各位同学，上期叶老师向大家讲述了函数的概念等内容，得到了一定的响应，大家可以回顾一下《 》，今天叶老师将按照考纲顺序为大家讲解一下高中阶段求函数最值的常用方法，希望能够对大家有所帮助。

作者简介：叶老师，笔名“动人定理”，专职教师，数学学科研究员，目前担任机构数学教研组组长及学生学业规划师。曾供职合作于多家上市教育公司，对中高考数学考点有着深入认知与理解。拥有超过10000小时的高三毕业班学生一对一辅导经验。

导读

看过武侠小说的老铁都知道，林更新那版的三少爷的剑法又帅又无敌。左右手持剑，72路剑法变144路。但如果说学好数学也要什么144招，那估计老铁们要跪。真正的数学高手通常用是减法来应对，很多什么36种，24种方法，其实都可以概括为6种，求函数的最值也不例外。

今天，叶师傅就来教教你，如何掌握高中数学求函数最值的精髓，助你快速成为解题高手！

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虽然教材以及相关配套练习里面求函数最值的方法已经有很多了，但是以叶老师多年来的教学经验看，高考常考的求函数最值方法至多也就六种，特此一一举例，希望能对大家有所帮助。

一、参数换元法

通俗点说：当f(x)由一个一次函数加上一个二次根式（被开方数也是一次函数）的时候，便可用参数换元法。

使用参数换元的原因及方法：在本形式下，由于这类函数是由一次函数和根式函数组合而成，总体单调性无法确定，并且被开方数为一次函数。因此可使用一般换元的思路，令t=√cx+d

，用t表示x，带入原函数便可去掉原函数的根号得到一个关于t的二次函数，求解最值即可。

我们来看一道例题：

分析：本题定义域为x∈[1,+∞），在取值区间内，x单调递增，√x-1也递增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用参数换元。

下面来看一下具体的解题过程：

总结：在使用参数换元法时，请同学们注意：在换元后应立即求出参数t的取值范围，并且马上用t表示x。最后在求换元后求二次函数最值的时候还得考虑对称轴t0是否在参数t的取值范围内。

二、三角换元法

三角换元法与参数换元法算是兄弟方法，有许多可以类比的地方，其中有两种情况下可以使用三角换元法：

使用三角换元法的原因以及方法：在这种情势下，若使用参数换元法只能得到t^2与x^2之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以参数换元法失灵，考虑使用三角换元。这样就可以利用三角恒等式将函数转化为我们熟悉的三角函数求最值。另外第一种与第二种情况都有对应的三角换元方法（如下图）大家可以看看：

下面我们来看一下情况①对应的例题：

分析：本题若使用参数换元法只能得到t^2与x^2之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以参数换元法失灵，考虑使用三角换元。并且观察到x^2的系数为-1，对应了第一种情况，所以用公式①换元。

下面来看一下具体的解题过程：

下面我们来看一下情况②对应的例题：

分析：本题x^2前面的系数是1，所以考虑使用公式②。

下面来看一下具体的解题过程：

总结：三角换元是一个难点，大家在使用时需注意一下几点：

①在换元之前必须先确定原函数f(x)的定义域，这样才可求出sinθ或者tanθ的范围，另外确定完sinθ或者tanθ的范围后，还应该结合三角函数图像确定θ角的范围。

②必须熟练使用三角恒等公式，这就要求同学们顺带去复习三角函数与三角恒等变化有关章节的内容了

③做题时还得结合辅助角公式，这样才能最终求解。

三、带log的复合函数求最值

这类题型一般是对数函数结合二次函数进行考察，形如：

求这类函数最值的方法：本身对数函数y=loga x,就是单调函数，因此对于这类函数只要先求出括号里面二次函数的最值，然后带入函数整体即可。

PS:这类题型一般在高考中会考察值域问题

形如：

分析：由于函数y=log3x在定义域内单调递增，因此只要求出括号里面二次函数的最值，然后带进去算就可求出答案。

看一下具体解题过程：

总结：此类问题在高考中主要以选择填空为主，难度不会太高。但是同学们在做题的过程中还需注意：

①先求f(x)的定义域；

②求二次函数对称轴以后，还要看看对称轴是否在定义域内。

四、二次函数在闭区间内的最值问题

解决二次函数闭区间内最值问题的核心是：函数对称轴与给定区间相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

其中考察最多的形式是：轴定区间变

即二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。简称轴定区间变。

形如：

分析：本题给定的二次函数开口向上，并且求的是最大值，这说明它的最大值肯定是在端点处取到，绝不可能在对称轴处取到。这点请同学们牢记。

下面来看下解析过程：

总结：这类题目要求学生对初中二次函数的内容有着深层次的理解，学会利用二次函数对称轴以及单调性去判断。并且还得运用上“区间中点”这个概念进行更进一步的讨论。

五、利用基本不等式求函数最值

根据叶老师经验，一个函数的最值如果能用基本不等式去求的话，那么这类函数必须满足下图这种形式：

使用基本不等式求函数最值的方法：配项法，即配出基本不等式，用基本不等式的公式求解。

下面来看一道例题：

分析：

此题的函数由一个整式和一个分式结合而成，因此可用基本不等式法进行求解。不过求解的时候得注意x的范围。

下面看一下具体的解析过程：

总结：此类题目的特征比较明确，很容易让大家联想到用基本不等式求解。

不过在求解的过程中一定要注意x的取值范围，一定要注意基本不等式成立的条件。

六、利用导数求函数最值（几乎万能，只要你有耐心）

细心的同学可能会发现，前面介绍的五种求函数最值的方法中被求函数的特征都非常明显，让人很快就能想到相对应的方法。但是对于一些没什么特征的普通函数，要求最值，只能用高中最常用的方法：求导。并且同学们应该可以发现，其实上述的五种方法中所对应的例题也可以用求导的方法做，只不过因为前面五种方法的函数特征比较明显，用对应的方法做会比较快。

因此希望同学们注意，今后如果实在想不出求函数最值的方法的话，就对函数进行求导，只要有耐心，就一定能算出结果。

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