拉斐爾的數學密碼｜左圖右史

撰文 | 劉 鈍（清華大學科學史系教授）

蔣 澈（清華大學科學史系博士後）

《雅典學園》（The School of Athens）是文藝復興盛期藝術大師拉斐爾（Raphael，1483-1520）的傑作，完成於1511年。

畫面置身於一個拱頂大廳中，外觀類似當時正在建設的聖彼得大教堂內一角，拱頂兩側的大理石雕像分別是代表光明的阿波羅和代表智慧的雅典娜。

畫中有50來位人物，分佈在柏拉圖和亞里士多德為中心的四周，呈現了以古希臘為代表的西方古代文明傳統——這一學術脈絡從時間上延綿了一千多年、空間上跨越了歐亞非三大洲。

“學園” 指向這一文明傳統，而不是單指柏拉圖在雅典郊外創立的那所學校。最近有人稱這幅畫是 “17世紀以後被篡改為表現偽希臘哲學的”，那可真是無知者無畏了。

數，萬物之源

對於這幅名畫，歷來不乏研究者，畫中主要人物的身份，除了少數幾個形象有歧義外，大多已經確定 [1]。本文聚焦兩個與數學有關的人物，以圖像志（Iconography）的方法為其辨明正身——

他們就是認為數是萬物本原的畢達哥拉斯（Pythagoras,c.580-500 BC）與編纂完成《幾何原本》的歐幾里得（Euclid, 325-265 BC）。

Herrad of Landsberg,《七門自由藝術》（c.1180），原藏法國霍恩堡修道院。蘇格拉底與柏拉圖坐在哲學王的下面，四周是代表七種學藝的女神。

不過，古希臘並沒有名為 “數學” 的學科。柏拉圖在《理想國》第7卷借蘇格拉底之口講出 “能將靈魂引導到真理” 的四門學藝，順序是算術、幾何、天文和音樂，又提到畢達哥拉斯主張天文（為眼睛而造）與音樂（為耳朵而造）是 “兄弟學科”。

西方學者一般把 “四藝” 溯源到畢達哥拉斯，儘管直到公元6世紀 Quadrivium這個詞才出現在拉丁文獻中。除此之外，還有三門更基礎的文科學藝，分別是邏輯（雄辯術）、修辭與語法，相應的拉丁文 “三藝”（Trivium）則到公元8世紀才被使用。

古希臘文明的特徵之一是高度崇尚理性，而數學是最能體現理性精神的了。在《雅典學園》中，兩位古代偉大的數學家被安置在非常起眼的地方，也就是畫面前端標出的左右兩個幾乎對稱的方框內（見文首圖）。

位於左邊方框中的畢達哥拉斯正在一本攤開的大書上寫著什麼。這個道具有悖歷史——古希臘還沒有這樣裝幀齊整的書籍或筆記本。不過這一細節無關宏旨，文藝復興時代的作品中這類錯誤也比比皆是。

他身後是一位阿拉伯裝束的人，正彎腰俯看畢達哥拉斯書寫的文字，一隻手放在胸前顯出非常欽佩和虔誠的樣子。他就是12世紀生於西班牙科爾多瓦的穆斯林學者伊本·魯士德（Abū l-Walīd Muḥammad Ibnʾ Aḥmad Ibn Rushd, 1126-1198），因繼承和發展亞里士多德學說而有名，其拉丁名字阿威羅伊（Averroes）在西方更為人知曉。

還有一位老者蹲在畢達哥拉斯身後，一邊探身窺看他的筆記，一邊做著摘記。關於這個人物的身份有多種說法，我們認為最可能的是希臘-羅馬文明在中世紀的傳燈者波埃修（Boethius,c.477-524）。波埃修出身羅馬望族，生當西羅馬帝國滅亡、北方蠻族並起建立政權的亂世，被後人稱為 “最後一位羅馬哲學家” 和 “第一位中世紀經院哲學家”。他在邏輯、修辭、音樂、數學等方面均有著述，存世的有《音樂入門》、《算術入門》、《幾何入門》（殘）等，拉丁文 “四藝” 這個詞就是他創造的。

另外還有一位站立著的黃衣人，也轉過頭來注視畢達哥拉斯的工作，他就是愛利亞學派的創始人巴門尼德（Parmenides,c.515-445 BC）。我們現在要把讀者的注意力引到畢達哥拉斯左邊蹲著的一個年輕人那裡，他多半是畢老師的一位得意門生，手裡扶著一塊小黑板，這個小道具非常關鍵。

小黑板畫的是什麼？

不同於古代與中世紀畫師需在人物身旁標出姓名，拉斐爾是通過服飾、神態、形體和小道具來顯示畫中人物的，例如柏拉圖與亞里士多德，手中就分別拿著自己的作品《蒂邁歐篇》和《倫理學》。

以上提到的幾位哲人，多少都與畢達哥拉斯有關，而最能說明這組群像的中心角色非畢達哥拉斯莫屬的，就是他腳前的那塊黑板了。

那塊黑板上畫的是什麼？拉斐爾沒有留下說明，當時的人們似乎也沒有特別留意，連大名鼎鼎的瓦薩里（Giorgio Vasari,1511-1574）在他那本鉅著《意大利藝苑名人傳》中都沒有提及。

直到1695年，另一位意大利畫家兼藝術史家貝洛裡（Giovanni Pietro Bellori,1613-1696），才在一本專門分析拉斐爾畫作的書中給出清晰的線圖，此時距拉斐爾創作《雅典學園》的時間已近兩個世紀。

貝洛裡的書名有點長，大致可譯作《對烏爾比諾的拉斐爾所繪諸圖像之記述》

[2]。

貝洛裡是一位認真的作家，他的《當代畫家、雕刻家與建築師傳記》，與瓦薩里的書齊名，是又一部早期西方藝術史專著。

他曾擔任教皇克萊門特十世（Pope Clement X,1590-1676）的古物管理員，應該有機會近距離觀察和臨摹梵蒂岡宮簽字廳內的《雅典學園》。從下圖可以想見，貝洛裡很可能站在梯子上或坐在高臺上就近觀摩壁畫中的細節，從而臨摹成清晰的線圖來。

《雅典學園》所在的梵蒂岡宮簽字廳內，左側是拉斐爾同年完成的另一幅傑作《帕那索斯山》（1511）（圖源：維基百科）

下圖就是貝洛裡書中給出的清晰線圖，至今已經300多年了，但是有關的研究似乎不多，至少就我們眼界所及，尚未見到中文文字的介紹。原因很簡單：一般來說，美術史專家與一般歷史學家，沒有能力解讀圖像的科學內涵；而對古希臘文明有所瞭解的科學史家和哲學家，幾乎沒有人不讚嘆這幅名畫的，卻也忽略了對畫面細節的追究。

現代人要想解讀這幅圖像或揭示拉斐爾的本意，需要像丹·布朗暢銷書《達·芬奇密碼》《本源》中的主人公蘭登教授那樣，對符號與數字敏感並具備古代文化的背景知識。好在貝洛裡已為他的讀者作了詳細說明，我們在這裡只是充當搬運工而已。

星空響徹和諧的樂聲

貝洛裡的線圖可以分為上下兩部分，我們先來看上半部：看似連通管一樣的東西其實代表四根相互關聯的里拉（lyre）琴絃，最上面的希臘文ΕΠΟΓΔΟΩΝ（epogdoon）表示大二度音程 M2（9:8）；第二排四個羅馬數字6、8、9、12表示琴絃的長度；第三排的兩個希臘單詞都是ΔΙΑΤΕΣΣΑΡΩΝ（diatessaron）表示一個純四度音程 P4（4:3）；第四排的兩個希臘單詞ΔΙΑΠΕΝΤΕ（diapente）表示一個五度音程 P5（3:2）；最下面的希臘文ΔΙΑΠΑΣΩΝ（diapason）表示一個八度音程P8（2:1）。不同音程的組合可以用簡單的算術來表示，例如P5•P4 = P8，P5/P4 = M2。

一般認為，畢達哥拉斯（或以他命名的學派，以下不加區別）是西方研究和聲的始祖。據說他們發現絃樂發出的聲音取決於弦長，而兩根長度成整數比的同質料繃緊的弦會發出諧音。他們又將音樂與算術結合起來，將和聲的理論歸結為簡單的比例關係。[3] 例如，他們知道截取一根弦的2/3可以得到一個五度音，截取同一根弦的一半可得到一個八度音，由此得到一個 “和諧比例”（Harmonic proportion），這是因為1:1/2 = (1-2/3):(3/2-1/2)。[4]

他們還把行星的運動與音樂聯繫起來，認為天體在空間運動會發出聲音，越遠的行星移動速度越快發出的聲音也越高，整個星空響徹著和諧的樂聲。這一思想深刻地影響了歐洲後來的天文學家如開普勒（Johannes Kepler,1571-1630）等人。下圖是俄羅斯畫家布羅尼科夫（Fyodor Bronnikov，1827-1902）描繪的畢達哥拉斯及其門徒在和諧的樂聲中迎接日出的場景。

幾何形數

現在來看貝洛裡線圖的下部分：那是羅馬數字1堆砌的一個三角形以及表示其和的羅馬數字10，也就是畢達哥拉斯學派所說的幾何形數。

最簡單的幾何形數就是下圖所示的三角形數，它們依次為1、1+2、1+2+3、1+2+3+4 …，第n個三角形數是

1+2+3+…+n = (2/n)(n+1)

他們特別喜歡第四個三角形數，因為它的三邊數字之和是4，而畢達哥拉斯學派認為自然是四元性的，例如幾何學中的點、線、面、體，構成物質世界的土、水、氣、火四種元素等，他們用一個抽象的概念 “四象”（tetractys）加以概括。

第四個三角形數10在畢達哥拉斯學派那裡更有特殊的意義，他們相信10是一個理想數目，代表整個宇宙，可由10種對立統一的範疇來描述，即奇與偶，一與多，左與右，直與曲，正方與長方，有界與無界，雄與雌，善與惡，動與靜，光明與黑暗。

晚期畢達哥拉斯學派斷言移動的天體共有10個，宇宙的中心是一團火球（非火星），地球、太陽、月亮、五大行星，以及恆星所在的天球都圍繞它旋轉，這樣一共是9個球，還有一個反地球（counter-earth）位於中心火球的另一面以相同於地球的速度旋轉，因此地球上的人看不見它。[5]

古希臘沒有中國、印度那樣好的記數制度，因此畢達哥拉斯的幾何形數在某種程度上扮演著代數與數論的作用。下面是美國數學史家莫里斯•克萊因《古今數學思想》中給出的更多例子。

正方形數，依次為1, 4, 9, 16 … n²。如上圖在某個正方形數內畫一條斜線，可知兩個相鄰的三角形數之和等於一個正方形數，即(n/2)(n+1)+[(n+1)/2](n+2) = (n+1)²

如上圖在正方形數內畫一條成直角的折線，折線內側是一個正方形數，外側就是相應的矩形數，可以看出n2+(2n+1) = (n+1)² 和1+3+5+…+(2n-1) = n²

畢達哥拉斯的六邊形數

還有多邊形數，如上圖的五邊形數和六邊形數。第n個五邊形數是

1+(1+3)+(1+2•3)+(1+3•3)+…= (3n

²-n)/2

第n個六邊形數是

1+(1+4)+(1+2•4)+(1+3•4)+…= n(2n-1)

阿基米德，還是歐幾里得？

現在我們來看右邊方框中的群像，其中心是一個彎著腰在地面黑板上畫圖的禿頂長者。一般認為，這一形象的模特是拉斐爾的年長朋友布拉曼特（Donato Bramante, 1444-1514）。

布拉曼特是意大利當時最傑出的建築家之一，曾被教皇朱利葉斯二世（Pope Julius II,1443-1513）委任為聖彼得大教堂重建工程的總監，他的主要競爭者是米開朗基羅（Michelangelo,1475-1564）。在藝術上他當然不是後者的對手，因此極力推薦年輕的拉斐爾前來羅馬，為教皇的圖書館繪製包括《雅典學園》在內的諸多大型壁畫。

儘管被布拉曼特提攜並受到挑唆，拉斐爾對米開朗基羅極為佩服，特別是在目睹後者在聖西斯廷禮拜堂繪製的巨型穹頂畫（當時尚未全部完成）之後，《雅典學園》中的赫拉克利特（Heraclitus,c.535-475 BC）就是仿照米開朗基羅的模樣繪製的。

米開朗基羅生性孤傲，當時他被教皇及其下屬的各種要求攪得心煩意亂，一面還要承擔聖彼得大教堂工程的繁重任務，因此在凡人眼中是個脾氣暴躁落落寡合的人。

拉斐爾在《雅典學園》中以米開朗基羅的形象畫赫拉克利特，不知是自己親身體驗的一種宣洩，還是受到布拉曼特的影響。下面是《雅典學園》中的赫拉克利特，旁邊是米開朗基羅的弟子沃爾特拉（Daniele da Volterra,c.1509-1566）為他作的畫像。

關於畫中彎腰畫圖的人，有些人認為是公元前三世紀的數學家阿基米德（Archimedes,287-212 BC），包括貝洛裡都持這種看法。但是多數專家認為是更早一點的歐幾里得。至於這個人物的面部造型，有人認為很像布拉曼特，如果此說成立，那就是拉斐爾對介紹自己到梵蒂岡教廷來的伯樂的回報吧?

再看這位禿頂大師身前的四個年輕人，姿態不同，神情各異，很可能象徵著學習幾何學的四個階段：跪在前方的少年似乎是個初學者，正全身貫注地盯著黑板上的圖形；身後那位一手輕撫其後背，一手伸出食指，好像是在追隨導師的思路；當中那位猛然抬起頭看著同伴，似乎突然間領悟到解題的關鍵；上面那位神情淡定地望著黑板，顯得比其他三人更加自信，表明已經發現了真理。我們認為，編纂《幾何原本》的歐幾里得更接近數學教師這一身份，因此畫中人應該是歐幾里得。

至於歐幾里得在小黑板上畫的是什麼，貝洛裡在《記述》中給出瞭如下左方的圖像，右邊則是我們重構的幾何圖形：兩個相互疊合而方向顛倒的正三角形，如同猶太人的“大衛之星”一樣。

它看上去像一道普通的平面幾何練習題，圖中包含多個大小不一的正三角形和一類特殊的直角三角形，通過添加輔助線不難構造出更多的幾何關係，例如分別連接AB與CD，求證線段AB與CD平行且相等。從內容上來看，這應該屬於歐幾里得幾何學的前幾章；而阿基米德的數學主要涉及一些當時高深的問題，如曲邊形圍成的面積、旋轉體的體積等。不過此圖不見於歐幾里得的《幾何原本》，當然也不見於阿基米德的數學著作，很可能是拉斐爾自己的創作或從其他幾何學小冊子中臨摹過來的。

仔細觀察貝洛裡給出的圖形，我們發現那並不是嚴格意義上的“大衛之星”。實際上，那是一對全等的、反向交叉的等腰三角形，但不是正三角形。貝洛裡生活在壁畫完成不算過於久遠的年代，他也具備近距離觀摩甚至臨拓的條件，如果排除印刷引起變形這種可能，那麼這塊小黑板上的幾何關係就更加複雜了。實際上，已經有人在等腰三角形的假設下討論過這一道具與布拉曼特乃至整幅畫面背景的關係 [6]。為了聚焦論題和突出歐幾里得幾何學的教育意義，本文暫時沿用 “大衛之星” 的圖示。

和聲圖案是拉斐爾的創造？

拉斐爾的父親是烏爾比諾宮廷禮儀官，本人也算是一個畫家。拉斐爾在繪畫上的真正導師是佩魯吉諾（Pietro Perugino,1446/1452-1523），但是不久他的技藝就超過了師傅。1508年拉斐爾被招到梵蒂岡教廷的時候，佩魯吉諾也在為朱利葉斯二世作畫，教皇甚至讓拉斐爾塗掉佩魯吉諾剛完成的作品放手創作。

可以說，拉斐爾在幼年與學徒階段就感觸到人文主義思潮的脈動。但是他畢竟不是大學裡培養出來的學者，而創作像《雅典學園》那樣的巨型歷史壁畫，對於一個20多歲的青年畫師來說是一個艱鉅的挑戰。

教皇朱利葉斯二世要求拉斐爾分別以 “神學”、“法學”、“詩學” 和 “哲學” 為題，在自己圖書館的四面牆上繪製裝飾壁畫，這就是後來完成的《聖禮辯論》（1509-1510）、《三德頌》（1511）、《帕納索斯山》和《雅典學園》。

如同《雅典學園》一樣，前面三幅畫中也都包含大量歷史人物與當代文人：教皇、主教、教父學者、帝王、詩人、作家、畫家、音樂家等，當然也混雜著《聖經》和神話中的人物。

幸運的是，他的主顧朱利葉斯二世是一位熱愛歷史和藝術的人，被認為是羅馬天主教會史上最有作為的25位教皇之一。正是他開啟了聖彼得大教堂的重建工程，先後任用布拉曼特、米開朗基羅、拉斐爾等人從事美化梵蒂岡的工作。

而教皇的私人顧問紅衣主教畢別納（Cardinal Bibbiena, 1470-1520）更是一位卓越的人文主義學者。畢別納極為賞識拉斐爾的才華，還把自己的侄女許配給他。1513年朱利葉斯二世去世後，畢別納當年的學生、美第奇家族的利奧十世（Pope Leo X，1475-1521）繼承聖座，後者對拉斐爾寵愛有加，將聖彼得大教堂與梵蒂岡宮內的更多裝飾工作交付給他。

我們推測，在創作《雅典學園》等大型壁畫的時候，畢別納甚至朱利葉斯二世提供了一定的參考意見，特別是有關人物的特徵和歷史背景方面。不過就本文而論，我們最關心的還是畢達哥拉斯面前那塊畫板上的圖形，特別是有關和聲的那個圖案的來源，它是拉斐爾自己繪製的，還是另有所本？

畢達哥拉斯沒有著作流傳下來，後人提到的畢達哥拉斯或其學派的許多工作，大多由菲洛勞斯（Philolaus, c.470-c.385 BC）、柏拉圖、亞里士多德、尼可馬庫斯（Nicomachus of Gerasa, c.60-c.120 AD）、波埃修等人的記載所保存。尤其是被稱為新畢達哥拉斯學派代表人的尼科馬庫斯，通過《算術入門》與《和聲手冊》兩部書，詳盡介紹了幾何形數與和聲理論並將它們溯源至畢達哥拉斯。不過兩書皆以希臘文寫成，在拉斐爾那個時代拉丁譯本不會十分普及。

伽弗里奧與拉斐爾

伽弗里奧（Franchino Gaffurio, 1451-1522）是拉斐爾同時代的著名作曲家和音樂理論家，有很強的人文主義意識，與當時歐洲許多有名的音樂家均有來往。他也是意大利人，比拉斐爾大30來歲。達•芬奇（Leonardo da Vinci, 1452-1519）有一幅題為《音樂家》的肖像畫，專家們認為畫中人就是伽弗里奧。

伽弗里奧1492年出版的《音樂理論》，對從古希臘直到文藝復興時代的和聲理論作了詳盡論述，其中特別提到畢達哥拉斯將音樂歸於數學的思想 [7]。

下圖是伽弗里奧《音樂理論》中的一幅插圖，描繪畢達哥拉斯發現和聲與數字關係的場景。插圖共分四部分。

伽弗里奧《音樂理論》中有關畢達哥拉斯與和聲的插圖

左上角表現畢達哥拉斯經過一個鐵匠鋪，發現不同重量的錘子在鐵砧上敲擊發出悅耳的聲音，進而領悟和聲奧秘的傳說。專家們指出，這一後人杜撰的傳說不足為信，因為憑鐵錘的重量是無法確定音程的。

另外三個畫面分別表示畢達哥拉斯通過敲擊編鐘和盛水容器、調弄六絃琴、吹奏律管等方法來確定音程的故事，畫面中都有4、6、8、9、12、16這六個數字，它們對應不同器物的長度、重量或體積（高度）。

我們推測，拉斐爾看過伽弗里奧的書，《雅典學園》中畢達哥拉斯身前畫板上的圖案，很有可能受到上圖的啟發。

傑出的人文主義學者

通過《雅典學園》這幅畫與本文的分析，我們可以斷言：儘管受到教皇及其親密幕僚的青睞，拉斐爾並不排斥異教智慧；他對古代希臘、羅馬和中世紀的文化歷史有濃厚興趣，同時也崇拜當代的人文主義大師；他對算術、幾何、天文和音樂都有一定的瞭解，有高人指點可以運用、或自己就具備一定的拉丁文與希臘文知識。

拉斐爾自畫像與藏身於《雅典學園》中的拉斐爾

科學史家喜歡說，近代科學是文藝復興以來學者與高級工匠這兩大傳統密切融合的結果，他們中的多數人也會把當時的建築師與畫家視為第二種傳統的代表；但是在15世紀一些天才人物面前，如布魯內萊斯基（Filippo Brunelleschi，1377-1446）、弗朗切斯卡（Piero della Francesca，c.1415-1492）、達•芬奇、丟勒（Albrecht Dürer，1471-1528）等，這種兩分傳統似乎就不靈了，我們很難說他們只是高級工匠而不是學者。

80後小生拉斐爾何嘗不是如此？通過《雅典學園》等作品，他已顯示出一個傑出人文主義學者具備的大氣象。

（原題“《雅典學園》中的畢達哥拉斯和歐幾里得”，刊《數學文化》2019年第10卷第2期，微信版略有增補。）

參考文獻

[1] Dussler, Luitpold. 1971. Raphael: a critical catalogue of his pictures, wall-paintings and tapestries. London and New York: Phaidon. 更方便的檢索可見：Lahanas, Michael. The School of Athens, Who isWho? See

http://www.hellenicaworld.com/Greece/Science/en/SchoolAthens.html

[2] Bellori, G. P. 1751. Descrizione delleimagini dipinte da Rafaelle d'Urbino. Roma.

[3] Ferguson, Kitty.2008. The Music of Pythagoras: How an Ancient Brotherhood Cracked the Codeof the Universe and Lit the Path from Antiquity to Outer Space. New York:Walker & Company. pp.62-67.

[4] Smith, David E.1923. History of Mathematics. Vol.1. New York: Dover Publications.pp.75-76.

[5] 克萊因著. 張理京等譯. 1979. 古今數學思想. 第1冊. 上海：上海科學技術出版社.

[6] Valtieri, Simonetta. 1972. La Scuola d'Atene, "Bramante"suggerisce un nuovo metodo per costruire in prospettiva un'architetturaarmonica. Mitteilungen des Kunsthistorischen Institutes in Florenz. 16.Bd. H. 1. pp. 63-72.

[7] Gaffurius,Franchinus. 1492. Theorica musicae. Milan. 此書有多種不同文字的現代譯本。