什麼是數列？
由若干個數，按照一定的順序排列組合成的一串數字就是數列。
比如：
①1，3，5，7，9，11，13，17 ；
②1，5，9，13，17，21，25，27，29；
③2，4，5，7，8，9，12，14，15，17，18，19；
如果一串數字中，任意相鄰的兩個數之間的差都相等，那麼我們就把這個數列叫做等差數列。
就像上面的①和②中：
①3－1＝2，5－3＝2，7－5＝2，9－7＝2；
②5－1＝4，9－5＝4，13－5＝4，17－13＝4；
通常把等差數列中的第一個數叫做首項，最後一個叫做末項，相鄰兩個數之間的差叫做公差，
在這個數列中的個數叫做項數。(有多少個數，就有多少項。)
我們來看一個例題，看看等差數列是怎麼來求和的？
例：如何來算：1+2+3+4+5+6+·······+97+98+99的和？
在這個題目中，從1到99的和，要怎麼來算呢？
先觀察這一串數，任意兩個數的差都是相等的，說明這是一個等差數列，一共有99項。
(1)假設法：假設我們在加一串和它一模一樣的數列。
那麼我們只需要把兩個數列總的數量，除以2，就是其中一個數列的總和了。
為什麼要加一串數列呢，這樣不是更麻煩了嗎？
其實，不然，仔細觀察上面的數列，你會發現，第一個數和最後一個數的和正好是100，如果我們給這個數列加上一個數列使他們所以的項數的和都是100，這樣我們不就好算的多了。
1 + 2 + 3 + 4+ 5+ 6+······+97+98+99
+
99+98+97+96+95+94+······+3 + 2 +1(假設新加的數列)
觀察這兩個數列，對應的數列，1+99，2+98，3+97，4+96·····97+3，98+2，99+1；
正好99個100，再除以2，就是我們所求數列的和
99×100÷2＝4950
這個數列的和是4950
(2)首尾相加：1+99，2+98，3+97·····46+54，47+53，48+52，49+51，還剩一個50沒有相加。一共是99項，每兩項相加還剩一項，也就是99÷2＝49····1
一共有49個100，再加上剩餘的50，就是這個數列的和。
49×100+50＝4950
這個數列的和是4950
從上面我們可以簡單得出等差數列求和的公式：
和＝(首項+末項)×項數÷2
例：求數列：3，5，7，9，11，13，15，17的和？
思路：因為數量不大，直接算也可以求出。也可以帶入公式計算。
①3+5+7+9+11+13+15+17＝80
②根據公式：和＝(首項+末項)×項數÷2
(3+17)×8÷2＝80
例：計算：6+6×2+6×3+6×4+····+6×500
思路：算有多少個6相加，把“6”給放到一邊，可以得出：
(1+2+3+4+······+500)×6
根據求和公式
(1+2+3+4+······+500)＝(1+500)×500÷2＝125250
125250×6＝751500
例：求等差數列：3，8，13，18······的第30項是多少？
思路：由於是等差數列，所以公差是5，
觀察上面，第二項是8(3+1×5)，第三項是13(3+2×5)，第四項是18(3+3×5)，
那麼第30項就是：3+29×5＝148
例：在數列：1，3，5，7，9······59一共有多少項？
思路：觀察上面相鄰的兩個數的差是2，所以是等差數列，
從1到59，相差2是下一個項數，也就是說，從59到1只有一半的的項數，
59÷2＝29·····1
還剩一個數，是59到1中間的數
所以一共有29+1＝30個項數
可以得出等差數列基本的換算公式：
末項＝首項+(項數－1)×公差
項數＝(末項－首項)÷公差+1
總結
適用範圍：只適用於等差數列中。
解題關鍵：確定已知量和未知量。已知有4個量，知道其中3個量，由公式可以求出其他量。
解題方法：根據題目中，數列的變化關係，找出不同，加以分析，巧妙的解答問題。
分組解題：等差數列按照一定的順序依次分組，沒組的和依然是等差數列。
如：2+4+6+8+·····+38+40+38+36+·····+8+6+4+2和是多少？
把上面數列分成三個組，
①2+4+6+8+····+36+38
②40
③38+36+······+8+6+4+2
因為①和③是相等的，算出①就可以知道③的和是多少。
根據換算公式，先求出項數，然後求①的和。
(38－2)÷2+1＝14
(2+38)×14÷2＝280
由①等於③＝280
求和①+②+③：
280+40+280＝600
非等差數列按照一定的規則分組後，變成幾個或幾個以上的等差數列
如：12×11－11×10+10×9－9×8+8×7－7×6+6×5－5×4+4×3－3×2+2×1和是多少？
思路：應用分組和提公因式的方法來計算。
先簡化數列，提公因式：
原式＝11×(12－10)+9×(10－8)+7×(8－6)+5×(6－4)+3×(4－2)+2×1
然後分組：
原式＝11×2+9×2+7×2+5×2+3×2+1×2
再提公因式
原式＝2×(11+9+7+5+3+1)
然後用公式計算，也可以直接計算。
2×((11+1)×6÷2)＝72
