【最古老的數學問題】
在數學史上，一個最古老也最自然的問題是：求解一元多項式的根。二次多項式的根可以很容易地寫成，我們每個人在中學都見過其係數的根號表達式。二次多項式的解最早可以追溯到古巴比倫時期，而三次和四次多項式的情形直到16世紀才被解決。求解五次及以上的多項式的情形則複雜得多，幾百年間有無數人試圖解決它，然而得到的結果都被證明有錯誤。在那個年代這一問題看來似乎遙不可及，甚至連高斯都不相信它能被解答，以至於當他收到阿貝爾宣稱證明存在五次多項式不可解的信時將其棄之一旁，只留下一句這又是那種怪物的評論。
阿貝爾的工作揭示了高次方程與低次方程的根本不同，尋找一般的係數根號表達式的解的努力成為幻影，然而仍然存在一些特殊的高次多項式能夠用根式求解，如何區分能夠求解的和不能求解的多項式仍然是一個未決的問題。直到伽羅瓦的出現，才給出了這一問題的完全解答，徹底地解決了這一有著數千年曆史的難題。
然而，伽羅瓦的貢獻遠遠超過了這一問題本身，他為了解決它所發展出來的方法要遠比問題本身更重要。歷史上許多曾經盛行一時的理論和思想都漸漸淹沒在歷史的塵埃中被人遺忘，而那些大浪淘沙留下的東西卻往往歷久彌新，在今天依然閃閃發光。現在我們稱之為伽羅瓦理論的方法是數學發展的一個里程碑，它的意義和影響在其之後的歷史中不斷深化，指引我們走向某些最深刻的東西。
【不安分的數學天才】
伽羅瓦於1811年生於法國，他很早就顯現出了數學天賦，同時還有他不安分的性格。傳聞他曾在大學入學面試中將黑板擦扔向考官，只因為無法忍受對方的理解緩慢。他在政治上也十分活躍，並曾被趕出學校甚至被捕入獄。
伽羅瓦在18歲時便發現了後來以他名字命名的理論，並解決了多項式是否可解的問題，然而他的論文因為太過超前未被當時人們理解並被拒絕發表。他於20歲時便死於一場傳聞是與情敵間的決鬥。在決鬥的前夜，他似乎就預感到了自己的死亡，因此他將他的數學思想連夜寫下來寄給了一位朋友，而這些思想在他死後幾十年才漸漸地被人們吸收。
【抽象代數】
他的工作中引入了現代數學中極為重要的群和域的概念，這是抽象代數的萌芽。伽羅瓦的革命性在於其洞察到了多項式的解的對稱性可以由多項式本身觀察到而不必求解，而這一對稱性本身完全決定了其解是否存在根號表達式。為了描述對稱性，他引進了群的想法，這一基本的想法將我們的思維引入了更高的維度，在複雜而模糊不清又轉瞬即逝的現象中看見了永恆的背影，帶給我們一旦抓住就不會忘記的洞察力。
用現代的觀點來看，域是我們能做加減乘除的代數對象，一個多項式的解給出了一個域。研究多項式的解即可以看成研究尤其對應的域，這一抽象化引進了我們熟悉的關於有理數加減乘除的直覺，然而表面上它是一個比多項式的解更復雜的對象，很難想象怎麼在不求解多項式的情形下研究其對應的域本身。
伽羅瓦的天才在於做一個更深層次的抽象化，考慮從域到它本身的所有保持加法和乘法運算的映射，這一抽象的抽象看起來彷彿空中樓閣，然而正是在這裡，伽羅瓦看見了真正的深刻，彷彿雲端天堂的影子，那就是群的概念。這一更抽象的對象並不是一個無法理解的怪物，相反它有著最好的結構，最完美的對稱，它是一個群，我們稱之為伽羅瓦群。將其置於群論的框架下，我們立即就有了對其結構的洞見。它作為群，完美地描述了多項式的解的對稱性，一個多項式可解如果它的伽羅瓦群有一種非常特殊的群論性質，我們稱之為可解群。
伽羅瓦理論的一個奇蹟在於
儘管多項式的解通常無法計算，從解出發經過抽象再抽象得到的伽羅瓦群確是可以直接從多項式計算的，從而原則上我們可以去判定一個給定的多項式能否求解，層層抽象並沒有把我們帶向空中，反而將我們引向地面。這種抽象的思考方式深刻地影響了現代數學，代數方法的核心哲學即在於尋找合適的體系框架去描述對象最深層次的本質內涵，從而建立起連接表面極為不同的對象之間的橋樑，使得我們關於不同領域的直覺可以相互借鑑。這一抽象方法經過幾代最傑出的學者尤其是格羅滕迪克（詳見：《雲端的背影》）的發展在今天已經蔚為壯觀，解決了一些最困難的問題，揭示出了一些最深刻的方向，滲透進了許多不同領域。從某種意義上說，伽羅瓦最偉大的遺產在於提供了一種根本性的新視角。【影響深遠】
伽羅瓦的思想對於現代數學的影響是巨大的，僅僅是引進群的概念已經足以永載史冊，然而其影響遠不止此。其關於對稱性的強調將群論推向了數學舞臺的中心，
今天的數學和物理已經無法想象沒有群論的日子，比如規範場論即是用某些特殊的被稱為李群的群去描述物理上的對稱性。一個很神秘的聯繫在於伽羅瓦理論和拓撲學的關係，伽羅瓦群和拓撲中的基本群有著驚人的相似性，格羅滕迪克的etale基本群理論給出了一個初步的統一框架，為了更深一步理解它們的拓撲本質，格羅滕迪克提出了今天仍然神秘的Motive理論，伽羅瓦的理論在這裡可以看作是零維的特殊情況。另一個不同的角度在於伽羅瓦群即基本群完全決定了一類特殊的幾何對象，這是格羅滕迪克提出的anabelian理論，近年望月新一提出的新理論並宣稱證明abc猜想（詳見：《被雪藏五年的abc猜想論文將發表？》）即為這一方向的工作。算術和拓撲的交融是一個現代數學中非常深刻又神秘的現象，而伽羅瓦群在其中扮演著樞紐的角色。
在算術尤其是代數數論中，伽羅瓦群是最核心的對象，它與表示論的融合則是另一個現代數學的宏偉建築朗蘭茲綱領的夢想，其與上面提到的Motive理論也是有機結合在一起的，它們共同構成了現代我們稱之為算術幾何的領域中的一個壯闊的綱領藍圖。
這僅僅是伽羅瓦理論的現代演化的一部分，也許是最激動人心的一部分。某種意義上，數學中最深刻的與最迷人的部分在於它永恆的生命力，不斷深化的理解與不懈的追求沒有將我們引向狹隘的終點，卻是更廣闊的天地。
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