艾伯史密斯
也算是对几十年数学学习的一个小结吧。
列一下从小到大给予我震撼的数学证明：
四年级：证明√2是无理数（亚里士多德），第一次接触反证法。另一类似的题是欧几里得证明素数有无限个。
六年级：3*3*3的立方体可否只用5刀（每次可以重组）切成27个单位小立方体？答案是不能（因为中心的单位立方体的6个面都需要刀切），这是我第一次学习寻找数学问题中的“不动点”，或者说是“特征值/函数”
初二（数竞班）：任意阶线性递归数列求通项。当时对这个“特征方程”深感神秘，直到后来上大学才意识到这是微积分的基本应用。
高一：证明有理数和自然数一样多，第一次接触到集合论和“一一对应法则”。
高三上：尽管高联拿到了省第一，但第二试的第二题只做出一半。这题本身不值一提，但当时让我意识到自己的数学水平还停留在冷兵器时代：还没有掌握“火药”，即微积分思想。
高三下（集训队）：证明无理数比有理数多（类似的：无穷集合幂集>原集），被康托尔精妙的“对角线方法”折服。
大一：e的一切，罄竹难书的美妙！微积分也从此变得有趣。
大二：欧拉公式的推导，你无法不对欧拉的敏锐和深刻顶礼膜拜。
大三：古希腊三大尺规作图问题不可解，五次以上方程没有一般根式解。天才伽罗华！抽象代数也是我最喜欢的数学课之一。
入行工作后第一年：算术编码理论，花一晚上看懂后大脑高潮了好久。
…
最近一次是几年前，看到绝对反常识的banach-tarski定理的证明，太tm漂亮了！
其实还有很多极其精彩的数学证明，不过大多超出了我的知识范围，只能不明觉厉。
帖木兒
看了几个回答谈到了反证法，想起了我一直的一个疑惑，和题目关系不是很大，我觉得反证法本身可能就有问题。
我高中的时候有一次数学练习题，有一道证明题，具体我忘了，总之大概就是给了一些条件，最后证明k>2，我当时就没有解出来，后来老师讲题的时候用的反证法，倒推后证明k<=2时与题目给定的条件不一致，所以k>2成立，其实这种题高中时倒也常见，但我当时突然有点疑问，就问了老师一个问题，如果我不去证明k<=2时不符合给定的条件，而是去证明k<=1时不符合给定的条件（这个肯定是成立的，因为k<=2的区间包含k<=1），那么这个题不就无法证明了？怎么确认“2”是恰好的分界点？也许还有"2.1"、“3”啊，老师让我证明一遍，我用反证法很快照着老师的思路证明k<=1时，不符合题目给定的条件，所以k>1(事实上，k>1包含k>2)，老师当时也有点懵，我当时学习不是那种很好的，老师就说让我别考虑别的数字，既然题目是2，就用2。所以，我一直到现在都觉得反证法本身是有局限的，甚至是有问题的。当然，一家之言，我本身数学也不大好，如果不对请勿喷，如果有人能解答疑惑，万分感谢。
看了很多回复，我觉得应该重申一下我要说的关键，我不是说这个题怎么样，我是对反证法这种证明方法有异议，因为这种证明题，一般都是根据条件推导出结论，几乎没用过反证法。如果把这个题改一下，其他条件都不变，但改成不知道结论的求解题，大家随便假设一个数，然后反证法证明了，这个过程也没有问题，但明显不对，再说如果我反证法证明了k>3，那算不算对？如果一个证明方法等得出很多不同的结果，还有什么意义？这里重点是那个恰好的节点，如果能证明2就是那个节点，那就不需要用反证法了。
流落星空
说一个小时候，寒木死活想不明白，仅靠记忆做题……
长大了，看到证明后，才心服口服的东东。
证明过程超级简单，小学三年级的人都能看懂。
除数不能等于零！
这是小学老师告诉我们的，但那时，他们很少告诉我们，这是为什么。
他们大多只会一边敲着黑板一边大喊：除数等于零，没有意义！没有意义！
这个“没有意义”实在是太难以理解了，折磨了寒木很长时间。
现在，我们用反证法来证明一下：
假设，0可以作为除数，则：
0×1=0
0×2=0
所以：
0×1=0×2
因为0可以作为除数，所以……
两边再除以0，得：
化简一下：
得：
1=2
矛盾，所以，0不能作为除数。
小学六年级的时候，如果老师能给我们这么证明一下，我们就不会去深入思考，那个“没有意义”到底是个什么意义了。
最后，来一个趣味题。
话说，有4个算命先生，分别是A、B、C、D先生。其中：
A先生：准确率10%，收费5元；
B先生：准确率45%，收费10元；
C先生：准确率60%，收费15元；
D先生：准确率80%，收费20元；
那么，你该选择哪个呢？既要追求准确率，还要追求性价比，能同时做到吗？
答案太容易了。
这样去思考，A先生的准确率只有10%，那就说明，他的错误率就是：
1-10%=100%-10%=90%
因此，你每次去找他算命，如果他说：
小伙子，你今年没有桃花运，要2020年才有哦。
则：
你今年拥有桃花运的概率是90%。
但你只需要花5块钱。
寒木钓萌
1.证明你妈是你妈
2.证明1=0.99999999999999999999999999999999999999999999999
3、证明e∧iπ+1=0
4、證明E=MC²
哇长门
生日悖论，一个班有50个学生，存在相同生日的概率为97%。怎么算的很简单，但就是结果让你想不到。
陈卓0119
有关数学公式的证明很多，下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。
（1）自然数的立方和=自然数之和的平方
上述等式的左边为自然数的立方和，等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式，但通过如下的图形很直观地就能证明上式：
把自然数立方和的图形平铺看来，其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方，所以就能证明上述等式成立。
（2）勾股定理
这个公式为勾股定理，我国在商朝时就已经发现了直角三角形的一个特例——勾三股四玄五，后来的中外数学家通过各种方法来证明这个公式。下面要介绍的是加菲尔德证法的变形方法，这可以很容易证明勾股定理：
大正方形的面积为：
(a+b)^2
大正方形的面积也等于四个三角形的面积以及小正方形的面积之和：
4×(1/2ab)+c^2
由此可得下式：
(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2
化简之后，即可得勾股定理：
a^2+b^2=c^2
（3）欧拉恒等式
这个公式就是著名的欧拉恒等式，它被誉为最美的数学公式。一个十分简单的公式就结合了数学中最重要的常数——自然常数e、虚数单位i、圆周率π、自然数1、自然数0，以及最重要的数学符号——加号+、等号=。
欧拉恒等式源自于如下的欧拉公式：
对欧拉公式的左边e^(iθ)进行泰勒展开可得：
再分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开可得：
显然，cosθ与sinθ之和刚好等于e^(iθ)，由此就能证明欧拉公式成立。再令欧拉公式中的θ=π，即可得下式：
e^(iπ)=-1+0
对上式进行移项，最终就可以推导出欧拉恒等式的常见形式。
（4）证明圆周率是无理数
圆周率是无理数的证明方法不少，下面要介绍的是数学家Ivan M. Niven给出的反证法，这种方法简单而又巧妙。
倘若π为有理数，必然存在整数a和b，使得下式成立：
π=a/b
构造如下两个函数：
其中n为正整数。
显然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都为整数。而且f(x)和f^k(x)都会满足f(x)=f(π-x)，它们都在x=0以及x=π处可积。
再构造函数G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，并对其进行求导可得：
对上式两边从0到π都进行积分可得下式：
因为F(0)以及F(π)都为整数，故F(π)+F(0)亦是整数。当x∈(0, π)时，显然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，并且f(x)sinx在[0, π]上的积分为正整数。
当x∈(0, π)时，显然有a-bx
裸猿的故事
数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天笔者举例几个经典让人拍案叫绝的异类证明，来说明在数学里证明有时也是可以耍流氓的。
1.勾股定理得的无字证明
这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。
最直观的证明：
实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。
2.欧拉的流氓证明法
在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：
这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。
3.几何平均值小于算术平均值
这是不等式中最重要和基础的等式：
它也可以通过图形来证明。
注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。
4.最受数学家喜爱的无字证明
1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。
它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。
5..棋盘上的数学证明
在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？
答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。
但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。
上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。
这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。
6.旋轮线的面积求解
车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。
这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？
他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。
在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。
中学数学深度研究
拍案叫绝的证明过程确实有，在【我和你妈同时掉河里你先救谁】的求证过程中，首先根据速度时间距离的关系，再通过年龄计算出肌肉的爆发力和滑动摩擦力，这样就可以得出年轻女朋友的速度大于你妈，女朋友应该走在前面，
再从河岸倾斜度，算出女朋友在加速度下入水的提前量，所要考虑的重点是你女朋友的体重，如果骨感，入水速度更快。
你妈作为中年妇女，体重应该大于你女朋友，这就要有准确的近似值考虑，以便估计你女朋友和你妈之间的距离差，你妈在速度不变的情况下，到达你女朋友的落水点需要多长时间?
通过证明可得，你女朋友和你妈同时掉河里，从理论上不存在，你女朋友首先不是个盲眼的，之所以掉河里，只有一种可能，你女朋友一路低头抠手机，在撩前任，私约，这种情况下，不可能和你妈并肩而行。
由此可知，你妈掉河里，为救你女朋友，早把生死置之度外。你女朋友说成你妈和她同时掉河里，是推卸责任，不懂感恩。
你在通过反复证明之后，应该作出正确选择，你妈入水较晚，离岸最近，是否舍近求远?
应该以最快速度，奋力把你妈推向岸边，让你妈上岸找到你女朋友的手机，把女朋友营救之后，立刻查看聊天记录，一切水落石出，起诉你女朋友前任故意绿人罪，或者连女朋友一起起诉，告她与前任合谋害死你亲妈。
一切会有的，一切会发生的，掉河里就掉河里呗，问君能有几多愁，恰似一江春水向东流，反正是离不开水，既然是水命，就水水算啦，还指望一个答案能让你女朋友海枯石烂咋滴?
