飛龍在天9783

公理是假設成立的，然後會得到很多很多的定理公式方法。在這些公理成立的世界裡都可以放心應用體系導出的所有定理和方法。現有的數學公理系統賀現實世界吻合較好，尚未觀察到反例，所以可以放心使用。公理系統並不是唯一的，例如是否把選擇公理納入體系。還有可構造的數學體系，會接受更少的對象。

數學公理體系還有一個優點，假設的不多，目前在用的體系已經證明是自洽的。比較而言，隨便拿一個法律體系，規定了很多東西，但是並不能證明自洽，所以還經常修改。

物理化學生物從觀察到的現象反推基本模型或者歸納出規律，因為觀察的侷限性，舊的理論有被證偽的可能。數學中已經檢驗通過的證明不會再證偽。因為數學不能證偽，有觀點不將數學歸類為科學。

數學和哲學也有不同，數學從公理推定理，哲學從現象反思原因，人的本身和思想是哲學重要研究對象，數學研究客觀邏輯規律

羅煒1428

公理的正確性不來自假設。我們假設1+1=3，並不因為我們這樣假設了，它就是正確的。

公理的正確性也不來自實踐。實踐生產不出來真理，就算天天實踐把石頭當飯吃，也是不會成功的。真理來自物自身，由事物自己決定。所以，馬克思主義的認識路線第一條就是一切從實際出發，真理就蘊含在實際中。

公理約束的世界，一般叫做體系，也可以叫做理的國度。公理總是在一個體系中，每個體系都有固定成員，成員之間有固定的關係。公理和定理，都是描述成員之間的關係的。

因此，理的國度與人的國度是相似的。公理類似憲法，定理類似法律。法律來自憲法，定理來自公理。憲法是哪裡來的？來自全體公民的共同意志，是每個人都同意的。公理則來自體系內成員的共同意志，是每個成員都同意的。

以自然數的加法運算體系為例，加法是自然數的一種行為，這種行為是要受約束的，約束它們的就是加法的公理和定理。這裡的公理和定理來自自然數本身的意志，是由自然數自己決定的，不是任何外在的力量決定的。如果對任何一個自然數例外，它就不是自然數加法體系的公理或者定理。因此，在這裡，保證定理與公理正確性的，就是自然數，而不是其它。

公理和定理之間的橋樑是邏輯推理，公理通過邏輯推理可以得出全部定理。憲法與法律的關係也類似。人們怎樣制定憲法，與自然數怎樣制定加法公理，道理是一樣的。

首先是要儘可能簡單，讓人能夠一目瞭然。其次是要儘可能嚴謹，就是足夠用，不至於用它推不出某個定理。當然，總有一些法律擦邊球行為，難以判定其是否合乎法律。同樣也總有一些加法問題，不能根據加法公理或者定理判定對錯，這就是哥德爾不完全性定理所說的。

因此，定理與公理並無本質區別，區別僅僅是公理處於推理的前提位置，而定理處於結論位置。至於公理的獨立性，並不是必須的，實用方便的公理體系中，公理經常是不獨立的。

公理和定理既然是公理體系的成員決定的，只要這些成員沒有發生變化，公理體系中的公理和定理就不會發生變化。天不變，道亦不變。因為道就是天道。但哪些做公理，哪些做定理，這卻是可以變化的。這也就是鐵打的衙門流水的官所說的道理。公理體系，僅僅是成員對約束自己的規則的邏輯化處理。因此，數學的根基並非公理，而是數學存在，就是數與形，數與形是永恆的存在，是無法消滅的。

由於數與形自己不會說話，需要人代言。代言人有時說錯話是正常的，但並不意味著數學系統自身有錯誤。數學大廈永不倒，這個和物質世界永不滅，是一個道理。人是萬物之靈長，是萬物最合適的代言人，也是最有能力糾正錯誤的存在，人類抽象出了數與形，但數與形有自己的規律，這是不以人的意志為轉移的，但人類對數學真理的認識卻是可以逐步深入的。這個深入過程，是認識中真理含量逐步增加的過程，而不是否定真理的過程。因此，科學的大廈只會越來越堅固，而不會傾倒。數學的公理體系也是一樣。

王新莊律師

先給答案：公理可以證明，公理的正確性在於公理可證實並且無反例。無法證實的命題是偽命題，有反例的命題也是偽命題。

公理是沒有反例而公認的真理

公理，即公認的真理，是經過實驗·觀測·統計之無數次證實而抽象出來被公認的科學命題。

公理絕不是哪個神棍、天才閉門造車、想當然莫須有的假設。無法證實的假設絕非公理。

邏輯公理、數學公理、物理公理以及基於物理公理的其它領域的公理，皆可證實而無反例。

形式邏輯公理，如同一律、排中律、不矛盾律、充足理由律等公理，皆可證實而無反例。

辯證邏輯公理，如原因vs結果、量變vs質變、等對立統一法則，皆可證實而無反例。

物理公理，牛頓三定律、萬有引力定律、質量·能量·動量·角動量·動量矩、熵增加原理，都在指定條件下可證實而無反例。

數學公理，如直線距離最短、平行線距離相等、勾股定理、圓周率定理、自然常數定理，都在指定條件下可證實而無反例。

可從具體到抽象，不可從抽象到具體

公設，是公認的假設。公理≠公設。不要把公設混同於公理。數學公設是對千差萬別的具體的近似或抽象。

從具體近似到抽象是一種簡化的操作技術，但不能誇大到用抽象取代具體。

公理與公設來自“體驗”或“經驗”。故分析法、綜合法、歸謬法，皆可證實之。這裡採用綜合法。

注意：定義是對類似事物給一個簡單的名稱或符號。語義學上叫命名或賦名，本質是異名同指，換一個說法。邏輯上叫從具體到抽象。數學上叫代換、投影、映射、迭代或拓撲。

尤其是以下幾個公設，不可以濫用，否則會引發數學危機、引發邏輯災難，即神邏輯。

公設1：點是沒有維度的位置或座標。

事實上，在現實世界中，我們不可能毫無偏差的確定並描述一個點。

畫筆的尖頭不可能無面積，我們只能在想象(即抽象)中認定它是點，這是切實可行的。

但是，

注意1：數學座標系的原點(0,0,0)中的三個零，只是作為測量基準點，不是虛無的零。因為這個點在空間裡可以存在，而：存在≠零。

在一維座標系裡，座標原點，代表把某個點位的實有值，看成測量基點。

溫度計是一維座標系，0℃(=273.15K)，不代表沒有溫度。絕對溫標0K也不代表沒有溫度，只是最低溫度而已。

同理，海拔高度計是一維座標系。零點海拔不代表沒有高度。地圖基於二維座標系，座標原點(0,0)的零，只是相對位置，不是不存在。

注意2：在描述微觀動力學參數時，諸如電子、質子、光子的半徑再小也有體積。你可以把它們近似為質點，但不能說它們無體積。

否則，它們的密度就會無窮大，就會導致神邏輯。課本上說“量子是零維全同化粒子”，這顯然是荒謬的。還有奇點論，也是神邏輯。

公設2：線是點的集合

如果我們把點是體積可忽略的質點，那麼公設2是可以成立的。但是如果按公設1，點的代數值是虛無的零，那麼公設2就是神邏輯。

公設2是說，若干個或無數個零的總和=任意線段長(L)，即：lim(n·0)(n→∞)=L，這成立麼？

如果基於公設2，說“面是線的集合”、“體是面的集合”，也是不成立的。

公設3：無窮小量等於零

在極限的δ-ε鄰域理論中，微分dx可以說dx→0或dx≈0，但不可以說dx=0，這個沒毛病。

顯然，dx是相當於1/∞的無窮小量，無窮小量，並非虛無零，而是可忽略不計的準零。

在極限運算中說“1/∞=0”，可以理解為足夠小或者可忽略，這點沒毛病。

在物質的分級操作時，不可以說1/∞=0。因為客觀世界裡，不存在無窮小的0。

公設4：無窮大與無窮小互為倒數

毫無疑問，無窮大對於極限操作，是必不可少的，例如：lim(1+1/n)ⁿ(n→∞)=e。

但是，這種數學思維是“無限逼近”，本質上還是近似操作，而不是“真有無窮大”。

顯然，無窮大在現實世界裡根本不存在，即使有無窮大，也是無法考證、無法認知的。

例如：無窮大的宇宙，可以想當然的有，但如果誰竟然寫出了宇宙方程，是無法驗證的。無法驗證的東西，是毫無意義的神邏輯。

廣義相對論的引力場方程，是一個典型的宇宙方程，當然也是無法驗證的。基於廣相的宇宙奇點爆脹論，也是無法驗證的。

廣相基於的閔氏空間與黎曼空間兩個模型，也是無法驗證的。時空怎麼膨脹或摺疊呢？

僅憑勾股關係式ds²=r²+(ict)²計算距離，就是想當然，這是要光走折線(見證i)，這不可能。

有人說“光經過太陽附近會彎曲說明時空彎曲”，這是偷換概念。太陽附近有高濃度的等離子態的“暈”。

光與暈電子碰撞，發生康普頓散射效應，這才是光彎曲的真實原因。這與空間是兩碼事。

結語

公理是公認的真理，是經過無數次驗證沒有反例的科學原理。如果說公理無法驗證，那麼與宗教神邏輯有什麼區別呢？

數學公設，只是一種近似或簡化處理的強制性規定。有特定的操作前提。不可濫用無度。

物理新視野

數學公理---一場沒有結束的戰爭。如何確認公理的？那麼到底什麼是公理，特別是數學公理呢？簡單地說，所謂公理就是出發點，也就是事情還沒開始，大家都約定肯定成立的前提條件。明晰數學知識體系的人，應該明白說數學的基礎是公理。平面幾何的基礎是歐幾里德的公理，定義自然數的是皮亞諾的五條公理，而現代數學的基礎則是策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理。

歐幾里德的公理

《幾何原本》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。公理指一種設定，討論問題的人不論誰都須同意這種假設，然後大家由此層層推理，依邏輯推衍而獲其結論，形成公眾認同之理，所謂幾何，不過如此。公理只有五條：

1、任兩點都可以用一條直線相連；

2、線段可以無限延長成一條直線；

3、可以以任意點為頂點，任意長度為半徑畫一個圓；

4、所有的直角都相等；

5、過直線外一點，有且只能做一條直線與已知直線平行。

看起來非常簡單的這5條公理就是歐式幾何的全部假設，從這5條假設，歐幾里德邏輯論證了465個命題。歐幾里得通過幾何原本勾畫出了整個歐氏幾何，也是我們中學學過的幾何內容。我們學的時候，看不出任何問題。

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公理系統相容完備性

1900年的世界數學大會是數學史上最光輝耀眼的數學盛會。甚至可以說是近代數學達到頂峰的一次集會。看看大會的陣營，你就會知道那次大會的厲害。大會主席是龐加萊（歷史上最後一位數學全才），埃爾米特（在超越數上貢獻無人可及的數學家）為名譽主席。發言的包括康托爾（集合論的發明者）和希爾伯特。特別是希爾伯特最後總結性發言直指數學發展的根本，這就是所謂的希爾伯特23個問題。

在希爾伯特（Hilbert）領導下，世界上第一流的數學家們進行了100多年的基礎彌補工作，但是直到今天，數學的基礎仍然是晃悠的，紮實基礎並未能完全建立起來。現在能夠做到的就是湊合：給集合論附加了一些公理，避免悖論矛盾（這就是公理化集合論）。

你要稍微看看希爾伯特的23個問題，你就可以感受到當時數學家的雄心（由於篇幅問題，偉崗這裡就不列出來這23個問題了）。23個問題中，好幾個都向世人發出一個信號，那就是要建立一個完美的數學體系。

其中第一個問題連續統假設，企圖把數的本性搞清楚。我們上篇講過，康托爾證明了無理數比有理數多，在數學上數學家把有理數集合叫可數集（為什麼被稱為可數，是因為數學家證明了有理數跟整數一樣多，也就是說有理數跟整數有一一對應的關係，由於整數1,2,3,4等等是可數的，所以有理數集合也叫做可數集），而無理數集合被成為實數集合。在可數集和實數集之間有沒有其它數的集合呢？這就是連續統假設想證明的。貌似這個問題很顯然是沒有，但要證明它就非常難了，可以說至今都沒有完美的答案。這說明數的性質還有很深的邏輯藏在我們沒想到的地方。

希爾伯特的第二個問題就直接向世人表示，我們有信心建立一個沒有紕漏的數學大廈，那就是證明算術公理的相容性。

現在希爾伯特提出要證明這個公理系統沒毛病，即是相容的。這是什麼意思呢？意思就是說，我們定下的這些公理條款，通過合邏輯的推導手段，不會推導出矛盾的結論。舉個例子說，我們不能用上面的十個公理（包括公設），最後證明兩個三角形又全等，又不全等，這樣就矛盾了。

還有另外一層意思就是說，有了這些公理，任何幾何方面的問題，我們都可以解決。這也叫做公理系統的完備性。不完備的公理系統，在希爾伯特眼裡也是不完美的。同樣簡單地說，一個幾何題，我們肯定是做得出來的，如果做不出來，那公理就不完備了。

其實，當時絕大多數人包括很多數學家，都認為證明公理系統相容完備性沒有意義，特別是歐氏幾何，都經過幾千年的考驗了，發生過證明出相矛盾的命題嗎？顯然沒有。有沒有不能證明的幾何命題？當時群論都發展起來，連最難的三等分角等的三個尺規作圖問題都解決了，似乎沒有任何幾何題，數學家沒有答案的。為什麼非要去證明所謂公理系統的相容和完備性呢？

最叫人擔心的就是數的公理，也就是希爾伯特在他的第二個問題中提到的算術公理。這套公理定義了數和數的運算規則，它又叫做皮亞諾公理，是意大利數學家皮亞諾提出的，公理總共有九條，粗看看也都是顯然的。不過由於希爾伯特時代，數論還是有很多懸而未決的問題，也許希爾伯特直覺感到皮亞諾公理體系有缺陷，所以提出要數學家來證明這個皮亞諾公理體系是相容完備的。

羅素悖論激發了羅素想建立有確定性數學體系的決心。因為有問題有困難才體現天才的價值，所以他提出了一系列公理，試圖化解這個集合悖論，並寫出了鉅著《數學原理》，企圖建立一個完美的數學體系，這個數學體系沒有悖論，一切由公理出發，所有問題都可以解決。

公理化方法,就是從儘可能少的無需定義的基本概念（例如集合論的基本概念只有集合（set），關係（relation），函數（function），等價（equivalence）等4個）和儘可能少的一組不加證明的原始命題（基本公理或公設）出發，應用嚴格的邏輯推理規則，用演繹推理得到基礎定理。

公理系統要求無矛盾性，完備性和獨立性。也即在公理系統中不能推出自相矛盾的結論，公理系統應儘可能多地推出這門科學中已經客觀存在的結論，最好是能推出全部的結論，要求基本公理不多不少，任何一條公理都不能從其他公理中推出來。

公理化的目的是在於通過一個演繹系統+基本概念+公理，獲得全部定理，確保學科的邏輯嚴謹。

公理化集合論是1908年德國數學家策梅羅（E.Zermelo）提出的，通過集合論公理化來消除悖論。他認為悖論的出現是由於康託沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的。策梅羅認為簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質更為顯然，這就是現代數學裡面的ZF公理系統（除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如馮諾伊曼提出的NBG系統等）。

具體來說ZF公理系統包括（由策梅洛和A.A.弗倫克爾提出）外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、無窮公理、分離公理模式、替換公理模式、正則公理和選擇公理。

用公理去刻畫研究的數學對象，現代數學，擁有多種不同的公理體系

公理體系並非不可動搖，所以我們當然可以選擇採用什麼公理體系。對於數學家來說，只要公理體系足以刻畫他們研究的數學對象，那就足夠了，採用哪一個其實無所謂。我們說平面幾何就是歐幾里德的公理，其實把一些公理換成等價的命題也未嘗不可，只是因為我們習慣了歐幾里德的提法。我們說定義自然數的是皮亞諾公理，同樣因為是皮亞諾第一個正確用公理刻畫了自然數，那就這樣用了。至於現代數學的基礎為什麼選取了策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理，純粹是因為這套公理足以讓大部分數學家能完成他們的工作，能在這套公理內表達他們研究的數學，所以就這樣了。

這就是數學研究的運作方式。選擇公理的歷史很好地說明了這一點。一開始，巴拿赫和塔斯基證明了，如果承認選擇公理的話，就可以將一個球切成幾塊非常奇怪的形狀（實際上是一堆很勉強才說得上連起來的點），然後重新拼合，得到兩個跟原來一模一樣的球。這又叫巴拿赫-塔斯基分球定理。但後來人們發現，如果不承認選擇公理，得到的結論會更奇怪，比如一個空間可以有兩個維度之類的，而且有很多之前的數學，不承認選擇公理的話根本表達不出來。所以人們還是接受了選擇公理。至於分球定理，實際上因為切成的形狀太奇怪，根本不能定義它的容積，所以現代數學家並不認為這是什麼大問題。

你可能會覺得，選擇公理既然引起過這麼大的爭議，它一定是個很複雜很麻煩的公理吧？但其實它非常簡單，無非就是說，一堆非空集合，必定可以各自選出一個湊在一起，組成一個集合。僅此而已。但即使是這樣“明顯”的公理，數學家也要爭論一番，正是因為他們一開始不清楚，自己所做的數學是否被這個公理刻畫。

再說現代數學的基礎。實際上除了策梅洛-弗蘭克公理體系之外，還有幾個不同的公理體系，它們定義的東西有著確實的差異。但對於大部分數學家來說，他們研究的數學無論建基在哪個公理體系上都可以，所以很多數學家並不關心邏輯根基到底是什麼，他們只需要知道有一個穩固的根基，那就可以了。

我們有這麼多的理論體系，部分原因也是某些數學家在進行研究時，覺得現有的體系不足以完成相應的工作，於是才從現有體系中構建新的體系。隨著相應數學分支研究的深入，新體系也就此固定了下來。

中學數學深度研究

應該這樣說，公理不應該是“無法被證明”，而是“不需要去證明”，公理推導出定理的基礎，是人們經過長期實踐總結出來的規律，本身就被大家默認就是正確的，無法被證偽的，本身也是自洽的，也就是說你找不出公理的錯誤在哪裡，既然無法證明是錯的，那就是對的！

比如說，最簡單的公理，兩點之間直線最短，這個我們都知道，這條公理可以說是幾何數學的基礎，不需要去證明，如果非要證明，仍一根骨頭給一隻狗，狗會沿著直線去追骨頭，狗都知道的道理還用去證明？

更重要的是，你真的找不出兩點之間比直線短的方式存在，不信你試試！

同時，邏輯上分析，“試圖證明公理是對的”這種想法本身就是錯誤的，也是不可能的。因為比如說你想證明公理甲，必然會有所依據（假設是依據乙），但你又如何證明依據乙就是正確的呢？你必須找到依據丙去證明依據乙的正確性……，如此無限循環下去！

所以，必然需要有一個不需要證明的公理存在，它是基礎，我們也不用公理推論出來的定理去證明公理，這本身就是矛盾的！

宇宙探索

很多人解釋的都有點問題。公理，它本身就沒有對錯之分，就更不用談錯誤了怎麼辦。

什麼是公理很多人都已經講過了，我們舉幾個例子就明白了。

1.比如說經典的連續統假設。

通俗來說，這個假設的問題是:是否存在一個集合，它的元素個數比有理數多，比實數少。

這個命題被證明是無法證明對錯的。數學家把這個假設分成了“存在”和“不存在”兩條公理，各自延伸出來了不同的理論。

所以你看，這兩條公理是完全矛盾的，在我們看來總會對一個吧？可事實就是，它們沒有對錯之分。

2.再舉個例子，抽屜原理。

在皮亞諾公理體系下，也就是自然數公理，抽屜原理顯然是正確的。可在量子力學裡，抽屜原理就是不成立的。但你能說自然數公理有問題嗎？恐怕也不能，但到底哪個對呢？好像也沒有對錯之分。

3.歐氏幾何和黎曼幾何

這個例子更明顯了。歐氏幾何裡有平行線，黎曼幾何裡沒有。哪個對？也是不分的，都是對的。

所以舉這幾個例子，想說明的就是，公理不是說它一定對，而是根本不分對錯，它只是一種假設罷了。你會懷疑一個假設是對還是錯嗎？

sAviOr本座

一個數學系統都是由一整套公理的集合組成的，在這個系統之中，公理是基本的規則，其他的規則都是從公理中演繹推導出來的，不能用自己的證明結果再反過來證明自己，因此，公理無法用系統內部的方法證明。公理的證明主要通過檢驗公理體系是否自洽來實現。所謂自洽有三個原則:

• 無矛盾原則 公理是一套推理規則，公理之間不能推理出相互矛盾的結果。比如，我的矛無堅不摧，我的盾堅不可破，這兩條公理相互矛盾，不成體系。
  
• 相互獨立原則 公理之間不能相互關聯，也就是說不能從一個公理中推導出其他公理的結果，哪怕是一部分也不可以。比如，廣告覆蓋了所有的媒體，跟廣告覆蓋了所有的時段，由於媒體跟時段之間存在相互重合的情況，這兩天公理也不成體系。
• 完備性原則 由公理推導出來的結果集應當包含所有的元素。比如，自然數公理系可以推導出全部自然數，不需要添加任何條件。

數學體系中都是通過了以上三原則的證明的，基本上沒有問題。但是，有個大牛居然證明了這三個原則本身有矛盾，這就是著名的哥德爾不完全性定理。該定理證明所有的邏輯體系都不可避免地存在矛盾。這個定理確實動搖了整個數學大廈，至今為止還沒有人能破解這個難題。不過，在有限公理的範圍內，這三個原則還是靠譜的。我們這些凡人大可不必去操那份閒心。

拋開數學，公理體系的運用充斥著我們的生活和工作。您寫報告的時候，也應該先按照上面的原則建立起來自己的公理系統，然後再運用邏輯推理的方法推導出結論。這三個原則在管理上叫做MECE原則，中文的意思是相互獨立，完全窮盡。

日衝信息 黃

數學中的公理指什麼？公理指人們從計量，實賤中總結的正確簡單直觀規律或知識，比如幾何中最簡單的兩點最少兩點可以確定一條直線，這不需要證明，因為人們通過無數次驗證，過兩點不可能有兩條以上直線，數學公理是一切定律規則的基礎，它具有簡單性，公認性，永恆性特點，是一種抽象中又具體的客觀存在，在生活實踐中能廣泛應用！數學可說是人們從實踐和事物中抽象出來一種關於數量與形狀哲學，具有亙古不變的道理，比如講從人類有記數的概念或符號以來，知道1十1=2，那麼從產生起，這個概念規則或公理原理一直從人類傳承下來，隨著人類社會的進步，絕對不會出現1+1=3或者以上的數，它是永恆的，不同的是原理的表現方式可能不同，在阿拉伯數字及一些運算符號沒有流傳到中國以前，可能在算盤上表現是一種形式，在甲骨文是一種形式，在漢字中可能是是一合一等同於二，或者還有大小寫不同形式，但他包含的意義是相同的，只不過阿拉伯數字記數運算方便簡單精確，又符合事物記數道理，所以阿拉伯數字在世界流傳普及，應用廣泛，這個1+1=2如何證明，主要是從應用中抽象出來顛破不變的真理，在同等條件下，從來不會出現謬誤，同等條件下，兩個1指代的事物是相同的，例如原來1只羊，又買來1只羊，現在總共2只羊，如果講原來1只羊，現在又買來1只狗，現在總共是2只畜類，所以講單位是必須是統一的，所以數學是包含在一切事物中的一些規律，屬於形而上謂之道的抽象原理！

瀟遙時光

什麼是公理?不加證明而予以承認且以之為基礎展開論證的最基本的命題叫做公理。在古典數學中，公理是經過人們長期實踐而總結出來的，其正確性是經過實踐檢驗的。如阿基米得公理:任意給定兩個正實數a、b，必存在正整數n，使na>b。又歐幾里得《幾何原本》中有個第五公設(也可認為公理)，內容為:若兩直線與第三直線相交，且在一側所成的同側內角之和小於二直角，則將這兩直線向該側適當延長後必相交。直到十九世紀，發現一種新的幾何，叫做非歐幾何，在其中第五公設不成立，這就是羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何。

金鈴154336842

不光是數學，對於所有的公理體系理論，因為休謨，所有的公理都不能被證明，但因為波普，所有的公理都能被證偽。所有的公理體系理論在被證偽之前都是正確的。在存在質量的空間裡，愛恩斯坦用黎曼幾何和廣義相對論證偽了歐氏幾何和等價於牛頓第二定律的重力方程。公理在沒有被證偽之前都是正確的。所以在廣義相對論被證偽之前暗物質的存在是勿用質疑的，因為暗物質的不存在與廣義相對論的正確性不相容。

關鍵字: 數學 體系 科學