週一啦，又是一個開學季。還在上學的同學們，你們的作業都補好了嗎？好了，迴歸正題，今天的這道全等三角形的例題中，運用了很多基本圖形性質，同時本題《基本圖形分析法》也使用三種輔助線的添加方法，因此在關鍵步驟上的圖形性質運用也不同。本題第一種方法裡還運用兩個分析方法進行解述。話不多說，一起來思考吧。
例20 如圖5-61，已知：△ABC中，AB=AC，CD是高，P是BC上的任一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別是E、F。求證：PE+PF=CD。
圖5-61
分析：本題要證明PE+PF=CD，是一條線段等於兩條線段的和，所以可根據線段和的定義，在CD上截取DG=PE後，再證明留下的CG=PF。
在作出了DC=PE後，由條件CD⊥AB，PE⊥AB，可得DG∥EP，所以四邊形DEPG就應是平行四邊形，於是聯結PG（如圖5-62），再由∠GDE=90°，就可得四邊形DEPG是矩形，∠PGC=90。這樣要證明相等的這兩條線段CG和PF就成為一對軸對稱型的全等三角形，也就是△PFC和△CGP的對應邊，於是問題就可證△PFC≌△CGP。由於已經證明∠PFC=∠CGP=90°，PC=CP是公共邊，所以還要再證一個性質由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，而由PG∥BA，又可得∠ABC=∠GPC，所以有∠FCP=∠GPC，從而就可以完成分析。
圖5-62
本題在作出了PG，並得到了四邊形DEPG是矩形後，就出現了PG∥BA，是三角形內一條邊的平行線段，所以可應用平行線型相似三角形進行證明，於是延長PG交AC於K（如圖5-63），則由AB=AC，就可得KP=KC，那麼CG和PF就成為等腰三角形兩腰上的高，所以結論可以證明。
圖5-63
本題在根據線段和的定義進行分析時，也可以考慮將PE和PF這兩條線段接起來，也就是延長EP到G，使PG=PF（如圖5-64），那麼問題就是要證CD=GE。但由於CD⊥AB，PE⊥AB，所以問題實際上就是應證四邊形DEGC是矩形，也就是應證∠G=90°。而已知∠PFC=90°，這樣就出現了這兩個相等的角是關於PC成軸對稱的，從而就可應用軸對稱型全等三角形進行證明，問題也就成為應證△PCF≌△PCG。由所作的PF=PG和PC=PC是公共邊，可知還應證明它們的夾角相等，也就是要證∠CPF=∠CPG。由於BC、EG相交於P，∠CPG=∠BPE，而由PE⊥AB和PF⊥AC，又可得∠CPF和∠BPE分別是∠ACB和∠ABC的餘角，而∠ABC=∠ACB，所以上述性質就可以證明。
圖5-64
如果在將PE和PF這兩條線段接起來時，考慮將PF接在PE的延長線上，那就可以延長PE到G，使PG=CD（如圖5-65），問題就成為要證EG=PF。但在作出了PG=CD後，由於PG∥CD，所以四邊形PCDG就是平行四邊形，也就可得DG=CP。這樣就出現了要證明相等的兩條線段EG、PF是Rt△DGE和Rt△CPF的直角邊，而DG和CP是它們的斜邊，所以問題可轉化成證這兩個三角形全等。顯然由DG=CP，∠DEG=∠CFP=90°，以及由GD∥BC，∠GDE=∠B和AB=AC，∠B=∠C，∠GDE=∠PCF，就可以完成分析。
圖5-65
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