大家好！我是鳥叔！今天我們來介紹一下瓜豆原理部分的軌跡之線段篇！
二、軌跡之線段篇
【引例1】如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？
【分析】當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．
可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．
【引例2】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？
【分析】當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．
當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．
【模型總結】
必要條件：
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
結論：
P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等於∠PAQ（當∠PAQ≤90°時，∠PAQ等於MN與BC夾角）
P、Q兩點軌跡長度之比等於AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
【2017姑蘇區二模】如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD，以PD為邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是________．
【分析】根據△DPF是等邊三角形，所以可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8，故此題答案為8．
【2013湖州中考】如圖，已知點A是第一象限內橫座標為的一個定點，AC⊥x軸於點M，交直線y=-x於點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．
【練習】如圖，在平面直角座標系中，A（-3,0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．
【分析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線．
取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2．連接P1P2，即為P點軌跡．
根據∠ABP=60°可知：與y軸夾角為60°，作OP⊥P1P2，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3，所以OP=1.5．
【2019宿遷中考】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為 ．
【分析】同樣是作等邊三角形，區別於上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：
考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在G1位置，最終G點在G2位置（G2不一定在CD邊），G1G2即為G點運動軌跡．
CG最小值即當CG⊥G1G2的時候取到，作CH⊥G1G2於點H，CH即為所求的最小值．
根據模型可知：G1G2與AB夾角為60°，故G1G2⊥EG1．
過點E作EF⊥CH於點F，則HF=G1E=1，CF=1/2CE=1.5，
所以CH=2.5，因此CG的最小值為2.5．
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