在這個變化無常的世界上，沒有什麼比死後的聲譽更變化無常了。死後得不到應有的評價的最典型例子莫過於埃利亞的芝諾了。——羅素
畢達哥拉斯學派發現無理數這一事實突出了使所有希臘數學家迫切想要解決的一個難點——離散與連續的關係。整數代表離散的對象，而一般地說，長度、面積、體積、時間和其它一些量是連續量，它們可以是有理數或者無理數。這個關係問題必將反映在對空間與時間的理解，進而產生有關有限與無限、運動與靜止的不同思想。
當時人們對空間和時間有兩種對立的觀點：一種認為空間和時間無限可分，那樣的話運動是連續而又平順的——想想牛頓力學；另一種認為時間和空間是由不可分的小段組成的，那樣的話運動將是一連串的小跳動——想想量子力學。
在自由而充滿矛盾和鬥爭的思想交鋒中，埃利亞學派的觀點和芝諾提出的一系列悖論將問題推至極端尖銳的地步。在某種意義上，芝諾悖論可稱為第二次數學危機的源頭。
一、埃利亞學派簡介
埃利亞（Elia）學派是古希臘最早的唯心主義哲學派別之一，因建立於南意大利半島的埃利亞地區而得名。與畢達哥拉斯學派的存世時間大致相當，主張世界一元論，即世界的本源是一種抽象存在，因此是永恆的，靜止的，而外在世界是不真實的。代表人物有色諾芬尼、巴門尼德、芝諾等。
色諾芬尼（Xenophenes，約公元前570年-前480年）古希臘哲學家、詩人、歷史學家、社會和宗教評論家，埃利亞學派的創始人，常被視為第一個一神論（這個神和宗教中的神有本質區別，是非人格化的）哲學家。色諾芬尼首次提出並論證了“無限”與“有限”、“一”與“多”、“永恆”與“變易”、“靜止”與“運動”、“存在”與“非存在”等十分重要的哲學範疇。
巴門尼德（Parmenides，約公元前515-前445年）埃利亞學派最重要的思想者，色諾芬尼八十多歲收的關門弟子，也接受了畢達哥拉斯數理學派的神秘主義思想。他創造了基於邏輯的形而上學，概括出了“存在”這一哲學範疇，並第一次提出了“思想與存在是同一的”命題。巴門尼德主張：真空不存在，運動不存在。
芝諾（Zeno，約公元前490年-前425年）出生在埃利亞的數學家、哲學家，巴門尼德的學生，也曾是畢達哥拉斯學派的弟子。被亞里士多德譽為辯證法（Dialectics）的發明人。相傳芝諾因蓄謀反對埃利亞（另一說為敘拉古）的僭主，而被拘捕、拷打，直至處死。
芝諾因其悖論而著名，並因此在數學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。畢達哥拉斯學派曾假定存在無限小的基本線段，想以此來克服因發現不可公約量而引起的矛盾，而芝諾的悖論反對了這種不準確的做法，從而迫使其他數學家去尋找真正的原因所在。他“以非數學的語言，記錄下了最早同連續性和無限性格鬥的人們所遭遇到的困難”，把動和靜的關係、無限和有限的關係、連續和離散的關係惹人注意地擺了出來，並進行了辨證的考察。
二、芝諾悖論
【注】悖論paradox：希臘文原意為有悖於正統、出乎定見之外。邏輯學術語，意指表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。
芝諾從“多”和運動的假設出發，一共推出了40個各不相同的悖論。現存的芝諾悖論至少有8個，其中關於運動的4個悖論最為著名。四個悖論的敘述均見於《亞里士多德全集》，卷Ⅱ，《物理篇》，卷Ⅵ，第239b頁。
針對時間和空間連續無限可分的觀點，芝諾分別考察了孤立物體的連續運動情況和兩個物體的相對連續運動情況，提出兩分法悖論和阿喀琉斯悖論。
1、兩分法悖論（Dichotomy paradox）
對於孤立物體的連續運動情況，芝諾說“運動不存在，理由是運動中的物體在到達目的地前必須到達半路上的點。”也就是說從A點到達B點（下圖），必須先到達C；要到達C，必須先到達C......換言之，由於時間和空間是連續的，這一兩分過程總可以無限地進行下去，於是該物體實際上都無法離開A點，因此孤立物體的連續運動是不可能的。
【注】《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”但“日取其半”的速度是變化的，與兩分法悖論並不能等同。
亞里士多德對此的駁斥：關於一個事物的無限性有無限可分或無限寬廣兩種意義。在有限時間內可以接觸從可分意義上是無限的東西，因為從這意義上講時間也是無限的；所以在有限時間內可以通過有限的長度。
2、阿喀琉斯悖論（Achilles paradox）
針對兩個物體的相對連續運動，芝諾提出讓阿喀琉斯和烏龜賽跑，只要烏龜開始是在前面出發的，那麼阿喀琉斯跑得再快也永遠追不上，因為“追趕者首先必須到達被追者出發之點，因而行動較慢的被追者必定總是跑在前頭。”
亞里士多德認為這論點同二分法悖論中的一樣，所不同者是不必再把所需通過的距離一再平分。如果動得較慢的對象通過一段有限的距離，則根據他答覆第一個悖論所述的那個理由，它是可以被追上的。
針對時間和空間是由不可分的小段組成這一觀點，芝諾同樣考察了即孤立物體的間斷運動情況和兩個物體的相對間斷運動情況，提出飛矢不動悖論和遊行隊伍悖論。
3、飛矢不動悖論（Arrow paradox）
對於孤立物體的間斷運動情況，芝諾說，由於運動是位置的變動，而飛矢在任一瞬刻必在一確定位置，因而是靜止的。所以飛矢不能處於運動狀態。
亞里士多德說如果我們不承認時間具有不可分的單元，這悖論就站不住腳了。——顯然這是一個物理解釋。
4、遊行隊伍悖論（Parades paradox）
對於兩個物體的相對間斷運動，芝諾提出“一組物體沿跑道挨著另一組相同的物體彼此相向移動，一組是從末端出發而另一組是從中間開始移動，兩者移動速度一樣；由此可知一半的時間等於雙倍的時間。”
可用下圖來說明：B、C相對於A的運動方向相反，並且每一時間單元B、C相對於A都運動一個空間單元。於是，在一個時間單元過後B、C之間相對移動了兩個空間單元，從而B相對於C移動一個空間單元需要半個時間單元，而B相對於A移動一個空間單元卻需要一個時間單元，於是一個時間單元將等於半個時間單元。這一結論明顯是不成立的，因此兩個物體的相對間斷運動也是不可能的。
亞里士多德說，芝諾假定了以相同速度移動的兩物體，其一通過一個移動物體，而另一通過一個等長的靜止物體，所需時間相等。而這個假定是錯的。
因為明顯違反直觀認識，從亞里士多德開始的2000多年裡，人們普遍認為芝諾悖論不過是一些詭辯。但“每個世紀都認為他值得反駁”，這就非常了得，因為“文字能被每個世紀所反駁乃是成就之巔峰”。（懷特海語）
直到19世紀下半葉以來，學者們開始重新研究，並認識到，芝諾關於運動的悖論不是簡單的否認運動，這些悖論後面有著更深的內涵。對希臘以至近代數學思想的發展有開創性的啟迪意義。
希臘數學思想的發展，除了從泰勒斯、畢達哥拉斯學派的幾何學思想一直到歐幾里德的《幾何原本》這條線索外，另一條線索是關於無限小、極限的探討。芝諾悖論的難題最早在這方面向希臘數學家提出了挑戰，啟發他們去研究有關無限小、極限以及求和過程等各種數學概念，並努力創新這方面的數學方法。如安提豐和歐多克索斯創立了窮竭法；到近代西歐數學家發明了微積分，在數學中完善地引入變量，解決了運動與時空中的有限與無限可分、連續性與間斷性的對立統一。
現在也有很多學者從量子物理的角度去解釋芝諾悖論，甚至挑出了數學和物理在本質概念上的種種對立。也許芝諾悖論並未真正解決。
【並非笑話或評論對錯】古希臘犬儒派哲學家第歐根尼的學生曾向他請教如何反駁芝諾，他老人家一言不發，在房間裡走來走去，學生還是不理解。第歐根尼說，芝諾說運動不存在，我這不是正在證明他是錯的嗎？
下一講智者學派與三大作圖問題。
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