前倆天分享了應用題的解法，很多讀者給我留言和點贊，給了我們很大動力，今天繼續分享，

16 正反比例問題

【含義】

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那麼這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關係叫做正比例關係。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關係叫做反比例關係。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

【數量關係】

判斷正比例或反比例關係是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米後，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

解 由條件知，公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

現已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當於（4－3）份，從而知公路總長為300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：這條公路總長3600米。

例2 張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？

解：做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關係

設91分鐘可以做X應用題則有28∶4＝91∶X

28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13

答：91分鐘可以做13道應用題。

例3：孫亮看《十萬個為什麼》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？

解：書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關係

設X天可以看完，就有24∶36＝X∶15

36X＝24×15X＝10

答：10天就可以看完。

17 按比例分配問題

【含義】

所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分佔總數量的份數，另一種是直接給出份數。

【數量關係】

從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數＝比的前後項之和

【解題思路和方法】

先把各部分量的比轉化為各佔總量的幾分之幾，把比的前後項相加求出總份數，再求各部分佔總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前後項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。

例1：學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？

解：總份數為47＋48＋45＝140

一班植樹560×47/140＝188（棵）

二班植樹560×48/140＝192（棵）

三班植樹560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。

例2：用60釐米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少釐米？

解：3＋4＋5＝1260×3/12＝15（釐米）

60×4/12＝20（釐米）

60×5/12＝25（釐米）

答：三角形三條邊的長分別是15釐米、20釐米、25釐米。

例3：從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，並規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少隻羊。

解：如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2

9＋6＋2＝1717×9/17＝9

17×6/17＝617×2/17＝2

答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。

例4：某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

解：80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）

答：三個車間一共820人。

18 百分數問題

【含義】

百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數量關係】

掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關係：

百分數＝比較量÷標準量

標準量＝比較量÷百分數

【解題思路和方法】

一般有三種基本類型：

（1）求一個數是另一個數的百分之幾；

（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。

例1：倉庫裡有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各佔原重量的百分之幾？

解：（1）用去的佔720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的佔6480÷（720＋6480）＝90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2：紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？

解：本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%

或者1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數比女職工少20%。

例3：紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？

解：本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此

（525－420）÷420＝0.25＝25%

或者525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數比男職工多25%。

例4：紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各佔全廠職工總數的百分之幾？

解：（1）男職工佔420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%

（2）女職工佔525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%

答：男職工佔全廠職工總數的44.4%，女職工佔55.6%。

19“牛吃草”問題

【含義】“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在於要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關係】

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數

【解題思路和方法】

解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1：一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解：草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：

（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等於原有草量加上20天內的生長量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內生長量

同理1×15×10＝原有草量＋10天內生長量

由此可知（20－10）天內草的生長量為

1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生長量為50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5天內草總量

5天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125

（4）求多少頭牛5天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數125÷5＝25（頭）

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2：一隻船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘

水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解：這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最後一問給出了人數（相當於“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：

（1）求每小時進水量

因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量

10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時內的進水量為1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小時的進水量為14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30

（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是

30÷（17－2）＝2（小時）

答：17人2小時可以淘完水。

20雞兔同籠問題

【含義】這是古典的算術問題。已知籠子裡雞、兔共有多少隻和多少隻腳，求雞、兔各有多少隻的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數量關係】

第一雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有

兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）

假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有

兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】

解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然後以兔換雞；如果先假設都是兔，然後以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。

例1：長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠裡。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？

解：假設35只全為兔，則

雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔數＝35－23＝12（只）

也可以先假設35只全為雞，則

兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

雞數＝35－12＝23（只）

答：有雞23只，有兔12只。

例2：2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

解：此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每隻雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每隻兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）

答：白菜地有10畝。

例3：李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？

解：此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有

作業本數＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）

日記本數＝45－15＝30（本）

答：作業本有15本，日記本有30本。

例4：（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少隻？

解：假設100只全都是雞，則有

兔數＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

雞數＝100－20＝80（只）

答：有雞80只，有兔20只。

例5：有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？

解:假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚

（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）

共有大和尚100－75＝25（人）

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

21 方陣問題

【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。

【數量關係】

（1）方陣每邊人數與四周人數的關係：

四周人數＝（每邊人數－1）×4

每邊人數＝四周人數÷4＋1

（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）?

內邊人數＝外邊人數－層數×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4

【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。

例1:在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？

解:22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學一共有484人。

例2:有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。

解:10－（10－3×2）?

＝84（人）

答：全方陣84人。

例3:有一隊學生，排成一箇中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？

解：（1）中空方陣外層每邊人數＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方陣內層每邊人數＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方陣的總人數＝14×14－6×6＝160（人）

答：這隊學生共160人。

例4：一堆棋子，排列成正方形，多餘4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？

解：（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）

（2）縱橫增加一層後正方形每邊棋子數＝（13＋1）÷2＝7（只）

（3）原有棋子數＝7×7－9＝40（只）

答：棋子有40只。

例5：有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

解：第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）

答：這個三角形樹林一共有15棵樹。

—— END ——

今天又寫了7個題型，想學習更多的知識，記得關注我哦，這次分享的21個經典應用題解法就分享完了，如果想了解更多的知識，可以私信我。

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