最近有小夥伴問了這樣一道思考題：用1、2、3、4、5這五個數字組成一個兩位數和一個三位數。要使乘積最大，應該是哪兩個數相乘？要使乘積最小又是哪兩個數相乘呢？
相信很多同學為這道題傷了不少腦細胞，覺得這類型的題目，只能意會不可言傳。今天就請聽我為你一一道來其中的規律和奧秘。
01
一、所給數字個數為奇數個
下文以“用1、2、3、4、5這五個數字組成一個兩位數和一個三位數，使乘積最大、最小”為例來講解。
1、乘積最大情況
要使兩個數相乘乘積最大，必須符合下面兩個原則：
（1）大數儘可能排在高位；
（2）兩個數的差儘可能小。
根據這兩個原則，使乘積最大的算式可以如下具體操作：
（1）把這些數字按照從大到小的順序排列；如：5，4，3，2，1
（2）從左邊起，每兩位一分級；如：5，4，丨3，2，丨1
（3）大數後面跟小數，小數後面跟大數。即從左邊起第一級的兩個數字分別放在兩個乘數的最高位上。若一個乘數最高位放了第一級中的較大數，那麼該乘數後面跟剩餘每一級中的較小數；相應的另一個乘數最高位放了第一級中的較小數，那個該乘數後面跟剩餘每一級中的較大數。如：一個乘數排52……；另一個乘數排43……（有點繞口，請動筆試一試^_^）
此時同學們可能有疑問了，最後一級上還有一個數字1，放在哪個乘數里合適？
（4）最後一級中只有一個數字，則可以看做是剩下那個數字與“0”進行比較，剩下的數字比“0”大，所以這個數字排在第一級的較小數後面（也即為上文中的第二個乘數）。
因此，所排列出的兩個乘數分別為：52和143，此時乘積最大為52×143=7436。
同學們可以用上述方法驗證下面這道題。
用2，5，6，8，9這五個數字組成一個三位數和一個兩位數，乘積最大是95×862=81890。
這時有同學可能又會提出，這5個各不相同的數字中如果含有0，要怎樣排乘積才能最大呢？
按照上述方法，仍然將各不相同的5個數按照從大到小的順序排列起來，然後並分成3級，最後一級只有一個0，而0和“0”一樣大，故這個0可以放在任意一個乘數的後面。如：用0、2、3、4、5這五個數字組成一個兩位數和一個三位數，使乘積最大。先從大到小排列，並左起每兩位一級分級，5，4，3，2，0，則乘積最大的乘法算式為：52×430=22360或520×43=223600。
2、乘積最小情況
要使兩個數相乘乘積最小，必須符合下面兩個原則：
（1）小數儘可能排在高位；
（2）兩個數的差儘可能大。
根據這兩個原則，使乘積最小的算式可以如下具體操作：
（1）把這些數字從小到大排列起來；如：1，2，3，4，5
（2） 從左邊起，每兩位一級分級；如：1，2，丨3，4，丨5
（3）大數後面跟大數，小數後面跟小數。即從左邊起第一級的兩個數字分別放在兩個乘數的最高位上。若一個乘數最高位放了第一級中的較小數，那麼該乘數後面跟剩餘每一級中的較小數；相應的另一個乘數最高位放了第一級中的較大數，那個該乘數後面跟剩餘每一級中的較大數。如：一個乘數排13……；另一個乘數排24……
（有點繞口，請動筆試一試^_^）（4）最後一級中只有一個數字，則可以看做是剩下那個數字與“0”進行比較，剩下的數字比“0”大，所以這個數字排在第一級的較大數後面（也即為上文中的第二個乘數）。
因此，所排列出的兩個乘數分別為：13和245，此時乘積最小為13×245=3185。
同學們可以用上述方法驗證下面這道題。
用2，5，6，8，9這五個數字組成一個三位數和一個兩位數，乘積最小是26×589=15314。
如果5個各不相同的數字中如果含有0，要怎樣排乘積才能最小呢？
稍作比較就會發現5個各不相同的數字含有0，仍然先按從小到大的順序排列，並從左起分成三級，因為0不能放在最高位，所以0只能左起第二級。如：用0、2、3、4、5這五個數字組成一個兩位數和一個三位數，使乘積最小。先從小到大排列，把0放在左起的第三個數，並從左起每兩位一級分級，2，3，0，4，5，則乘積最大的乘法算式為：20×345=6900。
以上為所給數字個數為奇數個時乘積最大、最小的算式排列方法。
02
二、所給數字個數為偶數個
當數字個數是偶數時，方法則更為簡單。如果要排成乘積最大的算式，只要按以下的步驟即可。
下文以“用1，2，3，4，5，6這六個數字組成兩個三位數，使乘積最大、最小”為例來講解。
1、乘積最大情況
（1）把這些數字按照從大到小的順序排列；如：6，5，4，3，2，1
（2）從左邊起，每兩位一分級；如：6，5，丨4，3，丨2，1
（3）大數後面跟小數，小數後面跟大數。即從左邊起第一級的兩個數字分別放在兩個乘數的最高位上。若一個乘數最高位放了第一級中的較大數，那麼該乘數後面跟剩餘每一級中的較小數；相應的另一個乘數最高位放了第一級中的較小數，那個該乘數後面跟剩餘每一級中的較大數。乘積最大的乘法算式為：631×542=342002。
2、乘積最小情況
（1）把這些數字從小到大排列起來；如：1，2，3，4，5，6
（2）從左邊起，每兩位一級分級；如：1，2，丨3，4，丨5，6
（3）大數後面跟大數，小數後面跟小數。即從左邊起第一級的兩個數字分別放在兩個乘數的最高位上。若一個乘數最高位放了第一級中的較小數，那麼該乘數後面跟剩餘每一級中的較小數；相應的另一個乘數最高位放了第一級中的較大數，那個該乘數後面跟剩餘每一級中的較大數。乘積最小的乘法算式為：135×246=33210。
以上為所給數字個數為偶數個時乘積最大、最小的算式排列方法。
組數問題中乘積最大、最小，你都會了嗎？
