飞龙在天9783

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先给答案：公理可以证明，公理的正确性在于公理可证实并且无反例。无法证实的命题是伪命题，有反例的命题也是伪命题。

公理是没有反例而公认的真理

公理，即公认的真理，是经过实验·观测·统计之无数次证实而抽象出来被公认的科学命题。

公理绝不是哪个神棍、天才闭门造车、想当然莫须有的假设。无法证实的假设绝非公理。

逻辑公理、数学公理、物理公理以及基于物理公理的其它领域的公理，皆可证实而无反例。

形式逻辑公理，如同一律、排中律、不矛盾律、充足理由律等公理，皆可证实而无反例。

辩证逻辑公理，如原因vs结果、量变vs质变、等对立统一法则，皆可证实而无反例。

物理公理，牛顿三定律、万有引力定律、质量·能量·动量·角动量·动量矩、熵增加原理，都在指定条件下可证实而无反例。

数学公理，如直线距离最短、平行线距离相等、勾股定理、圆周率定理、自然常数定理，都在指定条件下可证实而无反例。

可从具体到抽象，不可从抽象到具体

公设，是公认的假设。公理≠公设。不要把公设混同于公理。数学公设是对千差万别的具体的近似或抽象。

从具体近似到抽象是一种简化的操作技术，但不能夸大到用抽象取代具体。

公理与公设来自“体验”或“经验”。故分析法、综合法、归谬法，皆可证实之。这里采用综合法。

注意：定义是对类似事物给一个简单的名称或符号。语义学上叫命名或赋名，本质是异名同指，换一个说法。逻辑上叫从具体到抽象。数学上叫代换、投影、映射、迭代或拓扑。

尤其是以下几个公设，不可以滥用，否则会引发数学危机、引发逻辑灾难，即神逻辑。

公设1：点是没有维度的位置或坐标。

事实上，在现实世界中，我们不可能毫无偏差的确定并描述一个点。

画笔的尖头不可能无面积，我们只能在想象(即抽象)中认定它是点，这是切实可行的。

但是，

注意1：数学坐标系的原点(0,0,0)中的三个零，只是作为测量基准点，不是虚无的零。因为这个点在空间里可以存在，而：存在≠零。

在一维坐标系里，坐标原点，代表把某个点位的实有值，看成测量基点。

温度计是一维坐标系，0℃(=273.15K)，不代表没有温度。绝对温标0K也不代表没有温度，只是最低温度而已。

同理，海拔高度计是一维坐标系。零点海拔不代表没有高度。地图基于二维坐标系，坐标原点(0,0)的零，只是相对位置，不是不存在。

注意2：在描述微观动力学参数时，诸如电子、质子、光子的半径再小也有体积。你可以把它们近似为质点，但不能说它们无体积。

否则，它们的密度就会无穷大，就会导致神逻辑。课本上说“量子是零维全同化粒子”，这显然是荒谬的。还有奇点论，也是神逻辑。

公设2：线是点的集合

如果我们把点是体积可忽略的质点，那么公设2是可以成立的。但是如果按公设1，点的代数值是虚无的零，那么公设2就是神逻辑。

公设2是说，若干个或无数个零的总和=任意线段长(L)，即：lim(n·0)(n→∞)=L，这成立么？

如果基于公设2，说“面是线的集合”、“体是面的集合”，也是不成立的。

公设3：无穷小量等于零

在极限的δ-ε邻域理论中，微分dx可以说dx→0或dx≈0，但不可以说dx=0，这个没毛病。

显然，dx是相当于1/∞的无穷小量，无穷小量，并非虚无零，而是可忽略不计的准零。

在极限运算中说“1/∞=0”，可以理解为足够小或者可忽略，这点没毛病。

在物质的分级操作时，不可以说1/∞=0。因为客观世界里，不存在无穷小的0。

公设4：无穷大与无穷小互为倒数

毫无疑问，无穷大对于极限操作，是必不可少的，例如：lim(1+1/n)ⁿ(n→∞)=e。

但是，这种数学思维是“无限逼近”，本质上还是近似操作，而不是“真有无穷大”。

显然，无穷大在现实世界里根本不存在，即使有无穷大，也是无法考证、无法认知的。

例如：无穷大的宇宙，可以想当然的有，但如果谁竟然写出了宇宙方程，是无法验证的。无法验证的东西，是毫无意义的神逻辑。

广义相对论的引力场方程，是一个典型的宇宙方程，当然也是无法验证的。基于广相的宇宙奇点爆胀论，也是无法验证的。

广相基于的闵氏空间与黎曼空间两个模型，也是无法验证的。时空怎么膨胀或折叠呢？

仅凭勾股关系式ds²=r²+(ict)²计算距离，就是想当然，这是要光走折线(见证i)，这不可能。

有人说“光经过太阳附近会弯曲说明时空弯曲”，这是偷换概念。太阳附近有高浓度的等离子态的“晕”。

光与晕电子碰撞，发生康普顿散射效应，这才是光弯曲的真实原因。这与空间是两码事。

结语

公理是公认的真理，是经过无数次验证没有反例的科学原理。如果说公理无法验证，那么与宗教神逻辑有什么区别呢？

数学公设，只是一种近似或简化处理的强制性规定。有特定的操作前提。不可滥用无度。

物理新视野

应该这样说，公理不应该是“无法被证明”，而是“不需要去证明”，公理推导出定理的基础，是人们经过长期实践总结出来的规律，本身就被大家默认就是正确的，无法被证伪的，本身也是自洽的，也就是说你找不出公理的错误在哪里，既然无法证明是错的，那就是对的！

比如说，最简单的公理，两点之间直线最短，这个我们都知道，这条公理可以说是几何数学的基础，不需要去证明，如果非要证明，仍一根骨头给一只狗，狗会沿着直线去追骨头，狗都知道的道理还用去证明？

更重要的是，你真的找不出两点之间比直线短的方式存在，不信你试试！

同时，逻辑上分析，“试图证明公理是对的”这种想法本身就是错误的，也是不可能的。因为比如说你想证明公理甲，必然会有所依据（假设是依据乙），但你又如何证明依据乙就是正确的呢？你必须找到依据丙去证明依据乙的正确性……，如此无限循环下去！

所以，必然需要有一个不需要证明的公理存在，它是基础，我们也不用公理推论出来的定理去证明公理，这本身就是矛盾的！

宇宙探索

数学公理---一场没有结束的战争。如何确认公理的？那么到底什么是公理，特别是数学公理呢？简单地说，所谓公理就是出发点，也就是事情还没开始，大家都约定肯定成立的前提条件。明晰数学知识体系的人，应该明白说数学的基础是公理。平面几何的基础是欧几里德的公理，定义自然数的是皮亚诺的五条公理，而现代数学的基础则是策梅洛-弗兰克公理体系加上选择公理。

欧几里德的公理

《几何原本》是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。公理指一种设定，讨论问题的人不论谁都须同意这种假设，然后大家由此层层推理，依逻辑推衍而获其结论，形成公众认同之理，所谓几何，不过如此。公理只有五条：

1、任两点都可以用一条直线相连；

2、线段可以无限延长成一条直线；

3、可以以任意点为顶点，任意长度为半径画一个圆；

4、所有的直角都相等；

5、过直线外一点，有且只能做一条直线与已知直线平行。

看起来非常简单的这5条公理就是欧式几何的全部假设，从这5条假设，欧几里德逻辑论证了465个命题。欧几里得通过几何原本勾画出了整个欧氏几何，也是我们中学学过的几何内容。我们学的时候，看不出任何问题。

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公理系统相容完备性

1900年的世界数学大会是数学史上最光辉耀眼的数学盛会。甚至可以说是近代数学达到顶峰的一次集会。看看大会的阵营，你就会知道那次大会的厉害。大会主席是庞加莱（历史上最后一位数学全才），埃尔米特（在超越数上贡献无人可及的数学家）为名誉主席。发言的包括康托尔（集合论的发明者）和希尔伯特。特别是希尔伯特最后总结性发言直指数学发展的根本，这就是所谓的希尔伯特23个问题。

在希尔伯特（Hilbert）领导下，世界上第一流的数学家们进行了100多年的基础弥补工作，但是直到今天，数学的基础仍然是晃悠的，扎实基础并未能完全建立起来。现在能够做到的就是凑合：给集合论附加了一些公理，避免悖论矛盾（这就是公理化集合论）。

你要稍微看看希尔伯特的23个问题，你就可以感受到当时数学家的雄心（由于篇幅问题，伟岗这里就不列出来这23个问题了）。23个问题中，好几个都向世人发出一个信号，那就是要建立一个完美的数学体系。

其中第一个问题连续统假设，企图把数的本性搞清楚。我们上篇讲过，康托尔证明了无理数比有理数多，在数学上数学家把有理数集合叫可数集（为什么被称为可数，是因为数学家证明了有理数跟整数一样多，也就是说有理数跟整数有一一对应的关系，由于整数1,2,3,4等等是可数的，所以有理数集合也叫做可数集），而无理数集合被成为实数集合。在可数集和实数集之间有没有其它数的集合呢？这就是连续统假设想证明的。貌似这个问题很显然是没有，但要证明它就非常难了，可以说至今都没有完美的答案。这说明数的性质还有很深的逻辑藏在我们没想到的地方。

希尔伯特的第二个问题就直接向世人表示，我们有信心建立一个没有纰漏的数学大厦，那就是证明算术公理的相容性。

现在希尔伯特提出要证明这个公理系统没毛病，即是相容的。这是什么意思呢？意思就是说，我们定下的这些公理条款，通过合逻辑的推导手段，不会推导出矛盾的结论。举个例子说，我们不能用上面的十个公理（包括公设），最后证明两个三角形又全等，又不全等，这样就矛盾了。

还有另外一层意思就是说，有了这些公理，任何几何方面的问题，我们都可以解决。这也叫做公理系统的完备性。不完备的公理系统，在希尔伯特眼里也是不完美的。同样简单地说，一个几何题，我们肯定是做得出来的，如果做不出来，那公理就不完备了。

其实，当时绝大多数人包括很多数学家，都认为证明公理系统相容完备性没有意义，特别是欧氏几何，都经过几千年的考验了，发生过证明出相矛盾的命题吗？显然没有。有没有不能证明的几何命题？当时群论都发展起来，连最难的三等分角等的三个尺规作图问题都解决了，似乎没有任何几何题，数学家没有答案的。为什么非要去证明所谓公理系统的相容和完备性呢？

最叫人担心的就是数的公理，也就是希尔伯特在他的第二个问题中提到的算术公理。这套公理定义了数和数的运算规则，它又叫做皮亚诺公理，是意大利数学家皮亚诺提出的，公理总共有九条，粗看看也都是显然的。不过由于希尔伯特时代，数论还是有很多悬而未决的问题，也许希尔伯特直觉感到皮亚诺公理体系有缺陷，所以提出要数学家来证明这个皮亚诺公理体系是相容完备的。

罗素悖论激发了罗素想建立有确定性数学体系的决心。因为有问题有困难才体现天才的价值，所以他提出了一系列公理，试图化解这个集合悖论，并写出了巨著《数学原理》，企图建立一个完美的数学体系，这个数学体系没有悖论，一切由公理出发，所有问题都可以解决。

公理化方法,就是从尽可能少的无需定义的基本概念（例如集合论的基本概念只有集合（set），关系（relation），函数（function），等价（equivalence）等4个）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（基本公理或公设）出发，应用严格的逻辑推理规则，用演绎推理得到基础定理。

公理系统要求无矛盾性，完备性和独立性。也即在公理系统中不能推出自相矛盾的结论，公理系统应尽可能多地推出这门科学中已经客观存在的结论，最好是能推出全部的结论，要求基本公理不多不少，任何一条公理都不能从其他公理中推出来。

公理化的目的是在于通过一个演绎系统+基本概念+公理，获得全部定理，确保学科的逻辑严谨。

公理化集合论是1908年德国数学家策梅罗（E.Zermelo）提出的，通过集合论公理化来消除悖论。他认为悖论的出现是由于康托没有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混的。策梅罗认为简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为显然，这就是现代数学里面的ZF公理系统（除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯诺伊曼提出的NBG系统等）。

具体来说ZF公理系统包括（由策梅洛和A.A.弗伦克尔提出）外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理和选择公理。

用公理去刻画研究的数学对象，现代数学，拥有多种不同的公理体系

公理体系并非不可动摇，所以我们当然可以选择采用什么公理体系。对于数学家来说，只要公理体系足以刻画他们研究的数学对象，那就足够了，采用哪一个其实无所谓。我们说平面几何就是欧几里德的公理，其实把一些公理换成等价的命题也未尝不可，只是因为我们习惯了欧几里德的提法。我们说定义自然数的是皮亚诺公理，同样因为是皮亚诺第一个正确用公理刻画了自然数，那就这样用了。至于现代数学的基础为什么选取了策梅洛-弗兰克公理体系加上选择公理，纯粹是因为这套公理足以让大部分数学家能完成他们的工作，能在这套公理内表达他们研究的数学，所以就这样了。

这就是数学研究的运作方式。选择公理的历史很好地说明了这一点。一开始，巴拿赫和塔斯基证明了，如果承认选择公理的话，就可以将一个球切成几块非常奇怪的形状（实际上是一堆很勉强才说得上连起来的点），然后重新拼合，得到两个跟原来一模一样的球。这又叫巴拿赫-塔斯基分球定理。但后来人们发现，如果不承认选择公理，得到的结论会更奇怪，比如一个空间可以有两个维度之类的，而且有很多之前的数学，不承认选择公理的话根本表达不出来。所以人们还是接受了选择公理。至于分球定理，实际上因为切成的形状太奇怪，根本不能定义它的容积，所以现代数学家并不认为这是什么大问题。

你可能会觉得，选择公理既然引起过这么大的争议，它一定是个很复杂很麻烦的公理吧？但其实它非常简单，无非就是说，一堆非空集合，必定可以各自选出一个凑在一起，组成一个集合。仅此而已。但即使是这样“明显”的公理，数学家也要争论一番，正是因为他们一开始不清楚，自己所做的数学是否被这个公理刻画。

再说现代数学的基础。实际上除了策梅洛-弗兰克公理体系之外，还有几个不同的公理体系，它们定义的东西有着确实的差异。但对于大部分数学家来说，他们研究的数学无论建基在哪个公理体系上都可以，所以很多数学家并不关心逻辑根基到底是什么，他们只需要知道有一个稳固的根基，那就可以了。

我们有这么多的理论体系，部分原因也是某些数学家在进行研究时，觉得现有的体系不足以完成相应的工作，于是才从现有体系中构建新的体系。随着相应数学分支研究的深入，新体系也就此固定了下来。

中学数学深度研究

公理的正确性不来自假设。我们假设1+1=3，并不因为我们这样假设了，它就是正确的。

公理的正确性也不来自实践。实践生产不出来真理，就算天天实践把石头当饭吃，也是不会成功的。真理来自物自身，由事物自己决定。所以，马克思主义的认识路线第一条就是一切从实际出发，真理就蕴含在实际中。

公理约束的世界，一般叫做体系，也可以叫做理的国度。公理总是在一个体系中，每个体系都有固定成员，成员之间有固定的关系。公理和定理，都是描述成员之间的关系的。

因此，理的国度与人的国度是相似的。公理类似宪法，定理类似法律。法律来自宪法，定理来自公理。宪法是哪里来的？来自全体公民的共同意志，是每个人都同意的。公理则来自体系内成员的共同意志，是每个成员都同意的。

以自然数的加法运算体系为例，加法是自然数的一种行为，这种行为是要受约束的，约束它们的就是加法的公理和定理。这里的公理和定理来自自然数本身的意志，是由自然数自己决定的，不是任何外在的力量决定的。如果对任何一个自然数例外，它就不是自然数加法体系的公理或者定理。因此，在这里，保证定理与公理正确性的，就是自然数，而不是其它。

公理和定理之间的桥梁是逻辑推理，公理通过逻辑推理可以得出全部定理。宪法与法律的关系也类似。人们怎样制定宪法，与自然数怎样制定加法公理，道理是一样的。

首先是要尽可能简单，让人能够一目了然。其次是要尽可能严谨，就是足够用，不至于用它推不出某个定理。当然，总有一些法律擦边球行为，难以判定其是否合乎法律。同样也总有一些加法问题，不能根据加法公理或者定理判定对错，这就是哥德尔不完全性定理所说的。

因此，定理与公理并无本质区别，区别仅仅是公理处于推理的前提位置，而定理处于结论位置。至于公理的独立性，并不是必须的，实用方便的公理体系中，公理经常是不独立的。

公理和定理既然是公理体系的成员决定的，只要这些成员没有发生变化，公理体系中的公理和定理就不会发生变化。天不变，道亦不变。因为道就是天道。但哪些做公理，哪些做定理，这却是可以变化的。这也就是铁打的衙门流水的官所说的道理。公理体系，仅仅是成员对约束自己的规则的逻辑化处理。因此，数学的根基并非公理，而是数学存在，就是数与形，数与形是永恒的存在，是无法消灭的。

由于数与形自己不会说话，需要人代言。代言人有时说错话是正常的，但并不意味着数学系统自身有错误。数学大厦永不倒，这个和物质世界永不灭，是一个道理。人是万物之灵长，是万物最合适的代言人，也是最有能力纠正错误的存在，人类抽象出了数与形，但数与形有自己的规律，这是不以人的意志为转移的，但人类对数学真理的认识却是可以逐步深入的。这个深入过程，是认识中真理含量逐步增加的过程，而不是否定真理的过程。因此，科学的大厦只会越来越坚固，而不会倾倒。数学的公理体系也是一样。

王新庄律师

很多人解释的都有点问题。公理，它本身就没有对错之分，就更不用谈错误了怎么办。

什么是公理很多人都已经讲过了，我们举几个例子就明白了。

1.比如说经典的连续统假设。

通俗来说，这个假设的问题是:是否存在一个集合，它的元素个数比有理数多，比实数少。

这个命题被证明是无法证明对错的。数学家把这个假设分成了“存在”和“不存在”两条公理，各自延伸出来了不同的理论。

所以你看，这两条公理是完全矛盾的，在我们看来总会对一个吧？可事实就是，它们没有对错之分。

2.再举个例子，抽屉原理。

在皮亚诺公理体系下，也就是自然数公理，抽屉原理显然是正确的。可在量子力学里，抽屉原理就是不成立的。但你能说自然数公理有问题吗？恐怕也不能，但到底哪个对呢？好像也没有对错之分。

3.欧氏几何和黎曼几何

这个例子更明显了。欧氏几何里有平行线，黎曼几何里没有。哪个对？也是不分的，都是对的。

所以举这几个例子，想说明的就是，公理不是说它一定对，而是根本不分对错，它只是一种假设罢了。你会怀疑一个假设是对还是错吗？

sAviOr本座

一个数学系统都是由一整套公理的集合组成的，在这个系统之中，公理是基本的规则，其他的规则都是从公理中演绎推导出来的，不能用自己的证明结果再反过来证明自己，因此，公理无法用系统内部的方法证明。公理的证明主要通过检验公理体系是否自洽来实现。所谓自洽有三个原则:

• 无矛盾原则 公理是一套推理规则，公理之间不能推理出相互矛盾的结果。比如，我的矛无坚不摧，我的盾坚不可破，这两条公理相互矛盾，不成体系。
  
• 相互独立原则 公理之间不能相互关联，也就是说不能从一个公理中推导出其他公理的结果，哪怕是一部分也不可以。比如，广告覆盖了所有的媒体，跟广告覆盖了所有的时段，由于媒体跟时段之间存在相互重合的情况，这两天公理也不成体系。
• 完备性原则 由公理推导出来的结果集应当包含所有的元素。比如，自然数公理系可以推导出全部自然数，不需要添加任何条件。

数学体系中都是通过了以上三原则的证明的，基本上没有问题。但是，有个大牛居然证明了这三个原则本身有矛盾，这就是著名的哥德尔不完全性定理。该定理证明所有的逻辑体系都不可避免地存在矛盾。这个定理确实动摇了整个数学大厦，至今为止还没有人能破解这个难题。不过，在有限公理的范围内，这三个原则还是靠谱的。我们这些凡人大可不必去操那份闲心。

抛开数学，公理体系的运用充斥着我们的生活和工作。您写报告的时候，也应该先按照上面的原则建立起来自己的公理系统，然后再运用逻辑推理的方法推导出结论。这三个原则在管理上叫做MECE原则，中文的意思是相互独立，完全穷尽。

日冲信息 黄

什么是公理?不加证明而予以承认且以之为基础展开论证的最基本的命题叫做公理。在古典数学中，公理是经过人们长期实践而总结出来的，其正确性是经过实践检验的。如阿基米得公理:任意给定两个正实数a、b，必存在正整数n，使na>b。又欧几里得《几何原本》中有个第五公设(也可认为公理)，内容为:若两直线与第三直线相交，且在一侧所成的同侧内角之和小于二直角，则将这两直线向该侧适当延长后必相交。直到十九世纪，发现一种新的几何，叫做非欧几何，在其中第五公设不成立，这就是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。

金铃154336842

数学中的公理指什么？公理指人们从计量，实贱中总结的正确简单直观规律或知识，比如几何中最简单的两点最少两点可以确定一条直线，这不需要证明，因为人们通过无数次验证，过两点不可能有两条以上直线，数学公理是一切定律规则的基础，它具有简单性，公认性，永恒性特点，是一种抽象中又具体的客观存在，在生活实践中能广泛应用！数学可说是人们从实践和事物中抽象出来一种关于数量与形状哲学，具有亘古不变的道理，比如讲从人类有记数的概念或符号以来，知道1十1=2，那么从产生起，这个概念规则或公理原理一直从人类传承下来，随着人类社会的进步，绝对不会出现1+1=3或者以上的数，它是永恒的，不同的是原理的表现方式可能不同，在阿拉伯数字及一些运算符号没有流传到中国以前，可能在算盘上表现是一种形式，在甲骨文是一种形式，在汉字中可能是是一合一等同于二，或者还有大小写不同形式，但他包含的意义是相同的，只不过阿拉伯数字记数运算方便简单精确，又符合事物记数道理，所以阿拉伯数字在世界流传普及，应用广泛，这个1+1=2如何证明，主要是从应用中抽象出来颠破不变的真理，在同等条件下，从来不会出现谬误，同等条件下，两个1指代的事物是相同的，例如原来1只羊，又买来1只羊，现在总共2只羊，如果讲原来1只羊，现在又买来1只狗，现在总共是2只畜类，所以讲单位是必须是统一的，所以数学是包含在一切事物中的一些规律，属于形而上谓之道的抽象原理！

潇遥时光

不光是数学，对于所有的公理体系理论，因为休谟，所有的公理都不能被证明，但因为波普，所有的公理都能被证伪。所有的公理体系理论在被证伪之前都是正确的。在存在质量的空间里，爱恩斯坦用黎曼几何和广义相对论证伪了欧氏几何和等价于牛顿第二定律的重力方程。公理在没有被证伪之前都是正确的。所以在广义相对论被证伪之前暗物质的存在是勿用质疑的，因为暗物质的不存在与广义相对论的正确性不相容。

關鍵字: 数学 严谨 教育