同樣有名的還有一個叫做“楊-米爾斯（Yang-Mills）理論”，這也和黎曼猜想一樣是七個千禧數學難題之一。這裡的楊就是指中國著名物理學家楊振寧先生，米爾斯是他的學生。
這是一個現代物理學上的理論，雖然已經在現有的各種實驗中得到了證實，一些物理學家還因此獲得了諾貝爾獎，但是，迄今為止還沒有人在數學上嚴格證明它。也就是說，即使它在人類所知的範圍內沒有被證偽，但是和數學上被證明是兩回事。
今天，通過這些例子，特別是黎曼猜想的例子，我們可以瞭解到數學同實驗科學和工程上的區別，這種區別不僅僅在結果和精度上，更關鍵在解決問題的思維方式上。應該講，採用純數學的思維常常解決不了實驗科學和工程上的問題，反之亦然。如果我們把這種思維的差異放大到各個領域，就會發現從事不同領域的工作，常常需要有不同的思維方式。
我們常常講有的人喜歡“鑽牛角尖”，其實有一大類鑽牛角尖現象的產生，是因為某些人把適合他們工作和生活的思維方式，用錯了場景。
比如一個會計算賬，根據會計規則，需要精確到小數點後兩位，至少是整數位。但是你如果請別人幫助買一張飛機票，通常給人整數的錢就好了，如果一定要算得很精細，就沒有意思了。這就是將自己的領域知識用錯了場景。
但凡是一個職業人士，都會不自覺地犯這一類“鑽牛角尖”的毛病，自己認為是很嚴謹的專業做法和說法，在其他職業者看來，就是鑽牛角尖，因為後者希望對那些自己不熟悉的專業概念的理解模糊點，粗糙點。
為什麼學理工的人更容易給人鑽牛角尖的看法？因為他們自己覺得很準確的思維方式，在別人看來完全不需要。因此，看人講話是一件很重要的事情。
前一陣子黎曼猜想的熱門事件，也再次說明了不同知識之間的相關性。
明天，我們再通過一個具體的問題，談談數學和真實世界的差別，你會從中看到一個你想象不到的大世界。
祝 近安
2018年10月30日
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