數學有時很神奇，是因為我們生活在有限的世界中，但是當我們開始思考無限的時候，一切，就都顛覆了。
如果我問你："整數與偶數，哪一種數多？"恐怕不少同學都會說："當然整數比偶數多了。"進一步，恐怕還會有同學告訴我："偶數的個數等於整數個數的一半！"什麼道理呢？那是因為"奇數與偶數合起來就是整數。而奇數與偶數是相間排列的，所以奇數與偶數一樣多，大家都是整數的一半。"
"整數包括偶數，偶數是整數的一部分，全量大於部分，整數比偶數多這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？"
你認為這樣回答有道理嗎？
這真是不成問題的問題！可是，且慢，往往就在這種最不成問題的問題上出了問題。
比如，我們要比較兩個班級的人數的多少，該怎麼辦呢？通常有兩種辦法：
1．分別數出這兩個班的人數，然後比較兩個班人數的多少。
2．讓兩個班同學分別排成一路縱隊，讓兩班排第一的兩人牽起手來，排第二的兩人也牽起手來，…，以後的同學依次對應牽起手來。最後，如果某班所有的同學都與另一班的同學牽起了手，而另一班還有同學未與某班同學牽手，則某班同學比另一班人數少。
現在我們再來看整數與偶數的多少問題吧！
1．你能數出整數有多少個？偶數有多少個來嗎？由於整數與偶數都有無窮多個，當然我們都不能數出它們的個數。
所以，用第一種辦法來比較整數與偶數的多少是行不通的。
現在來考慮第二種辦法，我們可以把整數排成一隊：0，-1，1，-2，2，-3，3，…，-n，n，…。然後再把偶數也排成一隊：
0，-2，2，-4，4，-6，6，…，-2n，2n，…。
這樣排好之後，所有的整數都排進了第一隊中，所有的偶數都排進第二隊中。現在讓第一隊中的0與第二隊中的0"牽起手"來（即對應起來），第一隊中的-1與第二隊中的-2對應；第一隊中的1與第二隊中的2對應；……，第一隊中的-n與第二隊中的-2n對應；第一隊中的n與第二隊中的2n對應，……你看，這麼一個對一個地"牽好手"（即建立起"一一對應關係"之後），我們馬上可以發現，第一隊中的每個數都與第二隊中的某個數對應，而第二隊的每個數都與第一隊的某個數對應，兩個隊伍都沒有任何一數剩下來，既然如此，你能說整數比偶數多嗎？看來不能。這就是說：整數與偶數同樣多！
這真似乎有悖常理了，部分竟然等於全體！但這確是事實！這告訴我們，"無窮"是不能用"有限"中的法則來衡量的，許多對"有限"成立的性質對"無窮"卻未必成立。
著名的數學家康託（Cantor，1829-1920）首先想通了這個問題。著名數學家希爾伯特則講了下面一個例子：
你是一家旅店的老闆，這家旅店有無數間房間，並且現在每個房間都住著人。然後又來了一個旅客，問他有沒有房間住？
答案是有房間住的，只要讓原來1號房間的人搬到2號，2號房間的人搬到3號，3號房間的人搬到4號……n號房間的搬到n+1號，這時原來有房間住的旅客現在依舊有房間住，同時1號房間就空出來了，可以給新來的旅客住。
那麼如果這時又來了無數個旅客，問他們有沒有房間住？
曾經問過很多學生，在聽過第一題的答案之後，很多人回答"很簡單啊，就讓每個人往後搬無數個房間唄，這樣就空出無數個房間了。"
好吧，不好意思，完全錯誤。因為如果來k個人，我可以讓每個人往後搬無數個房間，因為對於任意的n，我都能找到n+k。但是讓我找n+∞……
現在公佈正確答案：答案是有房間住的，只要讓原來1號房間的人搬到2號，2號房間的人搬到4號，3號房間的人搬到6號……n號房間的搬到2n號，這時原來有房間住的旅客現在依舊有房間住，同時所有的奇數號房間就空出來了，可以給新來的無數個旅客住。
現在我們重新審視旅館的問題，它真的僅僅是個段子麼？其實兩個問題，轉化為數學問題，就是：1，正整數和自然數個數是不是一樣多？2.正整數和正偶數個數是不是一樣多？
第一個問題，如果房間從1開始到+∞編號的話，正好是代表所有正整數的個數，如果新來的旅客代表0，那麼等他住進去之後，房間的個數應該和自然數一樣多。房間並沒有增多，也就是說，正整數和自然數是一樣多的。
第二個問題，如果房間從1開始到+∞編號的話，正好是代表所有正整數的個數，等新來無數個旅客後，原來的所有旅客都住進了正偶數號的房間。原來已經入住的旅客的個數沒有變，也就是說，正整數和正偶數數是一樣多的。
好吧，如果再翻譯的數學一點，其實第一問就是y=x-1，x∈N*，x可以遍歷所有正整數，y同時遍歷所有自然數，並且x和y一一對應，也就是說，正整數和自然數是一樣多的；第二問就是y=2x，x∈N*，x可以遍歷所有正整數，y同時遍歷所有正偶數，並且x和y一一對應，也就是說，正整數和正偶數是一樣多的。
究其錯誤原因，其實本質就是他們還在用有限的方法在思考無限。但其實，兩者的思考方式，完全不同。
現在公佈正確答案：答案是有房間住的，只要讓原來1號房間的人搬到2號，2號房間的人搬到4號，3號房間的人搬到6號……n號房間的搬到2n號，這時原來有房間住的旅客現在依舊有房間住，同時所有的奇數號房間就空出來了，可以給新來的無數個旅客住。
其實上面這些理論，數學家康託在19世紀末就得出了這些結論，還包括：整數和有理數一樣多，一條直線上的點和一個平面上的點一樣多，甚至和地球上的點也一樣多等等。是不是覺得不可思議？
好吧，康託自己也說過，"我得到了它的結論，但是我不敢相信它。" 在他的集合論中，它對元素有無窮個的集合進行了分類．分成兩類，一類是元素能夠與整數形成一一對應關係的叫可數集合，另一類是無素不能與整數形成一一對應關係的叫不可數集合．基數，用來表示集合大小的，並定義了可數集合的基數是一個數，而不可數集合的基礎是另一個數，同時他證明了實數的基礎比正整數要大，進而在集合論的背景下邏輯嚴密的證明實數比正整數多．
這真似乎有悖常理了，部分竟然等於全體！但這確是事實！這告訴我們，"無窮"是不能用"有限"中的法則來衡量的，許多對"有限"成立的性質對"無窮"卻未必成立。我們生活在有限的世界中，但是我們思考無限的時候，整個有限世界的理論，就開始崩塌。而能夠接受這些理論的，才能夠開始學習高等數學。
在數學的世界裡，各種理論都是在不斷完善發展的，集合論同樣如此。儘管古典集合論解決了當時許多數學問題，但是經過數學家們的研究，古典集合論仍然存在著漏洞。
1903年，英國數學家羅素提出了著名的"理髮師悖論"（規定只給不會給自己理髮的理髮師，到底該不該給自己理髮），緊接著，各種悖論撲面而來，數學家們開始認識到古典集合論的巨大漏洞，間接引發了第三次數學危機。既然問題已經出現，就需要解決問題，數學家們紛紛需求解決方案，這就促使了數學家們用公理化方法和數理邏輯去重建集合論。
1908年，策梅洛建立了第一個公理集合系統，經過弗倫迪克、馮諾依曼等人的補充，得到了策梅洛——弗倫迪克公理系統，簡稱ZF系統，加上選擇公理後，又稱ZFC系統，一直沿用至今。從該系統中，可以導出古典集合論中所有的結果，並且排除了羅素悖論等各種已知悖論。
正如歐式幾何與非歐幾何一樣。哥德爾曾經提出著名的哥德爾不完備定理，打破了希爾伯特將數學公理化的願望，任何兼容性的體系，無法用於證明它本身的兼容性。也就是說，在公理集合論中，總會存在屬於該系統本身，卻又無法用該系統去證明的定理、假設等。
在當時，大家最能夠的接受的就是構造性證明，而這種邏輯性證明是不被大家認可的。康託把這種一一對應的概念推廣到判定無窮集合是否相同或不同的標準，於是得到了很多違背當時認知的東西。他的這一系列論文的發表，也標誌著集合論的誕生。
然後就在同時，保守主義者也在無情的批判和嘲諷他，說他是一個瘋子，甚至還有人身攻擊，但也有熱情的支持者。各種態度紛至沓來。例如德國數學家韋爾（Weyle）說他是霧中之霧。還有他的老師克羅內克，惡意的攻擊他，說康託是離經叛道，科學騙子，蠱惑青年，等等，甚至不承認康託是他的學生。
好吧，你可能現在會表示，這麼簡單的一個問題，為什麼我要嘚吧這麼久？
如果覺得這個問題太簡單的，那麼下一個問題：有理數和無理數那個多？
按照康託建立的法則，我們可以比較任何兩個無窮集合的數目的多少，而且可以得出許多驚人的結論。
簡要說明無理數個數為什麼遠遠多於有理數，這是因為，無理數集與實數集對等，有理數集與自然數集對等，對等的意思就是集合元素個數相等，實數集的勢是遠遠大於自然數的勢的。這就說明了無理數個數遠遠多於有理數。~~真的是這樣耶！
最後，說一下，集合論的創立，對整個數學的發展，意義重大，這是無法用語言去描述的。這裡本著讓大家去了解集合論的數學背景、影響力出發，儘量將集合論的發展歷程描述詳細，其中的數學錯誤可能在所難免。集合論體現現代數學思想，它以全新的手段考察數學的研究對象，既能見樹木，又能看到森林。對某一類問題的研究，像蘑菇一樣成堆成片地作出發現。鄰域、映射、線性空間、結構、群、環、域等一系列現代數學概念，都建立在集合論之上。今天集合論已成為整個數學大廈的基礎，康託也因此成為世紀之交的最偉大的數學家之一。
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