在相似三角形的學習時,“一線三等角”是一個常見的模型，也是中考中的熱點問題. “一線三等角”指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的全等(或相似)圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.有些時候我們也稱之為 “K 形圖”，“三垂直”，“弦圖”等，以下統稱為“一線三等角”問題.
由於相似三角形的靈活多變,再加之隱含在一些複雜的圖形中,在審題時同學們可能會存在一些難度,今天就把“一線三等角”中的相似給同學們總結一下,供同學們參考.
一、“一線三等角”的起源
DE繞A點旋轉,從外到內，從一般位置到特殊位置.
二、“一線三等角”基本類型
1.同側型（圖2-1）
2.穿越型（圖2-2）
動態演示如下：
三、“一線三等角”的性質
1.一情況下，如圖3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.
2.當等角所對的邊相等時，則兩個三角形全等.如圖3-1，若CE=ED，則△AEC∽△BDE.
3.中點型“一線三等角”
如圖3-2，當∠1=∠2=∠3，且D是BC中點時，△BDE∽△CFD∽△DFE.
4.“中點型一線三等角“的變式
5.“一線三等角”的各種變式（圖3-5，以等腰三角形為例進行說明）
應用舉例
1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若P是BC邊上任意一點，且滿足∠APM＝∠ABC，PM與AC邊的交點為M，則線段AM的最小值是_____．
【解析】設BP＝x，則CP＝6﹣x，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APM＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠APM＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABP∽△PCM，
2．如圖1，M為線段AB的中點，AE與BD交於點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC於F，ME交BC於G．
（1）求證：△AMF∽△BGM；
（2）若AM＝2√2，AF＝3，求BG的長；
（3）如圖2，連接FG，在（2）條件下，若α＝45°，求△EFG的面積．
【解答】證明：（1）∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D，
又∠B＝∠A＝∠DME＝α，
∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM；
（2）解：∵M為AB的中點，∴AM＝BM＝2√2，
∵△AMF∽△BGM，
∵∠A＝∠B＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2AM＝4√2，
∴AC＝BC＝4，且AF＝3，BG＝8/3，∴CF＝1，CG＝4/3，
∵∠A＝45°，MH⊥AC，AM＝2 ，∴AH＝HM＝2，∴CH＝2，
∵∠ACB＝∠AHM＝90°，∴HM∥CB，∴△ECG∽△EHM，
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