幾何中的摺疊最值問題是歷年中考命題的一大熱點與難點, 主要體現兩個模型應用。
模型1：摺痕過定點，摺疊前後線段相等（段BA'長度不變，A'的路徑為圓弧
思路：求A'C最小，轉化為BA'＋A'C最小利用三角形三邊關係求解。
模型2：摺痕摺痕經過兩條線的動點，摺疊前後線段相等（A'N+NC）為定值
思路：求BA'的最小值，轉化為求BA'＋A'N+NC的最小值，利用兩點之間線段最短求解。
典型考題
1．（2018秋•青山區期末）如圖，將等邊△ABC摺疊，使得點B恰好落在AC邊上的點D處，摺痕為EF，O為摺痕EF上一動點，若AD＝1，AC＝3，△OCD周長的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】如圖，連接BD，OB，
∵將等邊△ABC摺疊，使得點B恰好落在AC邊上的點D處，
∴EF是BD的對稱軸，∴OB＝OD，
∵AD＝1，AC＝3，∴CD＝2，
∵△OCD周長＝CD+OD+OC＝2+BO+OC，
∴當點B，點O，點C共線時，△OCD周長最小值＝2+BC＝5，
故選：B．
2．（2019秋•江陰市期中）如圖．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．E是邊AD的一個動點，將△BAE沿BE對摺至△BFE的位置，則線段DF的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】如圖，連接BD，∵AB＝6，BC＝8，∴BD＝10，
∵將△BAE沿BE摺疊後得△BFE，
∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠A＝∠EFB＝90°，
在△BFD中，DF≥BD﹣BF，
∴當點F在BD上時，DF的長最短，
∴DF＝BD﹣BF＝10﹣6＝4，故選：B．
3．（2019秋•碑林區校級月考）如圖所示，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝5．摺疊紙片使點A落在邊BC上的A′處，摺痕為PQ．當點A′在邊BC上移動時，摺痕的端點P、Q也隨之移動．若限定點P、Q分別在邊AB、AD上移動，則點A′在邊BC上可移動的最大距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】當點P與B重合時，BA′取最大值是3，
當點Q與D重合時，如圖所示：由摺疊的性質得：A'D＝AD，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠C＝90°，
∴A'D＝AD＝5，由勾股定理可求得得：A′C＝4，此時BA′取最小值為1．
則點A′在BC邊上移動的最大距離為3﹣1＝2．故選：B．
4．（2019春•西湖區校級月考）平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝BC＝2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C，則A'C長度的最小值是（ ）
A．√3B．2C．√7 -1D．1
【解析】如圖，連接MC，過點M作ME⊥CD，交CD的延長線於點E，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，AD＝BC＝2，
∵點M為AD的中點，∠A＝60°，
∴DM＝MA＝1，∠MDE＝∠A＝60°，
∴DE＝1/2，ME＝√3/2，
由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，可求得CM＝√7，
∵將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，
∴MA＝MA'＝1，
∴點A'在以點M為圓心，1為半徑的圓上，
∴當A'在MC上時，A'C的長度最小，
∴A'C長度的最小值＝CM﹣A'M＝ ﹣1．
故選：C．
5．（2019春•張家港市期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分別是直線AB，AD上的兩個動點，點E在邊CD上，DE＝2，將△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，連接PF，PC，則PF+PC的最小值為（ ）
A．6√2﹣2 B．8 C．10 D．8√2﹣2
【解析】作點C關於AB的對稱點H，連接PH，EH，如圖所示：
∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，DE＝2，
∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE＝6，CH＝2BC＝8，
∴由勾股定理可求得EH＝10，
∵點C與點P關於AB對稱，∴CP＝PH，∴PF+PC＝PF+PH，
∵EF＝DE＝2是定值，
∴當E、F、P、H四點共線時，PF+PH值最小，最小值＝10﹣2＝8，
∴PF+PC的最小值為8，故選：B．
6．（2019春•上杭縣期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝6．點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點．將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△GEF．則GC長的最小值是（ ）
A．2√10 -2B．2√10 -1C．2√13D．2√10
【解析】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點G在線段CE上時，GC的長取最小值，如圖所示
根據摺疊可知：GE＝AE＝1/2AB＝2．
在Rt△BCE中，BE＝1/2AB＝2，BC＝6，∠B＝90°，
7．（2019秋•江寧區期中）如圖，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．點E是AB的中點，點F是BC邊上的任意一點（不與B、C重合），△EBF沿EF翻折，點B落在B'處，當DB'的長度最小時，BF的長度為________．
8．（2019•河西區模擬）已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點M、N分別在邊AB、CD上，直線MN交矩形對角線AC於點E，將△AME沿直線MN翻折，點A落在點P處，且點P在射線CB上
（Ⅰ）如圖①，當EP⊥BC時，①求證CE＝CN；②求CN的長；
（Ⅱ）請寫出線段CP的長的取值範圍，及當CP的長最大時MN的長．
【解析】（Ⅰ）①證明：∵△AME沿直線MN翻折，點A落在點P處，
∴△AME≌△PME，∴∠AEM＝∠PEM，AE＝PE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AB⊥BC，
∵EP⊥BC，∴AB∥EP，∴∠AME＝∠PEM，
∴∠AEM＝∠AME，∴AM＝AE，
∵AB∥CD，∴AM/CN=AE/CE，∴CN＝CE；
②解：設CN＝CE＝x，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
（Ⅱ）解：由摺疊的性質得：AE＝PE，
由三角形的三邊關係得，PE+CE＞PC，∴AC＞PC，∴PC＜5，
∴點E是AC中點時，PC最小為0，
當點E和點C重合時，PC最大為AC＝5，
即CP的長的取值範圍是：0≤CP≤5，
如圖所示：當點C，N，E重合時，PC＝BC+BP＝5，∴BP＝2，
由摺疊知，PM＝AM，在Rt△PBM中，PM＝4﹣BM，
方法總結
在處理摺疊問題時，要認真觀察，充分發揮空間想象力，注意摺疊過程中，線段，角發生的變化，尋找破題思路．能運用轉化的數學思想方法解決問題,提高解題的靈活性,並學會歸納總結解題方法. 要注意的翻折和摺疊問題其實質就是軸對稱變換，具有以下性質：
1.翻折前的部分與翻折後的部分是全等圖形（對應角、對應邊相等）；
2.對稱兩點之間的連線被摺痕垂直平分；
3.對稱的兩點與對稱軸上任意一點連接所得的兩條線段相等；
4.對稱線段所在的直線與對稱軸的夾角相等.
解題過程中要充分運用以上結論，借住輔助線構造直角三角形，結合全等、相似、銳角三角函數、方程等知識來解決有關摺疊問題.
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