今天的目標是解第二屆華盃賽真題，所用知識不超過小學4年級，讓你家小朋友試一試，每天進步一小點：
某自然數a=111……111(共1989個1)，請問a*a乘積的各位數字和是多少？
該題目屬於難度很高的數論問題，解題思路可化為以下三道題目：
題目一（簡單）
某自然數a=111……111(共1989個1)，請問a/9的值是多少？
題目二（中等難度）
某自然數a=111……111(共1989個1)，b=1000……000(共1989個0)，請問b-a/9的值是多少？
題目三（進階思考,華盃賽真題）
某自然數a=111……111(共1989個1)，請問a*a乘積的各位數字和是多少？
以下為答案：
題目一：
答:12345679012345679……012345679(共220個12345679）。
因為當分子為9個1時，111111111/9=12345679；
故當分子為18個1時，
111……111/9
=111111111000000000/9+111111111/9
=12345679012345679；
由於1989=9*221，故當分子為1989個1時，
111……111/9
=12345679012345679……012345679(共220個012345679）。
題目二：
答:987654320……987654320987654321(共220個987654320）。
從題目一知道，111111111/9=12345679，
故對9個0和9個1的情況，
1000000000-111111111/9
=1000000000-12345679
=987654321；
對18個0和18個1的情況，類似的有
1000……000-111……111/9
=987654320987654321；
對1989個0和1989個1的情況，類似的有
1000……000-111……111/9
=987654320……987654320987654321(共220個987654320）。
題目三：
答:17901。
設b=1000……000(共1989個0)
因為a*a=(a*9)*(a/9)
=999……999*(a/9)
=(b-1)*(a/9)
=b*(a/9)-(a/9)
= b*(a/9-1)+(b-a/9),
從題目一知道,
a/9=12345679012345679……012345679(共220個012345679）,
從題目二知道，
b-a/9=987654320……987654320987654321(共220個987654320)。
故：b*(a/9-1)
=12345679012345679……012345678000……000(共220個12345679,1989個0），
其數字和是220*37+36=221*37-1，
而b-a/9的數字和是220*44+45=221*44+1，
注意到b*(a/9-1)+(b-a/9)的數字和就是2個的數字和相加，
所以，a*a的數字和是
221*37-1+221*44+1=81*221=17901。
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