例50如圖4-145，已知：⊙O、⊙O′相交於A、B，過B的割線分別交⊙O、⊙O′於C、D，過D作⊙O′的切線交⊙O的弦CE的延長線於F。求證：A、E、F、D四點共圓。
圖4-145
分析：本題要證A、E、F、D四點共圓，是一個圓內接四邊形的判定問題，所以聯結AE、AD（如圖4-146）後，應證明∠F+∠EAD=180°。由條件FD與⊙O′相切於D，DB是過切點的弦，所以應用弦切角的基本圖形的性質，聯結AB（如圖4-146）後，有∠FDB=∠BAD。又因為條件中還給出A、C、E、B四點共圓，所以應用圓周角的基本圖形的性質又可得∠C=∠BAE。而在△FCD中，有∠F+∠C+∠FDB=180°，所以∠F+∠EAD=180°就可以證明。
圖4-146
例51如圖4-147，已知：⊙O、⊙O′相交於A、B，過B的割線分別交⊙O、⊙O′於C、D，過D作⊙O′的切線交⊙O的弦CE的延長線於F。求證：A、E、D、F四點共圓。
圖4-147
分析：本題要證A、E、D、F四點共圓，所以就要應用圓周角的基本圖形的性質進行證明。又因為條件中還給出FD與⊙O′相切於D，所以又可以應用弦切角的基本圖形的性質進行證明。這時就可以發現圓周角的基本圖形中出現的AD就是弦切角的基本圖形中的過切點的弦，所以首先聯結AD（如圖4-148），這樣在圓周角的基本圖形中就應再聯結AE（如圖4-148），問題就成為應證∠FDA=∠FEA。而在弦切角的基本圖形中就應再聯結AB（如圖4-148），得∠FDA=∠DBA。這樣問題就成為要證∠FEA=∠DBA。
圖4-148
由條件在⊙O中又出現了共圓的四點A、C、B、E，所以再次應用圓周角的基本圖形的性質又可得∠AEC=∠ABC，而現在要證明相等的這兩個角，即∠FEA和∠DBA分別是這兩個等角的補角，所以這兩個角相等是可以證明的。
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