線段和差最值為初中階段熱門幾何模型考點之一，其探究應用貫穿初一至中考壓軸.但 形如"AB+kC"這樣的式子的線段和差最值一般更難，需要構造性求解，具體求解方法探究如下。
經典考題
1（2019秋•玄武區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+1/4PB的最小值為______．
【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，添加恰當輔助線構造相似三角形是本題的關鍵．
：如圖，在BC上截取CF＝1/2，連接PF，CP，AF，
∵DE＝4，P是DE的中點，
∴CP＝1/2DE＝2，
∵CP/BC=1/4， CF/CP=1/4，
∴CP-/BC=CF/CP，且∠FCP＝∠BCP，
∴△BCP∽△PCF，∴PF/BP=1/4，∴PF＝1/4BP，
2．（2019秋•常州期末）如圖，在平面直角座標系中，以O為圓心，6為半徑畫圓弧，與兩座標軸分別交於點A、B，已知點C（5，0）、D（0，3），P為AB上一點，則2PD+CP的最小值為_______．
【解析】在y軸上找一點E，使AE＝OE＝6，根據相似三角形的判定和性質即可求解．如圖所示，
在y軸上找一點E，使AE＝OE＝6，
∵D（0，3），∴OD＝3
∵∠DOP＝∠POE，OD/OP=OP/OE=1/2，
∴△DOP∽△POE,DP/PE=OP/OE=1/2.
∴PE＝2PD,2PD+CP＝PE+CP.
當點C，P，E三點共線時，2PD+CP的值最小，
3.(2019秋•山西期末）閱讀以下材料，並按要求完成相應的任務．
已知平面上兩點A、B，則所有符合PA/PB＝k（k＞0且k≠1）的點P會組成一個圓．這個結論最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，稱阿氏圓．
阿氏圓基本解法：構造三角形相似．
【問題】如圖1，在平面直角座標中，在x軸，y軸上分別有點C（m，0），D（0，n），點P是平面內一動點，且OP＝r，設OP/OD＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圓的關鍵解題步驟：
第一步：如圖1，在OD上取點M，使得0M：OP＝OP：OD＝k；
第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時CM即為所求的最小值．
下面是該題的解答過程（部分）：
解：在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM～△DOP．
任務：
（1）將以上解答過程補充完整．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內一動點，滿足CD＝2，利用（1）中的結論，請直接寫出AD+2/3BD的最小值．
【分析】本題屬於相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題，屬於中考常考題型
（1）在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，利用相似三角形的性質以及兩點之間線段最短解決問題即可．
（2）利用（1）中結論計算即可．
【解答】（1）在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM～△DOP．
∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，
∴PC+kPD＝PC+MP，當PC+kPD取最小值時，PC+MP有最小值，即C，P，M三點共線時有最小值，
4．（2019秋•東臺市期末）（1）初步思考：
如圖1，在△PCD中，已知PB＝2，BC＝4，N為BC上一點且BN＝1，試證明：PN＝1/2PC，
（2）問題提出：
如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD+1/2PC的最小值．
（3）推廣運用：
如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD﹣1/2PC的最大值．
【分析】本題考查圓綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬於中考壓軸題．
【解答】（1）證明：如圖1，
∵PB＝2，BC＝4，BN＝1，
（3）同（2）中證法，如圖3，
解題思路總結：
解題之道：折轉直;
解題之術：構造母子型相似;
解題之本：需要折線轉化為直線，並且把係數消掉，構造了兩個相似三角形實施轉化。
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