難點之五 功與能
一、難點形成原因：
1、對功的概念及計算方法掌握不到位
高中學生剛接觸矢量與標量，對功有正負但又是標量不能理解，而在計算的時候，又不能準確應用公式，誤以為計算功套上該公式就萬事大吉，豈不知該公式一般僅僅適用於恆力做功。
2、不能靈活運用動能定理
動能定理是高中物理中應用非常廣泛的一個定理，應用動能定理有很多優點，但是同學對該定理理解不深，或者不能正確的分析初、末狀態，或者不能正確的求出合外力的功，或者不能正確的表示動能變化量，導致對該規律的應用錯誤百出。
3、對守恆思想理解不夠深刻
在高中物理學習過程中，既要學習到普遍適用的守恆定律——能量守恆定律，又要學習到條件限制下的守恆定律——機械能守恆定律。學生掌握守恆定律的困難在於：對於能量守恆定律，分析不清楚哪些能量發生了相互轉化，即哪幾種能量之和守恆；而對於機械能守恆定律，又不能正確的分析何時守恆，何時不守恆。
4、對功和能混淆不清
在整個高中物理學習過程中，很多同學一直錯誤的認為功與能是一回事，甚至可以互相代換，其實功是功，能是能，功和能是兩個不同的概念，對二者的關係應把握為：功是能量轉化的量度。
二、難點突破：
1、加深對功概念的理解、掌握功的常用計算方法
功是力對位移的積累，其作用效果是改變物體的動能，力做功有兩個不可缺少的因素：力和物體在力的方向上的位移，這兩個因素同時存在，力才對物體做功。尤其要明確，功雖有正負，但功是標量，功的正負不表示方向，僅僅是表示力做正功還是克服力做功。
功的常用計算方法有以下幾種：
（1）功的公式：，其中是力的作用點沿力的方向上的位移，該公式主要用於求恆力做功和F隨做線性變化的變力功（此時F須取平均值）
（2）公式，適用於求恆力做功，也適用於求以恆定功率做功的變力功。
（3）由動能定理求恆力做功，也可以求變力做功。
（4）根據F-s圖象的物理意義計算力對物體做的功，如圖5-1所示，圖中陰影部分面積的數值等於功的大小，但要注意，橫軸上方的面積表示做正功，橫軸下方的面積表示做負功。
（5）功是能量轉化的量度，由此，對於大小、方向都隨時變化的變力F所做的功，可以通過對物理過程的分析，從能量轉化多少的角度來求解。
例1：如圖5-2所示，質量為m的小物體相對靜止在楔形物體的傾角為θ的光滑斜面上，楔形物體在水平推力F作用下向左移動了距離s，在此過程中，楔形物體對小物體做的功等於( ).
A．0 B．mgscosθ C．Fs D．mgstanθ
【審題】在審查該題時，一定要注意到兩點：一是小物體與楔形物體相對靜止，二是接觸面光滑。
【解析】因為接觸面光滑，所以小物體只受重力和斜面的支持力，又小物體隨楔形物體一起向左移動，故二力合力方向水平向左，即重力和支持力的豎直分力平衡，小物體所受的合外力就是楔形物體對小物體支持力的水平分力，該力大小為mgtanθ，又物體向左移動了距離s，所以做功為mgstanθ，答案應選D。
【總結】利用楔形物體對小物體的支持力的豎直方向的分力與重力平衡條件，可求出支持力的大小，從而求出支持力的水平分力大小。
例2：一輛汽車在平直公路上從速度v0開始加速行駛，經時間t後，前進了距離s,此時恰好達到其最大速度vmax,設此過程中發動機始終以額定功率P工作，汽車所受阻力恆為F,則在這段時間裡，發動機所做的功為( ).
A．Fs B．Pt
C．mv2max+Fs-mv02 D．F··t
【審題】審題中要注意到，此過程中發動機始終以額定功率工作，這樣牽引力大小是變化的，求牽引力的功就不能用公式，而要另想他法。
【解析】因為發動機額定功率為P，工作時間為t,故發動機所做的功可表示為Pt，B正確；還要注意到求發動機的功還可以用動能定理，即W- Fs = mv2max-mv02，所以W= mv2max+Fs-mv02 ，C正確，所以本題答案應選BC。
【總結】本題易錯之處就在於容易把牽引力分析成恆力，而應用W=Fs求解。
例3：用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設木塊對鐵釘的阻力與鐵釘進入木塊內的深度成正比.在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內1 cm.問擊第二次時，能擊入多少深度？（設鐵錘每次做功相等）
【審題】可根據阻力與深度成正比這一特點，將變力求功轉化為求平均阻力的功，進行等效替代，也可進行類比遷移，採用類似根據勻變速直線速度-時間圖象求位移的方式，根據F-x圖象求功.
【解析】解法一：（平均力法）
鐵錘每次做功都用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恆力，其大小與深度成正比，F=f=kx,可用平均阻力來代替.
如圖5-3所示，第一次擊入深度為x1,平均阻力=kx1,做功為W1=x1=kx12.
第二次擊入深度為x1到x2,平均阻力=k（x2+x1）,位移為x2-x1,做功為W2=（x2-x1）= k（x22-x12）.
兩次做功相等：W1=W2.
解後有：x2=x1=1.41 cm,
Δx=x2-x1=0.41 cm.
解法二：（圖象法）
因為阻力F=kx,以F為縱座標，F方向上的位移x為橫座標，作出F-x圖象（如圖5-4所示），曲線上面積的值等於F對鐵釘做的功。
由於兩次做功相等，故有：
S1=S2（面積），即：
kx12=k（x2+x1）（x2-x1）,
所以Δx=x2-x1=0.41 cm
【總結】利用平均力求力做的功，或者利用F-x圖象求面積得到力做的功，這兩種方法應用不多，但在探究問題時應用較大，比如探究彈簧彈力做功的特點就可以用這兩種方法。
2、深刻理解動能定理，充分利用其優越性
動能定理不涉及物體運動過程中的細節，因此用它處理某些問題一般要比應用牛頓第二定律和運動學公式更為方便，同時它還可以解決中學階段用牛頓運動定律無法求解的一些變力問題和曲線運動問題，因此能用動能定理解決的問題（尤其是不涉及加速度和時間的問題）應儘量用動能定理解決。
應用動能定理解決問題時，要注意以下幾點：
（1）．對物體進行正確的受力分析，一定要做到不漏力，不多力。
（2）．分析每個力的做功情況，弄清每個力做不做功，是做正功還是負功，總功是多少。
（3）．有的力不是存在於物體運動的全過程，導致物體的運動狀態和受力情況都發生了變化，物體的運動被分成了幾個不同的過程，因此在考慮外力做功時，必須看清該力在哪個過程做功，不能一概認為是全過程做功。
（4）．當物體的運動由幾個物理過程組成時，若不需要研究全過程的中間狀態時，可以把這幾個物理過程看成一個整體過程，從而避免分析每個運動過程的具體細節，這時運用動能定理具有過程簡明、方法巧妙、計算簡單等優點。
例4：一列火車由機車牽引沿水平軌道行使，經過時間t，其速度由0增大到v。已知列車總質量為M，機車功率P保持不變，列車所受阻力f為恆力。求：這段時間內列車通過的路程。
【審題】以列車為研究對象，水平方向受牽引力F和阻力f，但要注意機車功率保持不變，就說明牽引力大小是變化的，而在中學階段用功的定義式求功要求F是恆力。
【解析】以列車為研究對象，列車水平方向受牽引力和阻力,設列車通過路程為s。根據動能定理：
【總結】發動機的輸出功率P恆定時，據P = F·V可知v變化，F就會發生變化，牽引力F變化，a變化。應對上述物理量隨時間變化的規律有個定性的認識，下面通過圖象給出定性規律。（如圖5-5所示）
例5：某地強風的風速是20m/s，空氣的密度是=1.3kg/m3。一風力發電機的有效受風面積為S=20m2，如果風通過風力發電機後風速減為12m/s，且該風力發電機的效率為=80%，則該風力發電機的電功率多大？
【審題】風通過風力發電機後速度減小說明風的動能轉化為電能，但要注意到減少的動能並沒有全部轉化為電能，還有一個效率問題。
【解析】風力發電是將風的動能轉化為電能，討論時間t內的這種轉化，這段時間內通過風力發電機的空氣是一個以S為底、v0t為高的橫放的空氣柱，其質量為m=Sv0t，它通過風力發電機所減少的動能用以發電，設電功率為P，則
代入數據解得 P=53kW
【總結】解決該類問題，要注意研究對象的選取，可以選擇t時間內通過風力發電機的空氣為研究對象，也可以選擇單位時間內通過風力發電機的空氣為研究對象，還可以選擇單位長度的空氣為研究對象。
例6：如圖5-6所示，斜面傾角為θ，滑塊質量為m，滑塊與斜面的動摩擦因數為μ，從距擋板為s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行.設重力沿斜面的分力大於滑動摩擦力，且每次與P碰撞前後的速度大小保持不變，斜面足夠長.求滑塊從開始運動到最後停止滑行的總路程s.
【審題】該題中滑塊初速度沿斜面向上，而且是一個多次碰撞問題，所以不可能用運動學公式解決，而每次碰撞沒有能量損失就暗示了可以考慮應用動能定理。
【解析】選取滑塊為研究對象，因為重力沿斜面的分力大於滑動摩擦力，所以滑塊最終一定停在擋板上，在此過程中，只有重力和摩擦力對滑塊做功，故由動能定理可得：
所以：s=
【總結】取全過程進行分析，應用動能定理解決該問題，可使該問題大大簡化，但一定注意分析力做功的特點，此題中，重力做正功且與路徑無關，摩擦力總做負功，與路程成正比。
3、緊扣守恆條件，抓住初末狀態，體現守恆法優越性
在物理變化的過程中，常存在著某些不變的關係或不變的量，在討論一個物理變化過程時，對其中的各個量或量的變化關係進行分析，尋找到整個過程中或過程發生前後存在著的不變關係或不變的量，則成為研究這一變化的過程的中心和關鍵。這就是物理學中最常用到的一種思維方法——守恆法。高中階段涉及到的守恆量主要有普遍意義的“能量”和條件限制下的“機械能”，這裡主要闡述一下機械能守恆定律的應用。
首先是機械能是否守恆的判斷，這是能否應用機械能守恆定律的前提。機械能守恆的條件是：只有重力或彈力做功。這句話本身很籠統，事實上可以這樣理解，要分析一個物體機械能是否守恆，可先對該物體進行受力分析，若該物體只受重力或彈力作用，則該物體機械能一定守恆，若受到其他的力，則看其他力是否做功，若其他力不做功，則機械能也守恆，若其他力也做功，再看這些力做功的代數和是否為零，若做功的代數和為零，則機械能同樣守恆。有時對系統來講，力做功的情況不好判斷，還可從能量轉化角度來判斷，若系統內只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式能的轉化，則系統的機械能守恆。
判斷清楚機械能守恆後，就可以根據機械能守恆的表達式列方程解決問題了，機械能守恆的表達式主要有以下幾種：
（1） 即機械能守恆的過程中，任意兩個狀態的機械能總量相等。
（2） 即機械能守恆時，系統增加（或減少）的動能等於系統減少（或增加）的勢能。
（3） 即由兩部分A、B組成的系統機械能守恆時，A部分增加（或減少）的機械能等於B部分減少（或增加）的機械能。
以上各式均為標量式，後兩個表達式研究的是變化量，無需選擇零勢能面，有些問題利用它們解決顯得非常方便，但一定要分清哪種能量增加，哪種能量減少，或哪個物體機械能增加，哪個物體機械能減少。
而對於能量守恆定律可從以下兩個角度理解：
（1）某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
（2）某個物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
例7：如圖5-7所示，一根長為l的輕繩，一端固定在O點，另一端拴一個質量為m的小球．用外力把小球提到圖示位置，使繩伸直，並在過O點的水平面上方，與水平面成30°角．從靜止釋放小球，求小球通過O點正下方時繩的拉力大小。
【審題】對本題要進行層層深入的分析方式，不要忽視了懸繩從伸直到對小球有拉力為止的短暫過程中，機械能的損失，不能直接對小球從初位置到末位置列機械能守恆的方程求最低點速度。
【解析】選小球為研究對象，其運動過程可分為三個階段如圖5-8所示：
（1）從A到B的自由落體運動．
據機械能守恆定律得：mgl=mvB2
(2)在B位置有短暫的繩子對小球做功的過程，小球的速度由豎直向下的vB變為切向的vB′,動能減小．
則有：vB′=vBcos30°
(3)小球由B點到C點的曲線運動，機械能守恆
則有：mvB/2+mgl(1-cos60°)= mvC2
在C點由牛頓第二定律得
T-mg=m
聯立以上方程可解得： T=mg
【總結】在分析該題時一定要注意繩在繃緊瞬間，有機械能損失，也就是說整個過程機械能並不守恆，不能由全過程機械能守恆定律解決該問題，但是在該瞬間之前和之後的兩個過程機械能都是守恆的，可分別由機械能守恆定律求解。
例8：如圖5-9所示，有一根輕杆AB，可繞O點在豎直平面內自由轉動，在AB端各固定一質量為m的小球，OA和OB的長度分別為2a和a，開始時，AB靜止在水平位置，釋放後，AB杆轉到豎直位置，A、B兩端小球的速度各是多少？
【審題】因為兩小球固定在輕杆的兩端，隨杆一起轉動時，它們具有相同的角速度，則轉動過程中，兩小球的線速度與半徑成正比。同時要注意到兩小球在轉動過程中，杆對它們都做功，即對每個小球來說，機械能並不守恆。
【解析】兩小球組成的系統與外界沒有能量轉化，該系統機械能是守恆的，故對該系統從水平到豎直的過程中可由機械能守恆定律得：
又：
所以可解得：
【總結】該題的關鍵之處在於，對每個小球來講機械能並不守恆，但對兩小球組成的系統來講機械能是守恆的。
例9：如圖5-10所示，皮帶的速度為3m/s，兩圓心距離s=4.5m，現將m=1kg的小物體輕放在左輪正上方的皮帶上，物體與皮帶間的動摩擦因數為μ=0.15，電動機帶動皮帶將物體從左輪正上方運送到右輪正上方時，電動機消耗的電能是多少？
【審題】在審題過程中要分析清楚小物體何時速度達到與傳送帶相同，二者速度相同之後，小物體就做勻速直線運動。即小物體在從左上方運動右上方的過程中可能一直做勻加速直線運動，也可能先做勻加速直線運動，後做勻速直線運動。
【解析】物體在相對滑動過程中，在摩擦力作用下做勻加速直線運動，
則，
相對滑動時間
物體對地面的位移
摩擦力對物體做的功
物體與皮帶間的相對位移
發熱部分的能量
從而，由能量守恆可得電動機消耗的電能為
【總結】在該題中，根據能量守恆可知，電動機消耗的電能最終轉化為物體的動能和系統產生的熱能，只要求出物體增加的動能和系統增加的熱能就不難求出電動機消耗的電能。
4、理解功能關係，牢記“功是能量轉化的量度”
能是物體做功的本領，功是能量轉化的量度；能屬於物體，功屬於系統；功是過程量，能是狀態量。做功的過程，是不同形式能量轉化的過程：可以是不同形式的能量在一個物體轉化，也可以是不同形式的能量在不同物體間轉化。力學中，功和能量轉化的關係主要有以下幾種：
（1）．重力對物體做功，物體的重力勢能一定變化，重力勢能的變化只跟重力做的功有關：，另外彈簧彈力對物體做功與彈簧彈性勢能的變化也有類似關係：。
（2）．合外力對物體做的功等於物體動能的變化量：——動能定理。
（3）．除系統內的重力和彈簧彈力外，其他力做的總功等於系統機械能的變化量：——功能原理。
例10：一質量均勻不可伸長的繩索，重為G，A、B兩端固定在天花板上，如圖5-11所示，今在最低點C施加一豎直向下的力將繩拉至D點，在此過程中，繩索AB的重心位置（ ）
A．逐漸升高 B．逐漸降低
C．先降低後升高 D．始終不變
【審題】在C點施加豎直向下的力將繩拉至D點，則外力對繩做正功。
【解析】在C點施加豎直向下的力做了多少功就有多少能量轉化為繩的機械能，又繩的動能不增加，所以繩的重力勢能增加了，即繩的重心位置升高了，所以本題正確答案為A。
l 【總結】功是能量轉化的量度，對繩做了功，繩的能量一定增加，此能量表現為重力勢能增加。
例11：如圖5-12所示，質量為m的小鐵塊A以水平速度v0衝上質量為M、長為、置於光滑水平面C上的木板B，正好不從木板上掉下，已知A、B間的動摩擦因數為μ，此時木板對地位移為s，求這一過程中：
（1） 木板增加的動能；
（2） 小鐵塊減少的動能；
（3） 系統機械能的減少量；
（4） 系統產生的熱量。
【審題】在此過程中摩擦力做功的情況是：A和B所受摩擦力分別為F1、F2，且F1=F2=μmg，A在F1的作用下勻減速，B在F2的作用下勻加速；當A滑動到B的右端時，A、B達到一樣的速度v，就正好不掉下。
【解析】 （1）對B根據動能定理得：
從上式可知：
（2）滑動摩擦力對小鐵塊A做負功，根據功能關係可知：
即小鐵塊減少的動能為
（3）系統機械能的減少量：
（4）m、M相對位移為，根據能量守恆得：
【總結】通過本題可以看出摩擦力做功可從以下兩個方面理解：
（1）相互作用的一對靜摩擦力，如果一個力做正功，另一個力一定做負功，並且量值相等，即一對靜摩擦力做功不會產生熱量。
（2）相互作用的一對滑動摩擦力做功的代數和一定為負值，即一對滑動摩擦力做功的結果總是使系統的機械能減少，減少的機械能轉化為內能：，其中必須是滑動摩擦力，必須是兩個接觸面相對滑動的距離（或相對路程）。
例12：如圖5-13所示，兩個相同質量m=0.2kg的小球用長L=0.22m的細繩連接，放在傾角為30°的光滑斜面上，初始時刻，細繩拉直，且繩與斜面底邊平行，在繩的中點作用一個垂直於繩且沿斜面向上的恆力F=2.2N。在力F的作用下兩球向上運動，小球沿F方向的位移隨時間變化的關係式為s=kt2（k為恆量），經過一段時間兩球第一次碰撞，又經過一段時間再一次發生碰撞…由於兩球之間的有粘性，當力F作用了2s時，兩球發生最後一次碰撞，且不再分開，取g=10m/s2。求：
（1）最後一次碰撞後，小球的加速度；
（2）最後一次碰撞完成時，小球的速度；
（3）整個碰撞過程中，系統損失的機械能。
【審題】本題過程比較麻煩，審題時要看到小球沿F方向運動的特點是初速為零的勻加速直線運動，則兩小球發生最後一次碰撞時，其速度和位移都就不難求解了。
【解析】（1）對兩小球整體運用牛頓第二定律，得：
（2）因為小球沿F方向的位移隨時間變化的關係式為s=kt2（k為恆量），所以是勻加速直線運動，則vt=at=1m/s。
（3）根據功能原理，有：
其中，代入數據，解得⊿E=0.242J。
【總結】本題貌似很難，但只要抓住其中的關鍵，如分析清楚小球沿F方向的運動情況、分析清楚全過程的能量轉化關係，明確力F做功消耗的能量轉化為兩小球的重力勢能和動能以及兩小球碰撞產生的熱量，然後由能量守恆就不難解決本題。
