布萊克-斯科爾斯模型是一種模擬金融衍生工具市場動態的數學模型。自1973年提出並於70年代和80年代加以完善以來，該模型已成為估算股票期權價格的標準。該模型背後的關鍵思想是，通過以正確的方式買賣基礎資產(如股票)來對沖投資組合中的期權，從而消除風險。這種方法後來在金融界被稱為“不斷修訂的三角洲對沖”，並被世界上許多最重要的投資銀行和對沖基金採用。
本文的目的是解釋布萊克-斯科爾斯方程的數學基礎，基本的假設和含義。
布萊克-斯科爾斯模型
布萊克-斯科爾斯模型是一種模擬金融市場動態的數學模型，其中包含了期權、期貨、遠期合約和互換合約等衍生金融工具。該模型的關鍵性質在於，它表明了一個期權，無論其標的證券的風險和預期收益如何，其價格都是唯一的。該模型建立在偏微分方程的基礎上，即所謂的布萊克-斯科爾斯方程，從中可以推導出布萊克-斯科爾斯公式，該公式從理論上對歐洲股票期權的正確價格進行了估計。
假設條件
最初的布萊克-斯科爾斯模型基於一個核心假設，即市場由至少一種風險資產(如股票)和一種(本質上)無風險資產(如貨幣市場基金、現金或政府債券)組成。此外，它假定了兩種資產的三種屬性，以及市場本身的四種屬性：
- 對市場資產的假設為：1：無風險資產的收益率是恆定的(因此實際上表現為利率)；2：根據幾何布朗運動，假定風險資產價格的瞬時對數收益表現為具有恆定漂移和波動的無窮小隨機遊動；3：風險資產不支付股息。
- 對市場本身的假設是：1：不存在套利(無風險利潤)機會；2：可以以與無風險資產利率相同的利率借入和借出任何數量的現金；3：可以買賣任何數量的股票(包括賣空)；4：市場上沒有交易成本(即沒有買賣證券或衍生工具的佣金)。
在對原有模型的後續擴展中，對這些假設進行了修正，以適應無風險資產的動態利率、買賣交易成本和風險資產的股息支出。在本文中，假設我們使用的是原始模型，除非另有說明。
布萊克-斯科爾斯方程
- 圖1所示，歐洲看漲期權價格相對於執行價格和股票價格的可視化表示，使用布萊克-斯科爾斯公式方程計算
布萊克-斯科爾斯方程是根據布萊克-斯科爾斯模型的動力學原理，在金融市場中支配歐洲股票期權價格演變的偏微分方程(PDE)。方程是：
- 方程1：描述歐洲看漲或看跌期權隨時間的價格的布萊克-斯科爾斯偏微分方程
其中V是期權的價格（作為兩個變量的函數：股票價格S和時間t），r是無風險利率（認為利率類似於從貨幣市場基金獲得的利率） ，而σ是基礎證券的對數收益率的波動性。如果我們把方程改寫成下面的形式
- 方程2：重寫了布萊克-斯科爾斯方程
然後左側表示期權V的價格隨時間t的增加而變化+期權價值相對於股票價格的凸度。右邊是由∂V/∂S組成的期權多頭和空頭的無風險回報。
布萊克-斯科爾斯公式
布萊克-斯科爾斯公式是布萊克-斯科爾斯偏微分方程的一個解，給出了下面的邊界條件(方程. 4和5)，它計算了歐洲看跌期權和看漲期權的價格。也就是說，它計算的是在未來預定日期以預定價格購買或出售某些基礎資產的權利的合同價格。在到期日(T)，歐式看漲期權(C)和看跌期權(P)的價值分別為：
- 式4：歐式看漲期權的價格
- 式5：歐式看跌期權的價格
布萊克和斯科爾斯證明，對於歐式看漲期權，在eq. 4和5給出的邊界條件下，布萊克-斯科爾斯方程(上面的eq. 1)解析解的泛函形式為：
- 方程6：布萊克-斯科爾斯公式，用於計算非分紅股票價格S的看漲期權C的價值
公式中涉及的因素為S =證券價格，T =到期日，t =當前日期，X =行使價，r =無風險利率和σ=波動率（基礎資產的標準差）。函數N（·）代表正態（高斯）分佈的累積分佈函數，可以認為是“隨機變量小於或等於正態分佈的輸入（即d 1和d 2）的概率”。作為概率，值N（·）的總和將始終在0≤N（·）≤1之間。輸入d1和d2由下式給出：
- 方程7
對於歐洲看跌期權(在未來預定日期以預先確定的價格出售某些基礎資產的權利而非義務的合約)，其等價的功能形式為：
- 方程9：對於價格為S的非股息支付股票，看跌期權C的價值的布萊克-斯科爾斯公式
例如：計算歐式看漲期權的價格
為了計算歐式看漲期權的價格應該是多少，我們知道我們需要上述方程6所要求的5個值。它們是：1.股票的當前價格，2.看漲期權的執行價格(X)， 3.截止時間(T - t)， 4.無風險利率(r)和5.股票的波動,由歷史日誌返回的標準偏差(σ)。
估計特斯拉看漲期權的價值，我們需要的前四個值很容易獲得。
假設我們對特斯拉股票($TSLA)的看漲期權感興趣，該股票將於2019年第三季度收益到期，其價格將比當前股價高出20%。查看2019年7月13日在雅虎財經上特斯拉的納斯達克上市($TSLA)，我們發現其股價為S = $245。將當前價格乘以1.2得到的執行價格比當前交易的股票高出20%，X = 294美元。谷歌一下，我們發現其第三季度財報電話會議的日期是10月22日，這給了我們10月22日至7月13日之間的到期時間= 101天。作為無風險利率工具的主體，我們將使用美國10年期政府債券，目前的收益率為2.12%。
我們得到S = 245 X = 294 T - t = 101， r = 0.0212。唯一缺少的值是對股票波動率（σ）的估計。
我們可以通過觀察股票的歷史價格來估計任何股票的波動率，或者，更簡單地，通過計算相同股票在不同期限/到期日(T)和執行/執行價格(X)的其他期權價格來估計（如果我們知道它們是根據布萊克-斯科爾斯模型設置的）。結果值σ是介於0和1之間的數字，表示市場對股票的隱含波動率。
隱含波動率
儘管瞭解期權發行者是如何獲得看漲期權和看跌期權的價格是一件有趣的事情，但作為投資者，很難“不同意”這些價格本身，而且很難將這些知識轉化為可操作的投資理論。
但是，如果我們將期權的價格視為已知的獨立變量，則可以從布萊克-斯科爾斯公式中得到很多好處。這是因為，布萊克-斯科爾斯方程將成為一種工具，可以幫助我們瞭解市場如何估計股票的波動率，也稱為期權的隱含波動率。這是我們可以不同意見並進行交易的信息。
美式期權
由於美國期權可以在到期日之前的任何日期執行，因此比處理歐洲期權要困難得多。首先，由於最優執行策略會影響期權的價值，因此在求解布萊克-斯科爾斯偏微分方程時需要考慮這一點。根據布萊克-斯科爾斯方程，美國期權沒有已知的“封閉形式”解。不過，也有一些特殊情況：
- 對於不支付股息的基礎資產的美國看漲期權，美國看漲期權的價格與歐洲看漲期權相同。這是因為在這種情況下，最優的行使策略是不行使期權。
- 對於在其生命週期內確實支付一項已知股息的基礎資產的美國看漲期權，儘早行使該期權可能是最優選擇。在這種情況下，根據所謂的Roll- geske - whaley方法：
首先，通過研究以下不等式是否滿足，來檢驗提前行使期權是否最優：
- 方程10
S =股票價格，X =行使價格，D₁=支付的股息，t =當前日期，t₁=支付股息的日期，T =期權的到期日。
C（·）是非股息支付歐洲股票期權（eq x）的常規布萊克-斯科爾斯公式，則美國看漲期權的價值由相同方程式給出，其中股票價格（ S）為：
- 方程11：當不等式(eq.8)沒有被滿足時，美國看漲期權的價值
如果滿足了不等式，那麼早期的操作就是最優的，美國看漲期權的價值是由下面這個糟糕而又混亂的方程給出的(我試著把它按每一項分開，以使其更具可讀性)：
- 方程12：當不等式(式10)滿足時，美國看漲期權的價值
S =股票價格，T =期權到期日，X =行使價格，r =無風險利率，σ=波動率（股票歷史收益的對數的標準偏差），D =是股息支出。另外，ρ由下式給出：
- 方程13
a₁，a 2由下面的式子確定：
- 方程14
- 方程15
b₁, b₂ 由下面的式子確定：
- 方程16
- 方程17
侷限性
毋庸置疑，考慮到上述假設以及我們自己對無風險利率（r）的數值估計的固有侷限性，布萊克-斯科爾斯模型正好是一種試圖估計市場行為的理論模型。這裡應該強調的是，並不是所有的假設（尤其是原始模型）實際上都是憑經驗有效的。例如，明顯的限制來自於：
- 對股票極端波動的低估，產生尾部風險
- 假設即時、低成本交易，產生流動性風險
- 假定過程平穩，產生波動風險
- 假設連續時間和交易，產生缺口風險
在任何和所有的投資策略中，都應該考慮到這些因素，例如，分別用套現期權進行對沖、在多個交易所進行交易、用波動率對沖和伽瑪對沖進行對沖。
背景
1973年，費希爾•布萊克和邁倫•斯科爾斯指出，根據某些規則對投資組合進行動態修正，可以消除基礎證券的預期回報。他們的模型是建立在巴切利耶、薩繆爾森等人之前建立的著作之上的。羅伯特·默頓是第一個發表對模型理解的論文的人，他創造了術語“布萊克-斯科爾斯期權定價模型”。斯科爾斯和默頓因發現了將股票期權與相關證券的風險分離的方法而獲得1997年諾貝爾經濟學獎。1995年，費希爾·布萊克去世，他沒有資格獲得諾貝爾獎，但被諾貝爾委員會確認為一名貢獻者。
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